Реферат лекции 7 (Электронные лекции)

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯВторой поток. Весна 2014Реферат лекции 71. Координатное и импульсное представленияx̂ , дающий базис представлению: x̂δ ( x − ξ ) = ξδ ( x − ξ ) .ˆ , xˆ ] = −i= :Оператор компоненты импульса p̂ - из коммутационных соотношений [ p∂p̂ = −i=.∂x−1 2Нормированные собственные функции p̂ : ψ ( x ) = ( 2π= )exp ⎡⎣i ( px = )⎤⎦ .ОператорСоотношение неопределенностей для координаты и импульса:Δp ⋅ Δx ≥=.2Минимальное произведение неопределенностей – у функцииψ ( x) = (2πσ2 −1 4)гауссова волнового пакета.⎡ x− x⎢ (exp ⎢−4σ 2⎢⎣)2⎤p x⎥+i⎥,= ⎥⎦Оператор координаты в импульсном представленииx̂ = i=∂∂p2. Уравнения движения•Постановка основных задач в квантовой теорииПостулат 5.А.

Считая, что динамическими переменными являются наблюдаемые, следует взять дляих операторов уравнения движенияdLˆ ∂Lˆ i ⎡ ˆ ˆ ⎤=+ H , L⎥ ,⎦∂t = ⎣⎢dtгдеĤ(H)- гамильтониан системы.B. Считая, что динамической переменной является состояние, следует взять для еговектора уравнение движенияi=гдеĤ∂Ψ = Hˆ Ψ∂t- гамильтониан системы.Способ А – картина Гейзенберга, (H) – уравнения Гейзенберга.Способ B – картина Шредингера, (S) – уравнение Шредингера.(S)Реферат лекции 7••••Связь с классической механикой: теорема ЭренфестаУравнения эволюции матричных элементов в двух картинах совпадаютПереход между картинами осуществляется унитарным оператором эволюцииОператор интеграла движения коммутирует с гамильтонианом3. Картина ГейзенбергаEX1.

В пространствеC2пустьEHˆ = 200E1, и в этом представленииУравнения Гейзенберга интегрируются элементарно:гдеLˆ (t ) =pLˆ = ∗qp ( 0)q∗ (0)e−iωtq.rq ( 0 ) e i ωtr ( 0)ω = ( E2 − E1 ) = .•Для каких моделей классическая динамика точки может установить явную формузакона движения r (t ) = Φ (r0 , v 0 , t ) ?EX2. Свободная частица,Hˆ = pˆ 2 2m : решение (H)1pˆ 0t .mHˆ = pˆ 2 2m + mω 2 qˆ 2 2 : решение (H)pˆ (t ) = pˆ 0 ,EX3. Гармонический осциллятор,qˆ (t ) = qˆ0 cos ωt + pˆ 0 sin ωt ,rˆ (t ) = rˆ0 +pˆ (t ) = −mω qˆ0 sin ωt + pˆ 0 cos ωt .•Печальное сатори Фейнмана•Уравнения (H) дают способ вычислить все производные d Lˆ dt в начальныймомент времени. Но для нелинейных систем у ряда Тейлора плохая сходимость(см. рисунки).nnТермины1. Координатное представление2.

Плотность вероятности3. Волновое число4. Волновой вектор5. Импульсное представление6. Волновой пакет7. Картина Гейзенберга8. Уравнения Гейзенберга9. Теорема Эренфеста10. Картина Шредингера11. Уравнение Шредингера12. Оператор эволюции13. Интеграл движения14. Свободная частица■2.