Список задач 3 (1129426)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Квантовая теорияВторой поток. Весна 2014Список задач №3Тема: Основные уравнения. Координатное и импульсное представления.Соотношения неопределенностей. Динамика в картине Гейзенберга.Динамика в картине Шредингера1. Координатное и импульсное представления3.1.1 Доказать, что если для функции ψ(x) из класса L2 мнимая часть пропорциональна вещественной: Im(ψ(x)) = const × Re(ψ(x)), то среднее значение оператора импульса p̂ втаком состоянии равно нулю.3.1.2 (Обязательная задача) Доказать, что унитарный оператор сдвига начала отсчета координаты и импульса x̂ → x̂ + xˆ0 и p̂ → p̂ + pˆ0 имеет вид[]iÛ (x0 , p0 ) = exp (p0 x̂ − x0 p̂) + iφ .~3.1.3 Вычислить [x̂, Û (x0 , 0)] для оператора Û (x0 , p0 ) из задачи 3.1.23.1.4 Как меняется среднеекоординаты ⟨x̂⟩ под действием оператора сдвига начала[ значение]отсчета Û (x0 ) = exp − ~i x0 p̂ ?3.1.5 (Обязательная задача) Свободная частица находится в состоянии][1x2ψ(x) = 1/4 √ exp ikx −,2w2πwнайти среднее значение и дисперсию энергии частицы.3.1.6 Низковольтная электронная пушка ELG-2A, выпускаемая компанией Kimball Physics(http://www.kimballphysics.com/), обладает минимальной шириной энергетического распределения пучка ∆E = 0.3 эВ (см.

табл.). Считая среднюю энергию электронов равнойE = 1 кэВ (середина рабочего диапазона - см. табл.) и считая, что ширина энергетического распределения ∆E целиком связана с ограниченностью продольного размераволнового пакета электрона, оценить его наибольшую длину L.2. Соотношения неопределенностей3.2.1 Волновая функция свободной частицы в координатном представлении имеет видψ(x) = A1chαx.(1)Вычислить нормировочный коэффициент и найти произведение неопределенностей ∆x∆pв этом состоянии.13.2.2 Свободная частица в начальный момент времени находится в состоянии[]i(x − x0 )2ψ(x, t = 0) = A exp p0 x −~2a2с минимально возможным значением произведения неопределенностей ∆x∆p = ~2 . Найдите зависимость ∆x(t)∆p(t).3.

Динамика в картине Гейзенберга3.3.1 Гамильтониан системы с тремя состояниямивид1Ĥ = ~ω  00в своем собственном представлении имеет00000 .−1Решив уравнения Гейзенберга, найти закон движения произвольного эрмитова оператораp a bL̂ =  a∗ q c  .b∗ c∗ r3.3.2 (Обязательная задача) В момент времени t = 0 свободная частица находится в состоянии с волновой функцией[]i(x − x0 )2ψ(x, t = 0) = A exp p0 x −.~2σ 2Найти временную зависимость средних значений ⟨x̂(t)⟩, ⟨p̂(t)⟩, ⟨∆x̂(t)2 ⟩, ⟨∆p̂(t)2 ⟩.3.3.3 (Обязательная задача) В момент времени t = 0 частица в потенциале гармоническогоосциллятора находится в состоянии с волновой функцией[]i(x − q0 )2ψ(x, t = 0) = A exp p0 x −.~2σ 2Найти временную зависимость средних значений ⟨x̂(t)⟩, ⟨p̂(t)⟩, ⟨(∆x̂(t))2 ⟩, ⟨(∆p̂(t))2 ⟩.3.3.4 (Обязательная задача) Частица совершает одномерное движение в потенциале пара2 2болического барьера: U (x) = − mω2 x .

В начальный момент времени состояние частицыописывается волновой функцией[]1(x − a)2ψ(x) = 1/4 √ exp ikx −.2σ 2πwИсследовать поведение среднего значения координаты ⟨x(t)⟩ в зависимости от среднейэнергии частицы ⟨E⟩ и параметров a, k и σ.3.3.5 Вычислить значение разновременного коммутатора [p̂(t), x̂(t′ )] дляa. свободной частицы;б. гармонического осциллятора.3.3.6 Показать, что для одномерного движения свободной частицы с массой m выполняетсясоотношение неопределенностей⟨(∆x(t))2 ⟩⟨(∆x(0))2 ⟩ ≥2~ 2 t24m23.3.7 Для одномерного гармонического осциллятора в основном состоянии вычислить корреляционную функцию C(t) = ⟨x̂(t)x̂(0)⟩, где x̂(t) - оператор координаты в картине Гейзенберга.3.3.8 Для системы с гамильтонианом Ĥ =p̂22mB2 =+ U (r) вычислить сумму∑24|xnk | ωkn,kгде |n⟩ – стационарное состояние дискретного спектра, индекс k нумерует все стационарные состояния, x̂ – оператор координаты, ωkn – частота перехода.3.3.9 Для системы с гамильтонианом Ĥ =p̂22mA2 =+ U (r) вычислить сумму∑25|xnk | ωkn,kгде |n⟩ – стационарное состояние дискретного спектра, индекс k нумерует все стационарные состояния, x̂ – оператор координаты, ωkn – частота перехода.4.

Динамика в картине Шредингера3.4.1 (Обязательная задача) Частица находится в ящике, разделенном барьером на двечасти. Обозначим состояние, в котором частица с достоверностью находится в левой(правой) части ящика, |L⟩ (|R⟩). «Туннелирование» частицы через барьер описываетсягамильтонианомĤ = ∆ (|L⟩ ⟨R| + |R⟩ ⟨L|) .Пусть в начальный момент частица находится в левой части ящика, как зависит отвремени вероятность обнаружить ее в правой части? Как будет эволюционировать вовремени состояние, имеющее в начальный момент времени вид |ψ(t = 0)⟩ = α |L⟩+β |R⟩?3.4.2 (Обязательная задача) Двухуровневая система с гамильтонианом Ĥ = ~ωσ̂2 , где σ̂2- матрица Паули, в начальный момент времени находится в состоянии |0⟩ = (1 0)TВычислите зависимости от времени неопределенностей ⟨∆σ̂1 ⟩ и ⟨∆σ̂3 ⟩.3.4.3 Гамильтониан двухуровневой системы в самом общем случае имеет вид()E1 0V̂ † ,Ĥ = V̂0 E2где V̂ - унитарная матрица вида()cos θeiφ − sin θeiη.sin θe−iη cos θe−iφ( )()10Обозначим |0⟩ =, а |1⟩ =.01Покажите, что вероятности перехода P0→1 (t) = | ⟨1| e−iĤt/~ |0⟩ |2 и P1→0 (t) = | ⟨0| e−iĤt/~ |1⟩ |2одинаковы для любого момента времени t.V̂ = eiθ3.4.4 Найти временну́ю функцию Грина G(x, t; x′ , t′ ) для свободной частицы.

Эта функция удовлетворяет уравнению Шредингера по переменным x, t и начальному условию G(x, t, x′ , t′ ) =δ(x − x′ ).33.4.5 Гармонический осциллятор находится при t = 0 в состоянии с волновой функцией√12ψ(x, t = 0) = √ φ1 (x) + iφ2 (x),33где φn (x) – волновые функции n-го стационарного состояния. Вычислить ⟨x(t)⟩.3.4.6 Для большого волнового пакетаψ(t) =N∑ak |ψk ⟩ e−iωk t ,(2)k=1где ak - случайные амплитуды, удовлетворяющие условию нормировки, а ωk - случайныечастоты, равномерно распределенные на интервале от 0 до Ω, исследовать динамикураспада фиделити начального и текущего состояний,F(t) = |⟨ψ(0)|ψ(t)⟩|2 .4.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций