Список задач 8 (1129431)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Квантовая теорияВторой поток. Осень 2014Список задач №8Тема: Вариационный метод и стационарная теория возмущений.Прямой вариационный метод.Теория возмущений: невырожденный случай.Теория возмущений: вырожденный случай.Цепочка сильной связи.1. Прямой вариационный метод8.1.1 Для гармонического осциллятора оценить энергию основного состояния вариационнымметодом, используя пробную функцию(1 − αx2 , |x| ≤ α−1/2θ(x, α) =0, |x| > α−1/2 .8.1.2 Используя пробную функцию Ферми(θ(x) =1 − |x|(|x| ≤ α)α ,0, (|x| > α)(L22, п.2, EX1), найти оценку сверху для энергии основного состояния частицы в дельтаяме U (x) = −qδ(x).8.1.3 Доказать, что при использовании любой однопараметрической пробной функции видаθ(αx) для отыскания энергии основного состояния в однородных степенных потенциалахU (x) = K|x|n в точке минимума Ē в точности выполняется теорема о вириале2T̄ = nŪ ,хотя сам T̄ и Ū определяются вариационным методом приближенно.8.1.4 Используя вариационный метод, оценить энергию основного состояния системы с гамильтонианом1 2H=p + x4 .2Вид пробной ВФ выбрать самостоятельно и обосновать.F Найти численно по возможности точное значение энергии основного состояния E0 .8.1.5 Какая из следующих трех пробных функций –1θ1 (αx) =,chαx1θ2 (αx) = 2 ,ch αx(θ3 (αx) =cos2 αx, |αx| ≤0, |αx| > π2π2дает лучшую оценку энергии основного состояния гармонического осциллятора?a) Для значений параметров,дающих минимум Ē, получить оценку E0 снизу из нераqвенства E0 ≥ Ē −2E2 − E .8.1.6 Доказать, что фиделити F пробной функции θ(x) и точной волновой функцией основногосостояния ϕ0 (x) удовлетворяет неравенствуF≥1−1Ē − E0.E1 − E08.1.7 Доказать для энергии основного состояния неравенствоE0 ≥ Ē −E 2 − Ē 2.E1 − ĒУказание: рассмотреть интегралZK = θ(x)(Ĥ − E0 )(Ĥ − E1 )θ(x)dx.8.1.8 Оценить энергию первого возбужденного состояния гармонического осциллятора, используя пробные функцииa)θ(x, α) = x(1 + α|x|) exp(−α|x|);θ(x, α) = xch−1 αx.b)8.1.9 Оценить энергию основного состояния гармонического осциллятора, используя двухпараметрическую пробную функцию((1 − α|x|) cos(βx), |x| ≤ α−1 ,θ(x, α, β) =0, |x| > α−1 .8.1.10 Для гауссовой потенциальной ямыx2U (x) = −U0 exp − 22aвычислить (с тремя десятичными знаками) относительные энергии связи εi = |Ei |/U0основного (i = 0) и первого возбужденного (i = 1) состояний при значении борновскогопараметра B = 3.

Для решения использовать прямой вариационный метод.2. Теория возмущений: невырожденный случай8.2.1 Пусть H = H0 + εV , гдеH0 =E100E2,V =ABBA.Найти поправки первого и второго порядков к собственным значениям H0 .8.2.2 Частица находится в одномерной потенциальной яме U (x) = −U0 ch−2 (x/a). Для этойсистемы:a) Могут ли быть отличны от нуля поправки первого порядка к энергиям основногои первого возбужденного состояний под действием возмущения V (x) = −F x?b) Могут ли быть отличны от нуля поправки второго порядка к энергиям основногои первого возбужденного состояний под действием возмущения V (x) = −F x?8.2.3 Атом водорода, находящийся в основном состоянии, помещен в постоянные однородныеполя:a) электрическое – с напряженностью E = 104 Гс;b) магнитное – с напряженностью H = 104 Гс.Оценить порядки величин сдвигов энергетического уровня28.2.4 Вычислить поправки 1-го и 2-го порядков к уровням энергии гармонического осциллятора при наличии возмущения εV̂ = εx2 .

Оценить радиус сходи-мости ряда теориивозмущений.8.2.5 Пустьp̂2− qδ(x), εV̂ = εqδ(x).2Доказать, что поправки третьего и более высоких порядков по ε к энергии основного(состояния системы E0 0) в точности равны нулю.Ĥ =8.2.6 В модели ангармонического осциллятора с кубической нелинейностью потенциал в осцилляторных единицах имеет видU (x) =x2+ εx3 .2Оценить значение параметра ε для этой модели в приложении к задаче о колебанияхдвухатомной молекулы.8.2.7 Вычислить поправки второго порядка к уровням энергии гармонического осциллятора(0)En под действием возмущения V̂ = εx3 .a) При каких значениях ε можно использовать для спектра возмущенной системы(1)(2)(1)(0)приближение En ≈ En + En + En ? (В этой модели En = 0).b) При каких значениях ε можно использовать для волновой функции возмущенной(1)(0)системы приближение ψn ≈ ψn + ψn ?8.2.8 Доказать, что поправка второго порядка к частоте перехода между соседними уровнямигармонического осциллятора под действием возмущения V̂ = εx3 при ε 1, n 1 васимптотически главном порядке не зависит от ~.8.2.9 Вычислить поправки первого и второго порядков к уровням энергии гармонического(0)осциллятора En под действием возмущения V̂ = εx4 .a) Вычислить энергию основного состояния возмущенной системы с помощью прямого вариационного метода, используя пробную функциюθ(x, α) = exp(−αx2 )с точностью до членов порядка ε2 .b) Найти спектр возмущенной системы методом ВКБ с точностью до членов порядка ε2 .c) Сравнить точность значений энергии основного состояния, найденных с помощьютеории возмущений, прямого вариационного метода и метода ВКБ.8.2.10 Для типичной потенциальной ямыU (x) = −U0 fxaс малым борновским параметром B 1 вычислить энергию основного состояния E0 сточностью до членов второго порядка по B, используя в качестве нулевого приближениямодель δ-ямы.33.

Теория возмущений: вырожденный случай8.3.1 Пусть Ĥ = Ĥ0 + εV̂ , гдеH0 =E100E1,V =ABBA(собственные состояния Ĥ0 вырождены по энергии). Найти поправки первого и второгопорядков по ε к собственным значениям Ĥ0 .8.3.2 Пусть Ĥ = Ĥ0 + εV̂ , где Ĥ0 – гамильтониан двумерного изотропного гармонического(0)осциллятора, а εV̂ = εx̂ŷ. Найти поправки первого порядка к энергиям En основного ипервого возбужденного уровней системы Ĥ0 .8.3.3 Используя теорию возмущений для вырожденного случая, найти дискретный спектр частицы в полеU (x) = −qδ(x − a) − qδ(x + a).Ответ сравнить с результатом задачи 4.2.2.8.3.4 Пусть Ĥ = Ĥ0 + εV̂ , гдеE1Ĥ0 =  000E1000 ,E20εV̂ =  0εV00εVεVεV  .0Вычислить поправки второго порядка по ε к уровням энергии гамильтониана Ĥ0 и сравнить результат с точным решением.8.3.5 Для системы с гамильтонианом нулевого приближенияĤ0 = 111 2px + p2y + (1 + α) x2 + y 2222и возмущением β V̂ = βxy найти спектр трех состояний с наименьшими энергиями приα β 1 и β α 1.8.3.6 Вычислить поляризуемость атома водорода в основном состоянии, используя для вычис~rления второй поправки к уровням энергии атома в присутствии возмущения εV̂ = eE~формулыDE (0)(1)(0)(2)(1) Ĥ0 ψi = εV̂ ψi , Ei = ψi εV̂ ψi.8.3.7 Оценить поляризуемость атома водорода в основном состоянии, используя для вычис~rления второй поправки к уровням энергии атома в присутствии возмущения εV̂ = eE~формулуX V2nm.En(2) =E−Emnma) Взять в сумме в правой части одно слагаемое, соответствующее пере-ходу наближайший к основному уровень (оценка снизу).b) Оценить сумму в правой части, заменив все разности энергий на минимальноезначение E2 − E1 (оценка сверху).

Сравнить с точным решением 8.3.6.44. Теория возмущений: цепочка сильной связи8.4.1 Вычислить плотность состояний в одномерной цепочке сильной связи – одномерной системе с постоянными недиагональными матричными элементамиHn,n+1 = Hn,n−1 = V,у которой диагональные матричные элементы Hnn = 0.8.4.2 Вычислить плотность состояний в одномерной модели Андерсона – цепочке сильной связис постоянными недиагональными матричными элементамиHn,n+1 = Hn,n−1 = V,у которой диагональные матричные элементы Hnn = En случайны, некоррелированы, ираспределены равномерно в полосе шириной W :(1, |E| ≤ W2p(E) = W0, |E| > W2 .8.4.3 Для неупорядоченной дираковской гребенки – потенциалаXU (x) = −qn δ(x − na),nгде qn – случайные (некоррелированные) величины, распределенные по известному закону, при условии e−Q 1, где Q = mhqia~−2 , построить модель цепочки сильной связии сравнить ее с моделью Андерсона.8.4.4 Вычислить плотность состояний в одномерной модели c недиагональным беспорядком цепочке сильной связи с флуктуирующими недиагональными матричными элементамиHn,n+1 = Hn+1,n ≡ Vn = V0 + ξn ,где добавки к матричному элементу ξn случайны, некоррелированы и распределены равномерно в полосе шириной U :(1, |ξ| ≤ U2p(ξ) = U0, |ξ| > U2 ,а диагональные матричные элементы одинаковы, Hnn = 0.8.4.5 Найти зависимость от времени амплитуд an (t) на узлах цепочки сильной связиĤ = V (δn,n+1 + δn+1,n )с начальным условием an (0) = δn0 .8.4.6 Показать, что в цепочке сильной связи в состоянии с плавно меняющимися амплитудами an эволюция амплитуд может быть описана уравнением Шредингера для свободнойчастицы.

Найти первую поправку к этому приближению и определить – увеличиваетсяли при ее учете скорость роста дисперсии координаты или уменьшается?5.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций