Список задач 9 (1129432)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Квантовая теорияВторой поток. Осень 2014Список задач №9Тема: Системы частицКомпозитные системы и матрица плотности.Системы взаимодействующих частиц. Тождественные частицы.Идеальный ферми-газ.1. Композитные системы и матрица плотности9.1.1 Верно ли, что чем больше чистота состояния кубита π = Trρ2 , тем меньше его энтропияS = −Tr (ρ log ρ)?9.1.2 Представить рассмотренные на лекции однокубитные матрицы плотности ρi , (1 ≤ i ≤ 5)в виде разложений по ансамблям чистых состояний∑ρ=pn |ψn ⟩ ⟨ψn | .n(ρ1 =(ρ4 =103/4000)()()1/2 1/23/4 1/4, ρ2 =, ρ3 =,1/2 1/21/4 1/4)()01/2 0, ρ5 =.1/40 1/29.1.3 Возможно ли, чтоρ=∑pi |ψi ⟩ ⟨ψi | =i∑qi |φi ⟩ ⟨φi |iдля |ψi ⟩ ̸= |φj ⟩ и pi ̸= qi ? Если нет – доказать, если да – привести пример.9.1.4 (Обязательная задача) Кубит находится в состоянии, описываемом матрицей плотности общего вида)(ρ11 ρ12.ρ=ρ∗12 ρ22Какова вероятность получить исходы +1 и -1 при измерении наблюдаемых, описываемыхматрицами Паули σx , σy и σz ?9.1.5 Матрица плотности двухкомпонентной смеси имеет вид ρ = λρ1 + (1 − λ)ρ2 , 0 ≤ λ ≤ 1.Доказать, что для энтропии S(ρ) выполняется неравенство S(ρ) ≥ λS(ρ1 ) + (1 − λ)S(ρ2 ).9.1.6 Фиделити для смешанных состояний определяется как(F(ρ1 , ρ2 ) =)2√√√Trρ1 ρ2 ρ1 .()Используя для однокубитной матрицы плотности параметризацию ρ = ρ(P⃗ ) = 1/2 1 + ⃗σ P⃗ ,где ⃗σ = {σ1 , σ2 , σ3 } – вектор матриц Паули, показать, что()√11 + P⃗1 P⃗2 + (1 − |P⃗1 |2 )(1 − |P⃗2 |2 ) .F(ρ1 , ρ2 ) =219.1.7 (Обязательная задача)Пусть система двух частиц со спином 1/2 находится в чистомсостоянии со спиновой функцией|Ψ⟩ = α |↑↑⟩ + β |↑↓⟩ + γ |↓↑⟩ + δ |↓↓⟩ .Показать, что энтропии подсистем (спинов 1 и 2) равны.9.1.8 Рассмотрим композитную систему с матрицей плотности ρ12 и матрицами плотностиподсистем ρ1(2) = Tr2(1)ρ12 .

Доказать субаддитивность энтропии фон Неймана:S(ρ12 ) ≤ S(ρ1 ) + S(ρ2 )9.1.9 Две частицы находятся в состоянии с волновой функцией()()(x1 + x2 )2(x1 − x2 )2ψ(x1 , x2 ) = N exp −exp −,2a22b2где N – нормировочный коэффициент. Определить энтропию состояния каждой из частиц.9.1.10 Пусть центр масс атома водорода в основном состоянии локализован и неподвижен. Оценить кинетическую энергию протона.9.1.11 Показать, что чистота состояния π = Trρ2 не меняется при унитарной эволюции.2. Системы взаимодействующих частиц.

Тождественные частицы.9.2.1 Найти энергетический спектр системы двух одинаковых частиц, взаимодействующих потенциалом{∞, |x − y| ≤ d,V (x − y) =0, |x − y| > d(модель твердых стержней) и помещенных в потенциальный ящик (см. L11, п. 2){∞, |x|, |y| > a,U (x) = U (y) =0, |x|, |y| ≤ a.9.2.2 Два атома водорода, находящиеся в основном состоянии, расположены на расстоянии Rдруг от друга. Считая ядра атомов покоящимися, показать, что в первом порядке теориивозмущений энергия взаимодействия атомов равна нулю и что учет второго порядкатеории возмущений приводит к силам притяжения Ван-дер-Ваальса.9.2.3 (Обязательная задача) Вычислить энергию основного состояния E0 одномерной системы N невзаимодействующих фермионов (со спином 1/2)a) помещенных в потенциальный ящик длины L – поле с потенциалом{∞, |x| > L,U (x) =0, |x| ≤ L;b) помещенных в поле с потенциалом гармонического осциллятораU (x) =1mω 2 x2 ;2c) для случая b) найти линейную плотность частиц ρ(x) при N ≫ 1, используя методВКБ.29.2.4 Две тождественные частицы (бозоны - или фермионы с разными проекциями спина)находятся в (одномерном) потенциальном поле в состоянии с ВФ( 2)x1x22ψ(x1 , x2 ) = N exp − − αx1 x2 −,22где N – нормировочный коэффициент.

Найти закон взаимодействия частиц.9.2.5 (Обязательная задача) Найти энергию основного и первого возбужденного состояниятрех частиц, находящихся в потенциале гармонического осциллятора U (xi ) = mω 2 x2 /2 ивзаимодействующих гармоническим потенциалом V (xi − xj ) = 21 mΩ2 (xi − xj )2 , рассмотреть случаиa) бозонов со спином 0,b) фермионов со спином 1/2.9.2.6 Найти зависимость от числа частиц N радиуса области локализации системы тождественных взаимодействующих частиц, притягивающихся попарно осцилляторным потен2циалом U (⃗rij ) = 12 ⃗rijв основном состоянии, если частицы сутьa) бозоны;b) фермионы со спином 1/2.9.2.7 Вычислить плотность состояний для частиц с законом дисперсии E = cp (ультрарелятивистский случай) в непроницаемом d-мерном ящике при d = 1, 2 и 3.

Нарисовать графикиρ(E).2. Идеальный ферми-газ9.3.1 Вычислить среднюю величину скорости нуклонов в ядре, считая протоны и нейтроныкомпонентами идеального ферми-газа.9.3.2 (Обязательная задача) Считая протоны и нейтроны в ядре компонентами ферми-газаи учитывая кулоновское отталкивание протонов, найти отношение Z/A для наиболееустойчивых изотопов тяжелых ядер.9.3.3 Эмпирическая формула Вайцзеккера для энергии связи ядер содержит член, учитывающий протон-нейтронную асимметрию:2TA = −ε(A − 2Z),Aгде ε = 23.7 МэВ.

Вычислить этот коэффициент, считая протоны и нейтроны в ядрекомпонентами идеального ферми-газа.9.3.4 Оценить концентрацию электронов, при которой электронный ферми-газ в основном состоянии становится релятивистским.9.3.5 (Обязательная задача) Оценить максимальную массу белого карлика, считая его вещество включающим релятивистский электронный ферми-газ.9.3.6 Описывая электроны проводимости в металле моделью ферми-газа, вычислить модульвсестороннего сжатия( 2 )∂ EB=V∂V 2 Nи сравнить с экспериментальными данными для щелочных металлов.39.3.7 Обосновать экспериментальными данными правило вычисления концентрации свободных электронов в металлах ne = na V, где na – концентрация атомов, V – валентностьметалла.9.3.8 Считая протоны и нейтроны в ядре компонентами идеального ферми-газа, оценить плотность состояний для ядер вблизи основного состояния и сравнить с экспериментальнымиданными для железа и молибдена.4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций