Реферат лекции 22 (Электронные лекции)

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯВторой поток. Весна 2014Реферат лекции 221. Ревизия использованных приближенных методовa. Приближенное решение трансцендентных уравнений в задачах о двойной дельтаяме (L10, EX1), о прямоугольной яме (L11, п. 2) и о периодической дираковскойгребенке (L13, п. 3) осуществлялось локализацией корней, заменой функций ихасимптотиками и последующими итерациями. Исходный пункт – сшивка точныхрешений – доступен только в специальных моделях.b.

Сведение дифференциального уравнения Шредингера к интегральному (сиспользованием функции Грина) и решение последнего итерациями (L14, п. 1). Методбудет использован в теории рассеяния. Для исследования связанных состоянийметод мало эффективен.c. Метод ВКБ (квазиклассическое приближение) (L14 – 16). Внешне прост,достаточно точен при B 1. Не до конца развит (нами) даже для одномерногослучая (только для двух вещественных точек поворота). Существенна одномерность= разделение переменных.Пока не рассматривались методы, пригодные для определения дискретного спектра исобственных векторов в отсутствие разделения переменных. Такими являютсяпрямой вариационный метод и стационарная теория возмущений.2. Прямой вариационный метод• Место метода: триада ВильсонаДля произвольной нормированной функцииE = θ Hˆ θ ≥ E0 .θсреднее значение энергииПри разумном выборе семейства пробных функцийθ (α )E (α ) дает хорошую оценку (сверху) для E0 .ˆ = ( pˆ 2 + xˆ 2 ) 2 (в собственныхГармонический осциллятор Hминимум функцииEX1.энергия основного состоянияединицах):E0 = 1 2 .Пробная функцияf ( x) = 1 −xα=0( x < α)( x > α)(Э.

Ферми, 1954)Средняя энергия(погрешностьОценка•E0E (α ) =δ = 9.2% ).снизу: еслиE31 2+α2α 2 20ближе кВозбужденные состояния:имеет минимумE0+ = 3 10 = 0.548E0 , чем к иным En , то E0 ≥ E − E 2 − E 2 .если θ k = 0 для всех 0 ≤ k ≤ K −1 ,тоE = θ Hˆ θ ≥ EK и иногда дает хорошую оценку (сверху) для EK••Расширение пространства пробных функций улучшает точность оценокПотенциал ионизации атома гелия: рост точности с увеличением числапараметров пробных функций1Реферат лекции 223. Стационарная теория возмущений••Место теории возмущений среди приближенных методов квантовой теорииПроисхождение c: экспериментально реализуемые воздействия на системы,изучаемые квантовой теорией, по масштабам этих систем малы (электрическоеи магнитное поля и атом – оценки), но влекут наблюдаемые изменения• Происхождение d: иногда удается формально представить гамильтониан каксумму двух операторов, из которых один прост, а другой малПодстановка разложенийEn =∑ ε E( ),n = ∑ ε k n(knkk)в возмущенное стационарное уравнение Шредингера( Hˆ0+ εVˆ ) n = En nи приравнивание коэффициентов при одинаковых степенях ε дает системууравнений, последовательно определяющих поправки.

Первые из них (при ε = 1):kEn( ) = Vnn ,(E1)Vmnm ,−EEm≠nnm(ψ1)1n( ) = ∑12(2)EnV= ∑ nm .m≠n En − Em(E2)Метод неприменим при наличии вырождения. Сколь угодно малое возмущениевызывает сильную перестройку собственных векторов вырожденных состояний (см.пример двойной дельта-ямы (L10, EX1), где при Q 1 фиделити F ≈ 0.5 ).•••Выражение (E1) можно получить из теоремы Хелльмана – Фейнмана (L09, п. 2)Выражение для невозмущенной энергии уровня + первая поправка с точкизрения вариационного метода есть E = θ Hˆ 0+ Vˆ θПоправка второгонеположительнаосновногопорядкакэнергии, гдеθ = n( )0состояниявсегдаТермины1.2.3.4.5.6.Прямой вариационный методПробная функцияНевозмущенный гамильтонианВозмущениеТеория возмущений Рэлея – ШредингераПоправка k -го порядка■2.