Реферат лекции 3 (Электронные лекции)

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯВторой поток. Весна 2014Реферат лекции 3Гильбертово пространство := любое векторное пространство со скалярнымпроизведением и базисом.1. ОператорыEX1 Проекционный операторP̂ = ψ ψ : если ψ =ψ ψ =EX2 Матрица вcos θ iχe , тоsin θeiϕcos 2 θcos θ sin θ e−iϕcos θ sin θ eiϕsin 2 θ.x yC2 Lˆ =z wEX3 Интегральный оператор вL2- проекционный операторPˆ ϕ ( x) = ∫ ψ ( x)ψ∗ ( y )ϕ ( y ) dyEX4 Интегральный оператор вEX5L2- оператор Фурье1Fˆψ ( x ) =eixy ψ ( y ) dy∫2π“Простые” операторы в L 2 : x̂ψ ( x ) = xψ ( x ) , d̂ ψ ( x ) = ψ ′ ( x )Ядро единичного интегрального оператора – дельта-функция.Iˆψ ( x) = ∫ δ ( x − ξ )ψ (ξ ) d ξ = ψ ( x)Матричный элемент между векторами базиса:Эрмитовское сопряжение:Lmn = m Lˆ n .ϕ Lˆ ψ = ( ψ Lˆ+ ϕ):L∗∗mn= L+nm .Lˆ = Lˆ+ .P̂ , P̂ , x̂ - эрмитовыF̂ , d̂ - неэрмитовыЭрмитов оператор:•Операторы•Операторы2. Собственные векторы и собственные значенияОпределение:••EX1.L̂ ψ = λ ψСобственные значения эрмитовых операторов действительныСобственные функции эрмитова оператора, относящиесясобственным значениям, ортогональны.Для эрмитова оператора - матрицы вpC2 Lˆ = ∗qqrкразличнымсобственные значениядаются корнями секулярного уравнения1Det ( Lˆ − λ Iˆ) = 0и равныλ1,2 =(122p + r ± ( p − r) + 4 q2)(SE)(исследование корней).Уравнение (SE) определяет собственные значения операторов вообще в•До каких значенийВырождение:NCNчисленное решение секулярного уравнения доступно PC?λ1 = λ2 , ϕ1 ≠ ϕ2вырожденному собственному(ортогонализация по Шмидту)..Набор собственных векторов, относящихся кзначению,можетбытьсделанортогональным3.

Спектр оператораСпектр оператора есть множество значенийλ,на котором оператор( Lˆ − λ Iˆ)−1несуществует, определен не всюду в L 2 или не ограничен. Множество собственныхзначений – дискретный спектр. Остальная часть – непрерывный спектр.Спектр эрмитова оператора лежит на вещественной оси.Термины1. Гильбертово пространство2. Линейный оператор3.

Проекционный оператор.4. Тензорное произведение векторов5. Оператор Фурье6. Единичный оператор7. Дельта-функция8. Матричный элемент9. Матрица оператора10. Эрмитовски сопряженный оператор11. Эрмитов оператор12. Собственный вектор13. Собственное значение14. Секулярное уравнение15. Вырожденное собственное значение16.

Кратность вырождения17. Ортогонализация18. Ограниченный оператор19. Спектр оператора20. Дискретный спектр21. Непрерывный спектр■2.