Список задач 4 (1129427), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Вычислить коэффициент прохождения T (E ) в поле двойного δ -потенциалаU ( x) = q δ( x + a) + q δ( x − a) .4.8. Численное исследование состояний непрерывного спектра4.8.1. Найти численно (с двумя десятичными знаками) коэффициент прохождения T частицы сэнергией E = U 0 2 через барьер гауссовой формы⎛ x2 ⎞U ( x ) = U 0 exp ⎜⎜ − 2 ⎟⎟⎝ 2a ⎠при значении борновского параметра B = 2 .С. Периодические потенциалы4.9. Периодические потенциалы4.9.1. Доказать, чтообязательнаяp vˆ p =гдеv̂∂E, ∂p− оператор скорости, p − стационарное состояние частицы с квазиимпульсом p иэнергией E в произвольном периодическом потенциале.Список задач №4: Одномерное стационарное уравнение Шредингера84.9.2.

Пусть ϕ( x; p) − волновая функция стационарного состояния частицы с квазиимпульсомэнергией E ( p ) в поле периодического потенциалаpиV ( x d ) [где V ( ξ + 1) = V ( ξ ) ], причемпри p = 0 функция E ( p ) имеет экстремум, т.е. имеет видE ( p → 0 ) = E0 +p2+ Ο( p3 ),2 m%% − эффективная масса.где вещественный (но не обязательно положительный) параметр mДалее, пусть Ψ ( x ) является решением стационарного уравнения Шредингера−гдеU ( x a)h2⎡ ⎛x⎞⎛ x ⎞⎤Ψ ′′ + ⎢V ⎜ ⎟ + U ⎜ ⎟ ⎥ Ψ = E Ψ ,2m⎝ a ⎠⎦⎣ ⎝d ⎠− произвольный потенциал, плавно изменяющийся (не обязательнопериодически) в пространстве по сравнению с V ( x a ) : a d .

Показать, что функцияΨ ( x ) представима в видеΨ ( x ) = ∫ F ( k ) ϕ ( x; h k )dxdk, F ( p ) = ∫ Φ ( x ) e −i k x,2π2πгде функция Φ ( x ) есть решение уравнения Шредингераh2⎛ x⎞−Φ′′ + U ⎜ ⎟ Φ = ( E − E0 ) Φ .2 m%⎝a⎠4.9.3. Частица движется в периодическом потенциале в присутствии однородного поля, т.е. впотенциалеU ( x ) = V ( x) + F x ,V ( x + d ) = V ( x), F = const.В начальный момент времени волновая функция частицы имеет видΨ ( x, t = 0) = ϕ( x ; p0 ) ,где ϕ( x; p0 ) − волновая функция стационарного состояния частицы с квазиимпульсом p0 иэнергией E0 в поле V ( x) . Найти вид Ψ ( x, t ) при t > 0 , считая, что F x Eg , где Eg −масштаб энергии, характеризующий ширину запрещенных зон в спектре стационарныхсостояний в поле V ( x) .4.9.4.

Найти волновые функции и собственные значения энергии для стационарных состояний впотенциале∞U ( x ) = q ∑ δ ( x − n d ) при x > 0.U ( x ) = U 0 > 0 при x ≤ 0,n =14.9.5. Найти коэффициент прохождения T ( E ) для дираковской потенциальной гребенкиN −1U ( x) = q ∑ δ ( x − n d ) , x > 0 ,n=0считая N 1 при N d = L .Список задач №4: Одномерное стационарное уравнение Шредингера94.9.6. Электрон находится в поле плоской монохроматической стоячей электромагнитной волны сэлектрическим полемE y ( x, t ) = E cos kx cos ω t .а) Используя метод Капицы (ЛЛI, §30, с. 123), найти эффективный потенциалU ( x)медленного движения электрона.б) Для поля волны с параметрами E = 915 Гс , ω = 1.77 ⋅10 15 с −1 , описывая состоянияэлектрона одномерным стационарным уравнением Шредингера, выразитьборновский параметр через основные параметры задачи и вычислить его значение; наего основе описать качественно структуру спектра.в) Вычислить положение середины нижней разрешенной энергетической зоны.г) Найти численно (с четырьмя знаками точности) границы нижней разрешенной зоны.д) Оценить время туннелирования электрона между двумя соседними потенциальнымиямами.D.

Остальное4.10. Импульсное представление4.10.1. Какую размерность имеют волновые функции стационарных состояний дискретного инепрерывного спектров для одномерного уравнения Шредингера в импульсномпредставлении?4.10.2. Найти в импульсном представлении вид стационарного уравнения Шредингера для частицы,находящейся в поле U ( x ) .4.10.3. Найти в импульсном представлении вид стационарного уравнения Шредингера для частицы,находящейся в поле периодического потенциала V ( x ) = V ( x + d ) .4.10.4. Найти волновую функцию и значение энергии дискретного уровня для частицы в полеобязательнаяU ( x) = − q δ ( x ) ,решая задачу в импульсном представлении.4.10.5.

Найти вид волновых функций частицы в однородном полеU ( x) = F xв импульсном представлении.4.11. Функция ГринаЗапаздывающая функция Грина G ( x, x ′; t − t ′) одномерного нестационарного уравнения Шредингераявляется решением уравнения⎛ ∂ h2 ∂2⎞− U ( x ) ⎟ G ( x, x′; t − t ′ ) = ih δ ( x − x′ ) δ ( t − t ′ )⎜ ih +2⎝ ∂ t 2m ∂ x⎠Список задач №4: Одномерное стационарное уравнение Шредингера10и удовлетворяет условиямG ( x, x′; t ′ → t + 0 ) = δ ( x − x′ ) ,G ( x, x ′; t − t ′ < 0) ≡ 0 .Функция G ( x, x ′; t − t ′) представима в виде− i E (t−t ′) =G ( x, x ′; t − t ′) = − i ∫ G ( x, x ′; E + i γ) edEпри Im γ = 0 , γ → + 0 ,2πгде G ( x, x ′; E ) − функция Грина стационарного уравнения Шредингера, являющаяся решениемуравнения⎛ h2 ∂2⎞+ U ( x ) − E ⎟ G ( x, x′; E ) = δ ( x − x′ ) .⎜−2⎝ 2m ∂ x⎠4.11.1.

Найти функцию Грина G ( x, x; E ) для частицы в потенциальном ящике. Исследоватьаналитические свойства G ( x, x; E ) как функции переменной E .4.11.2. Найти плотность состоянийа) для свободной частицы;б) для частицы в потенциале U ( x ) = q δ ( x) при q > 0 (δ-барьер) и q < 0 (δ-яма)4.11.3. Найти плотность состояний для частицы в поле двойного δ-потенциала..

Характеристики

Список файлов лекций