Список задач 6 (1129429)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Квантовая теорияВторой поток. Весна 2014Список задач №6Тема «Угловой момент»<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<Компоненты оператора углового моментаJ удовлетворяют коммутационным соотношениямJα , Jβ = iε αβγ Jγ (*)Повышающий J+ и понижающий J− операторы определяются какJ± = J1 ± iJ2>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>6.1. Алгебра операторов момента6.1.1.

Пустьa и b - операторы Бозе:b, b + = 1,a, a + = 1,a, b = a, b + = 0 .Показать, что можно положитьJ1 =Найти вид операторов6.1.2. Пустьa +b + b + a2,J2 =a +b − b + a2iJ3 и J 2 в этом представлении Швингера.a - оператор Бозе.Показать, что операторы()()1212Jˆ+ = aˆ + 2 J − aˆ + aˆ , Jˆ− = 2 J − aˆ + aˆ aˆJ - число, удовлетворяют (вместе с соответствующим J3 ) коммутационным соотношениямJα , Jβ = iε αβγ Jγ (представление Холстейна - Примакова).где6.1.3. Установить соотношение неопределенностей между дисперсиями компонент J1 иуглового момента в состоянии с фиксированным значениемJ3 .6.1.4. (обязательная) Пусть имеет место следующее равенство:iJˆ x iJˆ y iJˆ ze e e ei aJˆ x bJˆ y cJˆ z.J2 оператораНайти коэффициентыa, bис.МОТИВАЦИЯ.

По первому впечатлению задача напоминает 2.5.4 и равенство Бейкера – Кемпбелла– Хаусдорфа. Но это ошибка: там только два оператора. И второе: ответ для задачи «безпараметров» удивительный.6.2. Орбитальный момент. Сферические гармоники.6.2.1. Найти закон преобразования шаровых функций Y11 , Y10 , Y1, −1 при повороте системы координат,характеризуемом углами Эйлера ϑ , y , ϕ .Указание: представить шаровые функции в видеY11 =3 x + iy, Y10 =8π r3 z3 x − iy, Y1, −1 =.4π r8π r6.2.2. Показать, что следующие волновые функции являются собственными для операторов lˆz и lˆ 2 :y 0 (r ) = g (r ) ,y 1 (r ) = zg (r ) ,y 2 (r ) = ( x + iy ) g (r ) ,y 3 (r ) = (3 z 2 − r 2 ) g (r ) ,y 4 (r ) = ( x − iy ) 2 g (r ) ,y 5 (r ) = z ( x + iy ) g (r ) ,где g (r ) – произвольная функция.

Найти соответствующие данным волновым функциям собственныезначения.6.2.3. (обязательная) Сферические гармоники, будучи выраженными в декартовых координатах,могут быть представлены в виде r −l × (однородный полином степени l от переменных x, y, z ).Условие ортонормированности сферических гармоник запишем в виде∫Yl ', m '(θ , ϕ ) ⋅ ∫ Yl ,m (θ , ϕ )dΩ = d ll 'd mm ' ,dΩ = sin θdθdϕ .а) Верно ли, что все состояния, описываемые волновой функцией вида y ( x, y, z ) =1× ( однородныйr2полином второй степени) × f (r ) являются собственными функциями орбитального момента с l = 2 ?Являются ли все состояния, описываемые волновой функцией вида y ( x, y, z ) =1× ( однородныйrполином первой степени) × f (r ) собственными функциями оператора lˆ 2 для l = 1 ?б) Какие из нижеперечисленных функций являются сферическими гармониками:cos 2 θ ⋅ e 2iϕ , sin 2 θ ⋅ e 2iϕ , sin θ ⋅ cos θ ⋅ e 2iϕ , sin θ ⋅ cos θ ⋅ e iϕ ?в) Напишите наиболее общий вид однородного полинома второй степени, который, будучиумноженным на радиальную функцию, соответствует состояниям со значением lz = 0 .

Используйтесвойство ортогональности сферических гармоник с разными значениями l для нахождения состоянияс l = 2.г) Используйте пространственную инверсию относительно плоскости y = 0 , чтобы показать, что сточностью до фазы Yl , − m (θ , ϕ ) = Yl ,m (θ ,−ϕ ) и запишите в полярных и декартовых координатах всенормированные сферические гармоники типа Yl = 2,m (θ , ϕ ) .6.2.4. Получить выражение для плотности тока j (r , θ , ϕ ) для волновой функции следующего вида:y (r ,θ , φ ) = f (r )Yl ,m (θ , φ ) ,значения орбитального момента l = 1 и различных значений m.6.2.5. (обязательная) Предположим, что возможны полуцелые значения орбитального момента,например, l = 1 / 2 . Тогда для соответствующей сферической функции будет иметь место следующееоператорное соотношение:1/2lˆ+Y1/2(θ , φ ) = 0откуда следует, чтоY11/ /22 (θ , ϕ ) ∝ e iϕ / 2 sin θ .Покажите, что получение выражения для Y−11//22 (θ , ϕ ) двумя способами – а) путем воздействия lˆ− наY11/ /22 (θ , ϕ ) и б) с использованием соотношения lˆ−Y−1/21/2 (θ , φ ) = 0 – приводит к противоречию.6.2.6.

Волновая функция частицы задана следующим образом:y ( ρ , φ ) = Ae − ρ2/ 2∆cos 2 ϕ .Определить вероятности наблюдения частицы в состояниях с lz = 0 , lz = 2 , lz = −2 .6.2.7. Плоский ротатор приведен в состояние с волновой функциейΦ (ϕ ) = A(1 + cosϕ + cos 2ϕ ) .Найти наблюдаемые значения lˆz , вероятности их обнаружения и lˆz , (∆lˆz ) 2 .6.2.8. (обязательная) Гамильтониан ротатора, помещенного в однородное магнитное поле B = B0 eˆ z ,имеет видˆ2ˆ L + ω Lˆ ,H=0 z2Iгде ω0 является константой.

Пустьθ , ϕ y ( 0) =3sin θ sin ϕ ,4πтребуется найти величину θ ,ϕ y (t ) . Как меняется величина Lˆ x со временем?6.2.9. Частица находится в состоянии, описываемом волновой функциейy = N ( x + y + 2 z )e −αr ,где N – нормировочный фактор.±1а) Показать, записав Y1 как функцию x, y , z и r , что Y1±1= (3 1/ 2 z3 1 / 2 x ± iy0, Y1 = ( ).)r4π4π2r0)= 2 / 3 ,б) Используя полученный в п. а) результат, показать, что P (l=zP(l==) 1/ 6, P(lz =− ) =1/ 6 .z6.2.10. Используя метод ВКБ, нарисовать графики угловых зависимостей ρ (θ ) плотности вероятностидля частицы в состояниях с азимутальным квантовым числом l = 100 и магнитными квантовымичислами m = 0, 50 и 100.6.3.

Сложение моментов6.3.1. Найти среднее значение оператора µˆ = g1 Jˆ1 + g 2 Jˆ 2 в состоянии, характеризуемом квантовымичислами J, MJ, J1, J2, если полный момент Ĵ равен Jˆ = Jˆ1 + Jˆ 2 .16.3.2. Энергия взаимодействия двух атомов с J1 = 1, J2 = 2 задана выражением Hˆ = ε Jˆ1 Jˆ2 , ε > 0 .2Найти энергетические уровни данной системы и степень их вырождения.6.3.3. Модельный гамильтониан для спин-орбитального взаимодействия выглядит следующимобразом:ˆ V (r ) ⋅ lˆ ⋅ sˆ /  2H=.Считая, что электрон находится в состоянии с орбитальным моментом l = 1 найти матричныеэлементы данного гамильтониана и его собственные значения.6.3.4. (обязательная) Имеются две слабо взаимодействующие подсистемы 1 и 2, состояния которыххарактеризуются квантовыми числами полного момента и его проекции на ось z (l1 , m1 ) и (l2 , m2 ) ,соответственно.

Указать возможные значения полного момента lˆ совокупной системы (1+2) ивычислить среднее значение lˆ 2в рассматриваемом состоянии.6.3.5. (обязательная) При условиях задачи 6.3.4 вычислить вероятности различных возможныхзначений lˆ для частного случая l2 = 1/ 2 .6.3.6. Электронный угловой момент дейтрона равен ˆj= lˆ + sˆ , где lˆ – орбитальный моментэлектрона, а ŝ – его спин. Полный угловой момент дейтрона fˆ=ˆj + iˆ , где iˆ – ядерный спин.Собственные значения операторов ĵ 2 и fˆ 2 равны, соответственно, j ( j + 1) 2 и f ( f + 1) 2 .а) Каковы возможные значения j и f для дейтрона в основном (1s, l = 0) состоянии?б) Каковы возможные значения j и f для дейтрона в возбужденном (2p, l = 1) состоянии?6.3.7. Построить волновые функции всех возможных состояний системы двух бесспиновых частиц, вкоторой имеют определенные значения: суммарный момент J и его проекция M на ось z ,орбитальные моменты частиц l1 и l2 , причем l1= l2= 1 .

Найти вероятности различных значенийпроекций моментов импульса каждой частицы на ось z и средние значения проекций врассматриваемых состояниях.6.4. Спин ½6.4.1. (обязательная) Наиболее общий вид спиновой функции частицы со спином 1/2 в ŝ z представлении естьy = e iα cos β + + e −iγ sin β − .Найти сферические координаты ϕ , ϑ такого направления в пространстве, проекция спина на котороес достоверностью есть +1/2. Такое направление называют направлением поляризации частицы соспином 1/2.6.4.2. Проекция спина электрона на осьпроекция спина на осьz с достоверностью равна 1 2 .Какова вероятность того, чтоz′ , составляющую угол θ с осью z , равна −1 2 ?6.4.3.

Показать, что в системе из двух частиц, обладающих спином 1/2, в случае гамильтониана,симметричного относительно спинов, величина суммарного спина Ŝ представляет собой интегралдвижения.6.4.4. Рассмотрим систему из трех частиц со спином 1/2, расположенных в углах правильноготреугольника, взаимодействие между которыми описывается гамильтонианомHˆ= J ( sˆ1 ⋅ sˆ2 + sˆ2 ⋅ sˆ3 + sˆ3 ⋅ sˆ1 ),где J > 0.а) Показать, что гамильтониан можно переписать с использованием оператора квадрата полногоспина системы Ŝ 2 .б) Каково основное состояние для данной системы и степень его вырождения?6.4.5. (обязательная) Рассмотрите систему из четырех частиц со спином 1/2, расположенных в углахквадрата, взаимодействие между которыми задается гамильтонианомHˆ = J ( sˆ1 ⋅ sˆ2 + sˆ2 ⋅ sˆ3 + sˆ3 ⋅ sˆ4 + sˆ4 ⋅ sˆ1 ).Каково основное состояние для данной системы и степень его вырождения?6.4.6.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций