Реферат лекции 5 (Электронные лекции)
Описание файла
Файл "Реферат лекции 5" внутри архива находится в папке "Электронные лекции". PDF-файл из архива "Электронные лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовая теория" из 6 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст из PDF
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯВторой поток. Весна 2014Реферат лекции 5Лемма:Aˆ + Aˆ ≥ 0 .1. Соотношения неопределенностей⎢ Lˆ , Mˆ ⎥ = iNˆ , где все операторы эрмитовы, то в любом состоянии ψ⎢⎣⎥⎦1 ˆΔL ⋅ΔM ≥N .2В доказательстве используется лемма ( ⇑ ).Если•Всегда ли это неравенство выполняется для экспериментальных данных?2. Унитарные операторы и унитарные преобразованияУнитарный оператор:ˆ ˆ + = Uˆ +Uˆ = IˆUUEX1 Общий вид унитарных операторов в пространствеUˆ =cos ϕ eiαsin ϕ eiγC2sin ϕ eiβ− cos ϕ e (i β +γ −α )(параметры вещественные и произвольные).EX2 Матрицы всемействоσˆ 2 =1 01 0, σˆ 3 =C 2 , одновременно эрмитовы и унитарные: Iˆ =0 10 −1ˆ ( p, ϕ ) =Σ0 −i.i 0Матрицы2 −iϕ1− p e−p, из которого выбираютσˆ1 =0 11 0иσˆ i ( i = 1,2,3 ) – матрицы Паули.Унитарное преобразование:••••1 − p 2 eiϕpиˆ ˆ.ψ ′ = Û + ψ , Lˆ ′ = Uˆ + LUОно сохраняет:свойство эрмитовости операторов;коммутационные соотношения;собственные значения;матричные элементы операторов.Переход от одного базиса к другому – унитарное преобразование.3.
Функции от операторовЧаще всего понимаются как степенные ряды.EX1 Вычисление явного вида оператораRˆ k (α ) = exp (iασˆ k ) , где σˆ k- одна из матрицПаули:Rˆ k (α ) = cos α Iˆ + i sin α σˆ k .14. Алгебра операторов и спектрыВ некоторых случаях возможно отыскание собственных значений операторовалгебраическими средствами, без отыскания собственных векторов, а иногда – безконкретизации размерности пространства.P̂ 2 = P̂ следует λ 2 = λ , откуда λ1 = 0 и λ2 = 1 .1EX2 Оператор Фурье Fˆψ ( x ) =eixy ψ ( y ) dy . Повторными умножениями∫2π4получается Fˆ = Iˆ , откуда λ1 = 1, λ2 = i, λ3 = −1, λ4 = −i .EX1 Проекционный оператор: изnˆ = aˆ +aˆ , построенного из пары операторов с коммутационными++соотношениями ⎡⎢ aˆ , aˆ ⎤⎥ = Iˆ .
Действие на собственный вектор операторов â (или â )⎣⎦уменьшает (или увеличивает) собственное значение на единицу. По лемме ( ⇑ )отрицательных собственных значений быть не может ⇒ существует вектор 0 такой,что aˆ 0 = 0 . Спектр n̂ есть {λ } = 0, 1, 2, 3,.. .EX3 Спектр оператораОператорыâиâ +- операторы уничтожения и рождения квантов соответственно, аоператор числа квантов. Действиеâиâ+на функции базисаn-n̂:aˆ n = n n − 1 , aˆ + n = n + 1 n + 1 .Возможна реализация(aˆ = xˆ + dˆ)âиâ +(в пространстве2 , aˆ + = xˆ − dˆМодель с гамильтонианомĤ)L2 .В координатном представлении2 , а оператор числа квантов nˆ =().1 ˆ2−d + xˆ 2 −12вида⎛1⎞Hˆ = =ω ⎜⎜aˆ +aˆ + ⎟⎟⎟⎜⎝2⎠есть гармонический осциллятор. Эта модель описывает• одну моду электромагнитного поля (ср.
задачу Планка из L01)• частицу вблизи минимума потенциала (ср. задачу Эйнштейна – 07 из L01)• заряженную частицу в однородном постоянном магнитном полеТермины1.2.3.4.5.6.7.8.9.Соотношение неопределенностейОбратный операторУнитарный операторМатрицы ПаулиУнитарное преобразованиеОператор уничтоженияОператор рожденияОператор числа квантовГармонический осциллятор■2.