Реферат лекции 27 (Электронные лекции)

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯВторой поток. Осень 2014Реферат лекции 271. Пример С2. Апериодическая цепочка сильной связи: модель АндерсонаОдномерная модель Андерсона есть неупорядоченная цепочка с гамильтонианом,недиагональные элементы которого отличны от нуля только для соседних узлов и всеравны между собой,H n ,n+1 = H n ,n−1 = V ,а энергии состояний на узлах – диагональные элементы гамильтониана,H nn = En ,случайны, некоррелированы и распределены равномерно в полосе ширинойp(E) =1W⎛⎞⎜⎜ E < W ⎟⎟,⎜⎝2 ⎟⎠W:⎛W⎞p ( E ) = 0 ⎜⎜ E > ⎟⎟⎟ .⎜⎝2⎠0График зависимости логарифмовмодулей значений собственнойфункции гамильтониана моделиАндерсона с W V = 3 для− 10ln( Q n , N− 20)− 30состояния с энергией E = 0.014 отномера узла решетки (цепочкадлиной 1000 узлов).− 40− 500400800n•Волновые функции локализованы (= андерсоновская локализация)•Волновые функции убывают экспоненциально вдали от области максимума:ψn ∝ exp (−γ n0 − n )гдеγ ( E ) - показатель Ляпунова, λ = γ −1– длина локализации состояния.2.

Пример С2. Одномерная модель Андерсона. Показатель ЛяпуноваАмплитуды на узлах должны удовлетворять системе уравненийan En + Van+1 + Van−1 = Ean .Заменой переменных Rn = anрекуррентное соотношениеan−1 , λεn = En V , ε = E VRn+1 = ε − λεn −1.Rnполучается(R)Показатель Ляпунова дается выражением1 Nln Rn∑N →∞ Nn=1γ (ε) = lim1Реферат лекции 26Слабый беспорядок,W V 1 : подстановкой Rn = Aeλ Bn +λ Cn +λ Dn +...23разложением по степеням λ , приравниванием коэффициентов припоследующим усреднением получаемλkв (R),иW2γ (E) =.24(4V 2 − E 2 )(w) B. Derrida, E. Gardner.

"Lyapounov exponent of the one dimensional Anderson model: weakdisorder expansions." Journal de Physique, vol. 45, no. 8, pp. 1283-1295 (1984).Сильный беспорядок,W V 1: пренебрегая последним членом в (R), получаемW 2VVγ (E) =ln ε − x dx .W −W∫2V(s)Для локализации состояний в центре зоны трехмерной решетки нужен сильный−γ 0Ke ( ) ≤ 1 , где K - связность решетки (для кубической K = 4.66 ).

Из(s) получается (W V )c = 2 Ke = 25.3 . Численный эксперимент: (W V )c = 16.5 .беспорядок: D.C. Herbert, R. Jones. "Localized states in disordered systems." J. Phys. C: Solid State Physics,vol. 4, no. 10, pp. 1145-1161 (1971).••Края подвижностиПроблема локализации в двумерном случае3.

Условия применимости теории возмущенийcdefБлагоприятное сравнение с данными измеренийБлагоприятное сравнение с числовыми расчетами возмущенной моделиМалость поправок к вектору состояния?• В вырожденном случае поправки могут быть велики (см. L24, п. 2)Малость поправок к значениям энергии?• С чем сравнивать? Значение En(0) произвольно и не может служить масштабом.Пример, где En( ) сколь угодно велики, но высшие поправки малы и1( )( ).ωnk≈ ωnkV0Условия e и f даже в невырожденном случае могут не совпадать –«полусходимость»Бонус: условие c может выполняться, даже если ряды теории возмущенийрасходятся и дискретные уровни энергии отсутствуют.• Квазистационарные состояния (см.

L08, п. 1, EX2), автоионизация (см. L13, п. 2)и расчет поправок к уровням дискретного спектра в электрическом поле(поляризуемость, L23, п. 3; линейный эффект Штарка, L24, п. 3)•Термины1.2.3.4.5.6.Модель АндерсонаАндерсоновская локализацияПоказатель ЛяпуноваДлина локализацииСвязность решеткиКрая подвижности■2.