Список задач 2 (1129425)
Текст из файла
Занятия 2-‐4. Математический аппарат квантовой механики 2.1. Векторы линейного пространства, скалярное произведение 2.1.1. Пусть ψ =31 и ϕ =. Вычислить ψ ϕ и ϕ ψ . 24 2.1.2. Доказать неравенство Шварца: для любых векторов и ≥ ! . 2.1.3.
Пусть состояния 1 , 2 , 3 образуют ортонормированный базис, а оператор Ĝ задается выражениями Ĝ 1 = 2 1 − 4 2 + 7 3 ,Ĝ 2 = −2 1 + 3 3 ,Ĝ 3 = 11 1 + 2 2 − 6 3 . Найти матричное представление Ĝ в базисе 1 , 2 , 3 . 2.1.4. * Оператор системы задан выражением Ĥ = a( 1 1 − 2 2 + 1 2 + 2 1 ) . Найти собственные значения Ĥ и соответствующие им собственные вектора. 2.1.5.
(также в разделе 10) Пусть состояния 1 , 2 , 3 образуют ортонормированный базис, а оператор P̂2 определяется как Pˆ2 = 2 2 . Найти матричное представление P̂2 , а также его собственные значения и собственные вектора. Для состояния 1A =(−3 1 + 5 2 + 7 3 )83 найти P̂2 A . 2.1.6. Примером базиса в пространстве ! (пространстве функций действительной переменной, интегрируемых с квадратом модуля) является система функций Эрмита Φn ( x ) =1H n ( x ) e−x 2 , 2n!⋅ 2n π()где H n x – полиномы Эрмита, определенные выражением d n −x 2H n ( x ) = (−1) ee . dx nn()x2Зададим функцию ψ x формулами ψ ( x) = 0⎛⎞⎜⎜ x > 1 ⎟⎟,⎜⎝2 ⎟⎟⎠ψ ( x) = 1⎛⎞⎜⎜ x ≤ 1 ⎟⎟ ⎜⎝2 ⎟⎟⎠Она представляет собой нормированный вектор в пространстве ! и может быть { ( )} .
разложена по базису Φn xПри каком минимальном значении N частичная сумма такого разложения 1 NψN ( x ) = ∑ anΦn ( x ) n=0()представит функцию ψ x с фиделити F ≥ 0.9 ? 2.1.7. Оператор , действуя на функцию , делает ! . Проверить линейность оператора. 2.2. Эрмитово сопряжение 2.2.1. * При каких значениях параметров x и y матрица Â =0.3 0.4ixy, будет а) эрмитовой; б) унитарной? 2.2.2. Вычислить коммутатор операторов и ! : = + , ! = – , где – оператор дифференцирования. 2.2.3. Эрмитова матрица общего вида в пространстве ℂ! имеет вид = ∗ , где и – вещественные параметры, а и ∗ – комплексно сопряженные. Собственные значения этой матрицы 1!,! = + ± − ! + 4 ! .
2Найти соответствующие этим собственным значениям нормированные собственные векторы. Исследовать их структуру при → 0 и при → ∞. 2.2.4. (также в разделе 12) Эрмитовы операторы Â, B̂, L̂ удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям: [ Â, L̂] = 0, [AB, L̂] = 0, [ Â, B̂] ≠ 0. Показать, что среди собственных значений оператора L̂ обязательно есть вырожденные.
2.3. Унитарные операторы 2.3.1. Доказать унитарность оператора Фурье. 2.3.2. * Оператор сдвига определяется следующим образом: ! ≝ − , где – произвольная волновая функция. Найти аналитический вид этого оператора и показать его унитарность. 2.4.
Спектр и собственные функции 2.4.1. Вычислить собственные значения оператора Ĥ (V ) = E1V0VE2V0VE3. 2 Построить графики зависимости собственных значений H i ( i = 1, 2, 3 ) от V . Сколько собственных значений увеличивается с ростом V ? Указание: при решении секулярного уравнения пользоваться не формулами Кардано, а приближенными методами. 2.4.2. * Найти собственные значения и собственные функции указанных неэрмитовых операторов и выяснить их свойства: !!1 0 1а) − !" ; б) + !" ; в) = г) =; 0 00 0 2.4.3. При каком значении оператор sin! tg ! ctg ! cos ! будет иметь равные СЗ? 2.4.4.
На пространстве функций ! 0,1 , интегрируемых с квадратом модуля на отрезке от 0 до 1, ортогонализовать и нормировать систему функций ! = 1, ! = , ! = ! . 2.4.5. (также в разделе 10) Оператор ортогонального проектирования определяется соотношениями Pˆ 2 = Pˆ , Pˆ = Pˆ + . Показать, что а) оператор Iˆ − Pˆ также является проектором, б) для любого нормированного состояния 0 ≤ Pˆ ≤ 1 , в) если P̂, Q̂ являются проекторами в M , N , оператор P̂Q̂ является проектором только если P̂ и Q̂ коммутируют. Показать, что в этом случае Pˆ Qˆ является проектором наM ∩ N . г) если P̂1, P̂2 ,..., P̂N – операторы проектирования, то оператор P̂1 + P̂2 + ...
+ P̂N является проектором только при выполнении условия P̂i P̂j = δ ij P̂i . α =1(−3 1 + 5 2 + 7 3 ) , где 1 , 2 , 3 образуют 83ортонормированный базис. Каковы возможные результаты измерения в этом базисе 2 0 02.4.6. Дано состояние Yˆ = 0 3 00 0 6 и какова вероятность их реализации? 2.4.7. Пусть наблюдаемой величине соответствует оператор R̂ =а ψ = a 26 −2−2 9, 2, ( a + b = 1 ) – некоторое произвольное состояние. Получить R̂ 2 двумя b способами: а) прямым расчетом R̂ 2 = ψ R̂ 2 ψ , 3 б) найдя собственные значения ( r1 , r2 ) и собственные вектора r1 , r2 R̂ 2 или R̂ , представив ψ в виде линейной комбинации собственных векторов, вычислить22R̂ 2 = r12 c1 + r22 c2 . 2.4.8.
Найти собственные значения и собственные векторы бесконечной трехдиагональной матрицы Â , элементы Anm ( n, m = 0, ± 1, ± 2, ... ) которой заданы соотношениями (параметры E и V вещественны): An n = E (все элементы на главной диагонали одинаковы и равны E ), An, n ±1= V (все элементы на обеих диагоналях, примыкающих к главной, одинаковы и равны V ), An m = 0 при m ≠ n , m ≠ n ± 1 (все остальные элементы равны 0). 2.4.9.
Найти собственные значения и собственные векторы бесконечной трехдиагональной матрицы Â , элементы Anm ( n, m = 0, ± 1, ± 2, ... ) которой заданы соотношениями (параметры ε , E и V вещественны): A00 = ε , Ann = E при n ≥ 1 An , n ±1= V , An m = 0 при m ≠ n , m ≠ n ± 1 . 2.5. Произведение операторов, функции от операторов 2.5.1. Вычислить оператор R̂1 (α ) = exp (iασˆ1 ) , где σˆ1 =0 11 0 есть первая матрица Паули. 2.5.2. Вычислить результат действия оператора ⎛ d ⎞Tˆ (λ ) = exp⎜ λ ⎟ ⎝ dx ⎠на гладкую функцию f (x ) .
2.5.3. Пусть E V Hˆ (V ) = 1V E2Вычислить матрицу оператора ⎛i ⎞Uˆ (t ) = exp⎜ Hˆ t ⎟ . ⎝! ⎠Указание: перейти в базис, в котором матрица Ĥ диагональна. 4 2.5.4. (также в разделе 12) Пусть операторы  и B̂ таковы, что их коммутатор Ĉ = ⎡⎣ Â, B̂ ⎤⎦ коммутирует и с  , и с B̂ ⎡⎣ Â, Ĉ ⎤⎦ = ⎡⎣ B̂, Ĉ ⎤⎦ = 0 . Доказать, что при этих условиях выполняется равенство (e Â+ B̂()=e e e B̂2.5.5.
* Представить матрицу Mˆ = aIˆ + bσˆ i)−11− ⎡⎣ Â, B̂ ⎤⎦2 ( Iˆ -‐ единичная матрица, σˆ i -‐ одна из матриц Паули) в виде линейной комбинации Iˆ и σˆ i . 2.5.6. Операторы координаты q̂ и импульса p̂ связаны соотношением [ p̂, q̂ ] = −i! . Доказать, что унитарный оператор сдвига начала отсчета координаты и импульса q̂ → q̂ + q0 и p̂ → p̂ + p0 имеет вид ⎡i⎤Uˆ (q0 , p0 ) = exp⎢ ( p0 qˆ − q0 pˆ ) + iϕ ⎥ , ⎣!⎦где ϕ -‐ произвольное действительное число.
2.5.7. Предполагая λ малой величиной, найти разложение оператора A − λBстепеням . 2.5.8. Доказать тождество Бекера–Кэмпбела–Хаусдорфа: e F̂ Ĝe − F̂ = Ĝ + [ F̂, Ĝ] +!! по 11[ F̂,[ F̂, Ĝ]] + [ F̂,[ F̂,[ F̂, Ĝ]]] + ... 2!3! 2.5.9. Пусть q -‐ собственный вектор оператора Q̂ , которому соответствует собственное значение q. Показать, что q является также собственным вектором ˆоператоров Q̂ n и e Q . Найти соответствующие q собственные значения. 2.6. Алгебра операторов, коммутационные соотношения 2.6.1. Пусть оператор â таков, что â 2 = 0,ââ + + â + â = 1 . Найти спектр оператора n̂ = â + â .
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
