Список задач 4 (1129427)
Текст из файла
Квантовая теорияВторой поток. Весна 2014Список задач №4Тема «Одномерное стационарное уравнение Шредингера»А. Дискретный спектр4.1. Общие свойства: локализация спектра, асимптотика волновой функции, подобие, движениеуровней при изменении параметровОдномерное стационарное уравнение Шредингера имеет вид−h2 d 2ψ+ U ( x ) ψ = Eψ .2m dx 2Для типичной потенциальной ямы будет использована форма записи потенциала⎛ x⎞U ( x) = − U0 f ⎜ ⎟ ,⎝a⎠где f ( 0 ) = 1 , f ( z ) ≥ 0 Величина U 0 называется глубиной ямы, a − (характерной) шириной ямы.Безразмерный параметрB=называется борновским параметром.2mU 0 a 2h24.1.1.
Может ли состояние с нулевой энергией связи ( E = 0 ) быть связанным в потенциалеобязаU ( x ) таком, что lim U ( x ) = 0 ?тельx →∞ная4.1.2. Оценить (параметрически и численно) энергию основного состояния нейтрона,обяза находящегося над непроницаемой горизонтальной плоскостью в поле тяжести Земли.тельная Оценить высоту области пространственной локализации нейтрона в этом состоянии.4.1.3. Для какого потенциала U ( x ) ВФ основного состояния описывается формулой⎛ x4 ⎞ψ ( x ) = exp ⎜⎜ − 4 ⎟⎟ ?⎝ 4a ⎠Нарисовать график U ( x ) .
Чему равна энергия этого состояния, отсчитанная от минимумапотенциала?4.1.4. Оценить энергию основного состояния частицы в поле с потенциаломобязательнаяU ( x) = 0U ( x) = −( x < 0)αx( x > 0)Список задач №4: Одномерное стационарное уравнение Шредингера24.1.5. Потенциал U ( x) представляет собой двеодинаковые потенциальные ямы, причемU (− x) = U ( x) и U (0) = 0 . Показать, чтосредняя сила, с которой частица действует наямы, для четных стационарных состоянийдискретного спектра приводит эффективно кпритяжению ям, а для нечетных состояний − котталкиванию.4.2.
Слабый потенциал: модель дельта-ямы и ее комбинации4.2.1. Вычислить средние значения квадрата координатыx2и квадрата импульсаp2длячастицы, находящейся в связанном состоянии в потенциале δ -ямы U ( x ) = − qδ ( x ) .4.2.2. Исследовать дискретный спектр частицы в поле потенциала, состоящего из дельта-ямы идельта-барьера,U ( x ) = − qδ ( x − a ) + qδ ( x + a ) ,в зависимости от параметра Q =2mqa.h24.2.3. Для гауссовой потенциальной ямы,обязательная⎛ x2 ⎞U ( x ) = − U 0 exp ⎜ − 2 ⎟ ,⎝ 2a ⎠вычислить относительную энергию связи ε 0 = − ( E0 U 0 ) основного состояния призначении борновского параметра B = 3 , используя модель дельта-ямы.4.3.
Сильный потенциал: гармонический осциллятор (как аппроксимация)Гармонический осциллятор − система с гамильтонианомpˆ 2 m ω 2 qˆ 2Hˆ =+.2m2Для его описания удобно использовать осцилляторную систему единиц, в которой h, m, ω = 1 игамильтониан имеет видpˆ 2 qˆ 2Hˆ =+224.3.1. Доказать, что волновые функции стационарных состояний гармонического осциллятораψ n ( q ) являются собственными функциями оператора Фурье.2 24.3.2. Вычислить среднее значение оператора pˆ qˆ в основном состоянии гармоническогоосциллятора.Список задач №4: Одномерное стационарное уравнение Шредингера34.3.3. Вычислить средние значения операторов x̂ , x̂ 2 , p̂ и p̂ 2 в n -м стационарном состояниигармонического осциллятора ϕn ( x ) .4.3.4.
Вычислить отличные от нуля матричные элементы операторов q̂ 3 и q̂ 4 между волновымифункциями стационарных состояний гармонического осциллятора. Воспользоватьсясоотношениемqˆ =1aˆ + + aˆ ) .(24.3.5. Вычислить матричные элементы степеней координаты0 x 2014 2015 ,0 x 2015 2014 ,0 x 2015 2015между стационарными состояниями гармонического осциллятора ϕn ( x ) ≡ n .4.3.6. Для основного и первого возбужденного состояний гармонического осциллятора найтивероятность нахождения частицы в классически недоступной области.4.3.7. Для какого потенциала U ( x) волновая функция основного состояния имеет вид⎛ x2⎞ψ ( x) = ζ exp ⎜ −−η x ⎟,⎝ 2⎠где ζ – нормировочный множитель?4.3.8. Найти уровни энергии дискретного спектра частицы в поле с потенциаломU ( x) =x2( x > 0),2U ( x ) = ∞ ( x < 0).4.3.9.
Исследовать дискретный спектр частицы в поле с потенциаломk x2U ( x) =+ q δ ( x).2Нарисовать графики зависимостей En ( q ) при постоянном k .4.3.10. Для гауссовой потенциальной ямыобязательная⎛ x2 ⎞U ( x ) = − U 0 exp ⎜ − 2 ⎟⎝ 2a ⎠вычислить относительные энергии связи εi = − ( Ei U 0 ) основного ( i = 0 ) и первоговозбужденного ( i = 1 ) состояний при значении борновского параметра B = 3 , используямодель гармонического осциллятора.Список задач №4: Одномерное стационарное уравнение Шредингера44.4. Промежуточный случай: модели ступенчатых потенциалов4.4.1. Потенциальным ящиком называется потенциалобязательнаяU ( x ) = 0 при x < a,U ( x ) = ∞ при x > aа) Найти энергетический спектр частицы в потенциальном ящике.б) Вычислить плотность вероятности значений координаты и импульса и их дисперсиидля стационарных состояний частицы в потенциальном ящике.в) Показать, что спектр такой системы при n → ∞ близок к эквидистантному.4.4.2.
Прямоугольной потенциальной ямой (ППЯ) называется потенциалобязательнаяU ( x ) = − U 0 при x < a,U ( x ) = 0 при x > aЭлектрон находится в прямоугольной потенциальной яме с параметрами a = 3 ⋅10−8 см иU 0 = 10 эВ . Оценить (не надо решать уравнение Шредингера!) энергию основногосостояния в такой системе.4.4.2А. Электрон находится в прямоугольной потенциальной ямеобязательнаяU ( x ) = − U 0 при x < a,U ( x ) = 0 при x > aс параметрами a = 3 ⋅10−8 см и U 0 = 0.1 эВ .
Оценить (не надо решать уравнениеШредингера!) энергию основного состояния в такой системе.4.4.3. Частица в потенциальном ящике (см. задачу 4.4.1) находится в состоянии с волновой()22функцией ψ ( x ) = ζ a − x , x < a , где ζ − нормировочный множитель.а) Вычислить среднее значение энергии E в этом состоянии.б) Вычислить фиделити F ВФ (1) и точной ВФ ϕ0 основного состояния.4.4.4. Частица в потенциальном ящике находится в состоянии с волновой функциейψ ( x) = ζ (a 2 − x 2 ) ,гдеζx <a,− нормировочный множитель.
Вычислить дисперсию энергии в этом состоянии.4.4.5. Для гауссовой потенциальной ямыобязательная⎛ x2 ⎞U ( x ) = − U 0 exp ⎜ − 2 ⎟⎝ 2a ⎠вычислить относительные энергии связи εi = − ( Ei U 0 ) основного ( i = 0 ) и первоговозбужденного ( i = 1 ) состояний при значении борновского параметра B = 3 , используямодель прямоугольной ямы.Список задач №4: Одномерное стационарное уравнение Шредингера54.4.6.
Существует ли прямоугольная потенциальная яма, в которой у частицы есть только двасвязанных состояния с энергиями E0 = − 1 и E1 = − 0.7 ?Если «НЕТ» − привести доказательство, если «ДА» − привести пример (параметры ямы).4.4.7. Найти условие существованияобязапрямоугольной яметельнаяU ( x ) = U1 при x < − a,состоянийдискретногоU ( x ) = 0 при x < a,спектравасимметричнойU ( x ) = U 2 при x > aИсследовать предельные случаи U1 → ∞ и U1 → U 2 .4.4.8. Для частицы в потенциальном ящике (см. задачу 4.4.1) определить вид операторовкоординаты и импульса в энергетическом представлении.4.4.9. Для частицы, находящейся в трехмерном прямоугольном параллелепипедоидальномпотенциальном ящике с непроницаемыми стенками с попарно несоизмеримыми квадратамисторон – вычислить функцию P ( S ) распределения относительного расстояния междусоседними уровнямиSn =En+1 − EnΔEnгде ΔEn − среднее расстояние между соседними уровнями в окрестности уровня En .4.5.
Численное отыскание дискретного спектра4.5.1. Для прямоугольной потенциальной ямы (ППЯ)обязательнаяU ( x ) = − U 0 при x < a,U ( x ) = 0 при x > aвывести трансцендентное уравнение, описывающее дискретный спектр частицы, ивычислить с точностью 1% значения энергии основных состояний в ППЯ в условиях задач4.4.2 и 4.4.2A, сравнив с ответами этих задач.4.5.2. Для гауссовой потенциальной ямы⎛ x2 ⎞U ( x ) = − U 0 exp ⎜⎜ −2 ⎟⎟,⎝ 2a ⎠вычислить (с тремя десятичными знаками) относительные энергии связи εi = Ei U 0основного ( i = 0 ) и первого возбужденного ( i = 1 ) состояний при значении борновскогопараметра B = 3 .4.5.3. Для асимметричной «эрмитовской» потенциальной ямы⎛ x2 ⎞⎛x⎞U ( x ) = − U 0 ⎜ ⎟ exp ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ ,⎝a⎠⎝ 2a ⎠вычислить (с двумя десятичными знаками) относительную энергию связи основногосостояния ε 0 = E0 U 0 при значении борновского параметра B = 2 .Список задач №4: Одномерное стационарное уравнение Шредингера6B.
Непрерывный спектр4.6. Общие свойства: постановка задачи рассеяния, симметрия4.6.1. Потенциал U ( x ) имеет кусочно-постоянный характер:обязательная4U( xn)2022xnU ( x) = ∞x<0U ( x ) = −10 < x <1U ( x) = 11< x < 2U ( x) = 02< xа) Указать интервал энергий, в котором энергетический спектр частицы в такомпотенциале может быть дискретным.б) Указать интервал энергий, в котором энергетический спектр частицы втакомпотенциале является невырожденным.задач 4.4.2 и 4.4.2A, сравнив с ответамиэтих задач.4.6.2.
Какую размерность имеют волновые функции стационарных состояний дискретного инепрерывного спектров для одномерного уравнения Шредингера?4.6.3. Найти общие собственные функции гамильтониана свободного движения Ĥ 0 и оператораинверсии P̂ .4.6.4. Потенциал U ( x )имеет вид ступеньки: U ( x ) → 0 приx → − ∞ и U ( x) → U0 .при x → ∞ . Найти зависимость коэффициента прохождения частицы от ее энергии Eпри E → U 0 .4.7. «Точно решаемые» модели: дельта-потенциал, ступенчатые потенциалы и их комбинации4.7.1. Частица падает слева в потенциальном поле прямоугольной «ступеньки»:обязательнаяU ( x ) = 0 при x < 0,U ( x ) = U 0 при x > 0.Для заданной энергии E нарисовать график зависимостикоэффициента прохождения T от параметра β = U 0 E4.7.2. При отражении от прямоугольной ступеньки:U ( x ) = 0 при x < 0,U ( x ) = U 0 при x > 0волновую функцию в области x < 0 для E < U 0 можно представить видеСписок задач №4: Одномерное стационарное уравнение Шредингера7e i k x + e− (i k x + δ) .Найти зависимость δ ( E ) .4.7.3.
Вычислить коэффициент прохождения T ( E ) в поле прямоугольного потенциалаобязательнаяU ( x ) = U 0 при x < a ,U ( x ) = 0 при x > a .Рассмотреть случаи U 0 > 0 (прямоугольный барьер) иU 0 < 0 (прямоугольная яма).Нарисовать графики зависимости T ( E ) при малых ( B 1 ) и больших ( B 1 ) значенияхборновского параметра B .4.7.4. Вычислить коэффициент прохождения T ( E ) в поле потенциалаU ( x ) = U 0 − q δ( x) при x < a ,U ( x ) = 0 при x > a .2 m a 2U 02maq1,Для случая, когда одновременно выполнены условия 1 , найти2==2(параметрически) значение энергии Eres < U 0 , при котором имеет место резонансноетуннелирование через барьер: T ( Eres ) = 1 .4.7.5.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
