Реферат лекции 34 (Электронные лекции)

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯВторой поток. Осень 2014Реферат лекции 341. Метод Хартри – ФокаПредставление пространственной части волновой функции в виде суммыпроизведений одночастичных орбиталей с правильной симметрией при перестановкахи варьирование функционала средней энергииE = Ψ Hˆ Ψпо каждой изорбиталей приводит к системе уравнений Хартри – Фока.(1s ) (2 s) : орбитали1EX1.

Триплетное состояние атома гелия в конфигурации1сферически симметричны;⎡ ˆ⎤⎡⎤⎢⎣−h1 + E − h22 − G22 (r )⎥⎦ ψ1 (r ) + ⎣ h12 + G12 (r )⎦ ψ2 (r ) = 0 ,⎡−hˆ + E − h − G (r )⎤ ψ (r ) + ⎡ h + G (r )⎤ ψ (r ) = 0 ,111112⎢⎣ 2⎥⎦ 2⎣ 12⎦ 1гдеhˆi(HF)- одночастичный гамильтониан,hab = ∫ ψa hˆψb dr,Gab (r1 ) = ∫ ψa (r2 )ψb (r2 ) r1−2 1dr2(индексы a и b принимают значения 1 и 2). Энергия Хартри – Фока отличается отэнергии Хартри,EH = εi + εo − Vio = −2.1534 ,обменным интегралом:ES ,T = EH ± Jволновые функции ХартриESET(см. L31, п. 2). Используя для вычисленияJψ1 (r ) и ψ2 (r ) , получаем J = 0.02237 .Расчет ТВδ ,%Расчет ХФδ ,%опыт-2.0415-2.1300.7-2.146-2.1272-2.1770.1-2.1752.

Уравнение Томаса – ФермиСчитая зависимость энергии Ферми от концентрации электронов(в а.е.; см. L30, п. 2) применимой локально, из условиясвязь концентрации и потенциалаn = (2ϕ )323π 2 ,EF = (3π 2 n)ϕ (r ) + EF (r ) = ϕ0232получаемкоторая вместе с уравнениемПуассона дает уравнение Томаса – Ферми8 2 32ϕ .3πУниверсальная функция экранировки χ ( x ) ,Δϕ =Zϕ ( r ) = χ ( x ),rудовлетворяет уравнениюrZ 1 3x=,bχ′′ = χ3 2 x−1 21 ⎛ 3π ⎞b = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 0.8853 ,2 ⎜⎝ 4 ⎠c граничными условиями χ (0) = 1 ,23χ (∞) = 0 .1Реферат лекции 34Вид универсальной функции экранировки••x : χ ≈ 144x−3Границы применимости модели: из d dr 1 следует 1 8Z r 7Асимптотика большихПрименения УТФc.

Сглаженное (игнорирующее специфику незаполненных оболочек) описаниезависимости характеристик атомов от Z . Пример: характерный размер атомаa ~ a0 Z −1 3 .d. Обоснованиеупрощающих положений для атомов с Z 1 (см. L31, п. 3).Пример: малость энергии взаимодействия электронов между собой в сравнении сэнергией их взаимодействия с ядром:ε= VU =1 7(см. задачу 10.3.1).e.Использование в качестве нулевого приближения для запуска схем Хартри иХартри – Фока.f.

Описание не только атома, но и любой системы тождественных заряженныхфермионов.EX1. Задача об отклике электронного газа на постоянное электрическое поле (см.L30, п. 4). Поле проникает в металл на характерную глубинуπ= 3L=4mpF e 2(для натрияL = 6.71⋅10−9 см ).3. Обменное взаимодействие в электронном газеПри использовании ВФ правильной симметрии плотность вероятности нахождениядвух невзаимодействующих фермионов в близких точках стремится к нулю приr12 → 0 . Вокруг каждого фермиона возникает область пониженной плотностифермионов с той же проекцией спина – фермиевская дырка. Ее наличие ведет кпонижению энергии системы электронов.• Оценка обменной энергии, аппроксимация Слейтера• Сравнение кинетической и обменной энергий для натрия• Корреляционная энергияТермины1.2.3.4.5.Уравнения Хартри – ФокаУравнение Томаса – ФермиФермиевская дыркаОбменная энергияКорреляционная энергия■2.