Список задач 11 (1129434)
Текст из файла
Квантовая теорияВторой поток. Осень 2014Список задач №11Тема: Переходы.Нестационарная теория возмущений.Внезапные воздействия. Адиабатическое приближение1. Нестационарная ТВ. Переходы в непрерывном спектре11.1.1 Масштабом обратного времени, характеризующим величину возмущения, вызывающегопереходы, является частота Раби Ω = V12 /~, где V12 – матричный элемент операторавозмущения между начальным и конечным состояниями. Оценить Ω для атома в полеизлучения лазерной указки.
Параметры выбрать самостоятельно.11.1.2 Как известно, применение нестационарной теории возмущений к расчету вероятностейперехода системы из начального n-го состояния в конечное k-е в первом порядке приводитк амплитудам перехода, равным:akn 'ann(1)akni=−~i'1−~Z∞Vkn (t)eiωkn t dt;−∞Z∞k 6= n;(1)Vnn (t)dt.−∞Величина Wn = |ann |2 представляет вероятность системе остаться в первоначальномсостоянии. Если воспользоваться приведенным выше выражением для амплитуды ann ,то получится W > 1, что противоречит сохранению нормировки волновой функции состояния. Объяснить возникающий парадокс и получить закон сохранения нормировкиволновой функции состояния с учетом переходов в первом порядке теории возмущений.11.1.3 На частицу, находящуюся при t → −∞ в основном состоянии в бесконечно глубокойяме шириной a, накладывается слабое однородное поле, изменяющееся со временем позакону:(а) V (x, t) = −xF0 exp[−t2 /τ 2 ];(б) V (x, t) = −xF0 exp[−|t|/τ ];(в) V (x, t) = −xF0 /(1 + t2 /τ 2 ).Вычислить в первом порядке теории возмущений вероятности возбуждения различныхсостояний частицы при t → ∞.
Указать условия применимости полученных результатов.11.1.4 Обязательная Линейный осциллятор подвергается воздействию однородного электрического поля, изменяющегося во времени по закону:(а) E(t) = E0 exp(−t2 /τ 2 );(б) E(t) = E0 exp(−|t|/τ ).Считая, что до включения поля (при t → −∞) осциллятор находился в основном состоянии, найти в первом порядке теории возмущений вероятности возбуждения различныхего состояний при t → ∞.111.1.5 Обязательная. Вычислить в первом порядке нестационарной теории возмущений зависимость вероятности W12 перехода между уровнями 1 и 2 под действием нестационарноговозмущения, представляющего собой импульс неизменной формы: t,(2)V̂ (t) = V̂0 fτгде τ – характерная длительность импульса, от параметра γ = ω12 τ .11.1.6 На плоский ротатор, имеющий дипольный момент d, накладывается однородное, переменное во времени электрическое поле E (t) = f (t)E0 .
До включения поля ротатор имелопределенное значение m проекции момента. Вычислить в первом порядке теории возмущений вероятности различных значений проекции момента и энергии ротатора приt → ∞. Рассмотреть конкретные зависимости E (t) вида, указанного в условии задачи11.1.4.11.1.7 В условиях задачи 11.1.4 найти во втором порядке теории возмущений вероятности переходов осциллятора , запрещенные в первом порядке. Сравнить вероятности W [n → n ± 2]и W [n → n ± 1].11.1.8 На частицу, находящуюся при t < 0 а n-м стационарном состоянии в поле U (x) = −αδ(x),при t > 0 накладывается слабое однородное поле вида V (x, t) = −xF0 sin ω0 t. Найти вероятность W0 (t) того, что частица к моменту t останется связанной в поле ямы. Считать~ω0 |E0 | (|E0 | – энергия связи частицы; для частиц с энергией E |E0 | действиепотенциала можно рассматривать как возмущение).11.1.9 Решить предыдущую задачу при произвольной частоте возмущения. Может ли частица«покинуть» яму, если ~ω0 < |E0 |11.1.10 Частица находится в одномерном поле U (x); U (x) → 0 при x → ±∞.
Рассматриваядействие поля как возмущение, найти коэффициенты отражения и прохождения частицс энергией E с помощью теории возмущений в непрерывном спектре. Указать условияприменимости рассмотрения.11.1.11 Вычислить вероятность перехода между уровнями 1 и 2 под действием нестационарноговозмущения 1 αt2e , t < 0,V̂ (t) = V̂0 f (t) cos ωt , f (t) =1 − 21 e−αt , t ≥ 0считая, что при t → −∞ система находилась в состоянии ψ1 .11.1.12 Обязательная.
Пусть атомная система, рассмотренная в предыдущей задаче, подвергается действию периодического возмущенияW (t) = W e−iωt + W † eiωt .(3)Обсудить вопрос о резонансном поглощении и выяснить, каким образом влияет на вероятность переходов конечная ширина спектральной линии возмущающего поля.11.1.13 Пользуясь импульсным представлением и ограничиваясь первым порядком нестационарной теории возмущений, получить выражение для дифференциального сечения рассеяния. Считать, что возмущение включается в момент времени t = 0, а затем остаетсяпостоянным.11.1.14 Пусть на расстоянии b (прицельное расстояние) от атома щелочного металла пролетает электрон. Скорость электрона v предполагается большой по сравнению со скоростьювалентного электрона в атоме. В результате кулоновского взаимодействия атом можетперейти в возбужденное состояние.
С помощью нестационарной теории возмущений рассчитать эффективное сечение такого процесса.211.1.15 На атом водорода, находящийся в основном состоянии, падает линейно поляризованнаясветовая волна (Ekx,Hky), распространяющаяся в положительном направлении оси z.Найти угловое распределение фотоэлектронов и вычислить дифференциальное сечениефотоэффекта. Считать, что электроны в конечном состоянии приближенно можно описывать плоскими волнами. Эффекты запаздывания не учитывать.11.1.16 На двухуровневую систему (частота перехода ω12 = ω0 ) деиствует импульс гармонического поля вида V (t) = V0 exp(−αt+iωt). Параметры импульса можно менять так, чтобыего полная энергия (интеграл от интенсивности по времени) оставалась постояннои.
Прикаком значении α вероятность перехода будет максимальна?2. Внезапные воздействия.11.2.1 Обязательная. Частица находится в поле с потенциалом:U1 (x, t) = −q1 δ(x),t < 0;U2 (x, t) = −q2 δ (x) ,t ≥ 0,(4)(в момент t = 0 емкость ямы скачком меняется). При t < 0 частица находится в основном (связанном) состоянии. Вычислить вероятность w00 перехода частицы в связанноесостояние при t > 0 как функцию параметра ξ = q2 /q1 .11.2.2 Частица находится в поле с потенциалом:U1 (x, t) = −qδ(x),t < 0;U2 (x, t) = −qδ(x − a),t ≥ 0,(5)(в момент t > 0 яма скачком передвигается на расстояние a). При t < 0 частица находится в основном (связанном) состоянии.
Вычислить вероятность w00 перехода частицыв связанное состояние при t > 0 как функцию параметра η = mqa/~2 .11.2.3 Обязательная. Частица находится в поле с потенциалом:U1 (x, t) = −qδ(x),t < 0;U2 (x, t) = −qδ(x − vt),t ≥ 0,(6)(в момент t > 0 яма внезапно приходит в движение с постоянной скоростью v). Приt < 0 частица находится в основном (связанном) состоянии.
Вычислить вероятность w00перехода частицы в связанное состояние при t > 0 как функцию параметра ζ = ~v/q.11.2.4 Частица находится в поле с потенциалом:U1 (x, t) = −qδ(x), t < 0;gt2,U2 (x, t) = −qδ x −2t ≥ 0.(7)(в момент t = 0 яма внезапно приходит в движение с постоянным ускорением g). Приt < 0 частица находится в основном (связанном) стоянии.
Вычислить вероятность w00перехода частицы в связанное состояние при t > 0 как функцию параметра ν = g~4 /mq 3 .11.2.5 В рамках нестационарной теории возмущений получить выражения для вероятностей переходов системы под действием возмущений, зарактеризующихся следующей временнойзависимостью:(а) мгновенное включение:3V̂ (t) = 0,V̂ (t) = V̂0 ,t<0(8)t > 0 (V̂0 не зависит от времени)(б) «импульсное» действие: V̂ (t) = Ŵ0 δ(t).Каково условие применимости полученных выражений, если включение (и выключениев случае (б)) возмущения происходит не мгновенно, а за конечное время τ ?11.2.6 Система, описываемая гамильтонианом Ĥ0 , находится в n-м стационарном состояниидискретного спектра. При t = 0 гамильтониан системы внезапно изменяется и становитсяˆ = Ĥ + V̂ (Ĥ и V̂ от времени не зависят).
Найти вероятностиравным (при t > 0) H̃0000различных стационарных состояний системы при t > 0. В случае малого возмущения V̂0сравнить с результатом предыдущей задачи.11.2.7 Обязательная. Двухуровневая система находится в основном состоянии. При t > 0 онаподвергается действию постоянного возмущения с недиагональным матричным элементом V . Вычислить зависимость от времени вероятности w(t) перехода в возбужденноесостояние.11.2.8 Вычислить вероятность перехода атома трития H3 , находившегося в основном (1s) состоянии, в основное (1s) и первое возбужденное (2s) состояния иона He3+ при β-распадеядра, считая, что распад происходит мгновенно.11.2.9 Гамильтониан системы имеет вид Ĥ = Ĥ0 + Ŵ0 δ(t). При t < 0 система находилась в n-мстационарном состоянии дискремтного спектра.
Найти вероятности различных стационарных состояний системы при t > 0. Для слабого возмущения V̂ = Ŵ0 δ(t) сравнитьс результатом задачи 11.2.5. Для случая Ŵ0 = −xP0 дать наглядную интерпретациюполученного результата.11.2.10 Частица находится в основном состоянии в бесконечно глубокой потенциальной яме шириной a (0 < x < a).
В некоторый момент времени правая стенка ямы за короткий интервал времени τ смещается в точку b (b > a). Найти вероятности возбуждения различныхстационарных состояний частицы после остановки стенки. Указать условия применимости полученных результатов. Рассмотреть случай b = 2a.11.2.11 Частица находится в основном состоянии в мелкой прямоугольной потенциальной ямешириной a. Внезапно ширина ямы изменяется до значения b ∼ a, глубина ямы приэтом не меняется. Какова вероятность того, что при этом частица покинет яму? Каковасредняя энергия частицы, покидающей яму?11.2.12 Решить задачу типа предыдущей в случае, когда меняется в n ∼ 1 раз потенциальнаяэнергия (глубина ямы), а ширина остается неизменной.11.2.13 На заряженный осциллятор, находящийся в основном состоянии, внезапно накладывается однородное электрическое поле, направленное вдоль оси колебаний.
Найти вероятности возбуждения различных состояний осциллятора после включения поля.11.2.14 У линейного осциллятора, находящегося в основном состоянии, в момент времениt = 0 «точка подвеса» начинает двигаться с постоянной скоростью V . Найти вероятностивозбуждения различных состояний осциллятора при t > 0.43. Адиабатическое приближение.11.3.1 Гамильтониан Ĥ(p̂, q, λ(t)) некоторой системы, совершающей одномерное финитное движение, явно зависит от времени. Для каждого момента времени t предполагаются известными спектр собственных значений En (t) «мгновенного» гамильтониана и полнаясистема соответствующих ортонормированных собственных функций ψn (q, t). Записатьволновое уравнение для системы по представлении, базисом которой является системыфункций ψn (q, t).11.3.2 Гамильтониан системы, охарактериизованной в предыдыущей задаче, является медленно меняющейся функцией времени t.
Предполагая систему находящейся при t = 0 в n-мквантовом состоянии, найти ее волновую функцию при t > 0 в первом порядке адиабатической теории возмущений и указать условия применимости результата.11.3.3 На заряженный осциллятор, находящийся при t → −∞ в основном состоянии, накладывается однородное электрическое поле вида:(а) E (t) = E0 exp(−|t|/τ );(б)E (t) = 0,t < 0;E (t) = E0 (1 − e−t/τ ),t > 0.(9)Найти вероятности возбуждения различных состояний осциллятора при t → ∞ в первомпорядке адиабатчиеской теории возмущений. Указать условия применимости полученных результатов.11.3.4 На плоский ротатор, имеющий дипольный момент d и находящийся в основном состоянии, при t > 0 накладывается однородное электрическое поле вида E(t) = E(t)n0 , гдеE(t) = E0 [1 − exp(−t/τ )]. Найти функцию распределения по проекциям момента ротатора при t → +∞ в случае dE0 t ~2 , но dE0 t2 τ ~3 (сильное медленно включаемоеполе).11.3.5 Частица находится в поле двух δ-функционных ямU (x, t) = −α[δ(x − L(t)/2) + δ(x + L(t)/2)].При t → −∞ ямы находились на бесконечно большом расстоянии друг от друга и частица была связана одной из ям.
Расстояние между ямами L(t) медленно уменьшается,и в некоторый момент времени T ямы «сливаются» в одну: U (x) = −2αδ(x). Каковавероятность того, что при этом частица останется в связанном состоянии?5.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
