Список задач 2 (1129425), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Найти вид матриц операторов â и â + в пространстве ℂ! . 2.6.2. Может ли существовать оператор ĉ такой, что ĉĉ + + ĉ + ĉ = −1 ? 2.6.3. * Пусть оператор a таков, что aa! − a! a = I. Показать, что среди комплексных матриц – операторов в пространстве ℂ! нет оператора, удовлетворяющего этому соотношению. 2.6.4. а) Доказать тождество Якоби [ Aˆ , [ Bˆ , Cˆ ]] + [Cˆ , [ Aˆ , Bˆ ]] + [ Bˆ , [Cˆ , Aˆ ]] = 0. б) Используя тождество Якоби, найти [ B̂, Ĉ] , если [Ĉ, Â] = λ Â , [ Â, B̂] = Ĉ .

5 2.6.5. Эрмитов оператор F̂ имеет N различных собственных значений. Показать, что оператор F̂ N линейно выражается через операторы Iˆ, Fˆ ,..., Fˆ N −1 . 2.6.6. Пусть Â , B̂ и Ĉ – эрмитовы операторы. Могут ли они быть связаны коммутационным соотношением ⎡⎣ Â, B̂ ⎤⎦ = Ĉ ? 2.6.7. Пусть и – операторы с коммутационным соотношением , = −ℏ. Вычислить коммутатор ! , ! . 2.7. Интегральные операторы 2.7.1.

* Оператор инверсии P̂ меняет направление осей системы координат. В одномерном случае P̂f ( x ) = f ( −x ) . Представить P̂ в виде интегрального оператора. 2.7.2. Ядро , ! оператора является функцией вида: а) = + ! ; б) = − ! ; в) = ! . Какие ограничения на функции и вытекают из эрмитовости оператора 2.8. След 2.8.1. Для матриц плотности ρ̂ (некоторого подкласса эрмитовых матриц) энтропия S определяется соотношением S = −Sp ρ̂ ln ρ̂ , где Sp  – след матрицы  (сумма диагональных элементов). Вычислить (с двумя десятичными знаками) энтропию S для матрицы плотности ρ̂ =0.30.4i−0.4i0.7 2.8.2. * а) Доказать, что след матрицы не меняется при унитарном преобразовании.

б) Могут ли две матрицы , конечного ранга удовлетворять коммутационному соотношению , = −? 2.8.3. Пусть – матрица ×. Доказать, что det exp = exp Sp . 2.9. Преобразование Фурье 2.9.1. Пусть Â = x̂ + d̂ (где x̂ и d̂ определены в задаче 2.2.2). Доказать, что если f ( x ) -­‐ СФ оператора Фурье, то Âf ( x ) и Â + f ( x ) тоже являются СФ того же оператора.

2.9.2. Вычислить = для следующих функций : aa) ψ 1 ( x ) = exp ( −α x ) , b) ψ 2 ( x ) = 2, a + x2⎛ β x2 ⎞c) ψ 3 ( x ) = exp ⎜ −, d) ψ 4 ( x ) = ch −1 (γ x ) . ⎟⎝ 2 ⎠Оператор Фурье определен соотношением = !!! !"# .

6 2.9.3. * Найти вид оператора = в импульсном представлении. 2.10. Проекционные операторы 2.10.1. * Оператор проектирования (проектор; проекционная матрица) обладает свойством P̂ 2 = P̂, P̂ + = P̂ Найти его спектр. Найти вид соответствующих матриц в пространстве ℂ! . 2.10.2. При каких значениях параметра оператор M̂ =12λ14λ12 является проектором? 2.10.3. Пусть T̂ – эрмитова матрица из ℂ! с неравными собственными значениями, λ1 ≠ λ2 , а Iˆ -­‐ единичная матрица.

Показать, что матрицы 11Pˆ1 =Tˆ − λ2 Iˆ , Pˆ2 =Tˆ − λ1 Iˆ λ1 − λ2λ2 − λ1являются проекционными. Показать, что T̂ 2 = λ12 P̂1 + λ22 P̂2 . 2.11. Матрицы Паули 2.11.1. * Для матриц Паули, заданных соотношениями 0 10 −1 0! =, ! =, ! =, 1 0 00 −1вычислить попарные коммутаторы !" = ! , ! .

2.11.2. Вычислить матрицы ! = ! , где ! ( = 1,2,3) – матрицы Паули. 2.11.3. Показать, что для любых ! верно соотношение: ! ! + ! ! + ! ! ! = !! + !! + !! , где ! – матрицы Паули. ( )()7 .

Характеристики

Список файлов лекций