Реферат лекции 21 (Электронные лекции)

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯВторой поток. Весна 2014Реферат лекции 211. Кулоновский потенциал: дискретный спектр – подробностиa. В классической механике при движении в кулоновском потенциале притяженияU (r ) = − α rA = r r + (l × p ) mα . Компонентыˆ = rˆ r + (ˆl × pˆ − pˆ × ˆl ) 2 (в атомных единицах)Aсохраняется вектор Рунге – Ленцасоответствующего операторакоммутируют с гамильтонианом, но не с компонентами орбитального момента:⎡lˆ , Aˆ ⎤ = iε Aˆ .ijk k⎢⎣ i j ⎥⎦Наличие некоммутирующих интегралов движения ведет квырождению уровней энергии – в данном случае «случайному».• Случайное вырождение в сферическом осциллятореb.

Структура радиальных волновых функций: точки поворотаr1,2 = n 2 ± n 4 − n 2l (l + 1)r1 ≈ l (l + 1) 2, r2 ≈ 2n 2•Приln•Приl = n −1 доступная область узка: r1,2 ≈ n 2 ± n3 2доступна широкая область:c. Среднее значениеr −1 = n−2п. 1). Среднее значениеможет быть вычислено из теоремы о вириале (L09,−1r −2 = n−3 (l + 1 2)может быть вычислено из теоремыХелльмана – Фейнмана (L09, п. 2). Последовательные средние значения степенейпеременной r в состояниях дискретного спектра частицы в кулоновском поле связанырекуррентной формулой Крамерсаs (2l + 1 + s )(2l + 1 − s ) s−2s +1 ss−1= 0.r−2s+1r+r()n242. Короткодействующие центральные потенциалыОбщая задача – определение условий существования связанных состояний призаданном значении орбитального момента l .EX1.Потенциал сферической оболочки:U (r ) = −qδ (r − a )(ср.

модель двойной−2симметричной дельта-ямы, L10, п. 2); характеризуется параметром Q = 2mqa= .Определяя из радиального уравнения Шредингера величину скачка производнойволновой функции при нулевой энергии,получаемχ = r l +1 (r < a ) , χ = a 2l +1r −l ( r > a ) ,Ql = 2l + 1 .U (r ) = −U 0 (r < a ) , U (r ) = 0 (r > a ) (ср.модель прямоугольной ямы, L11, п. 2).

При l = 0 возможен предельный переходa → 0 : точечный потенциал описывается граничным условием при r = 0EX2.Потенциал сферической ямы:d ln χ= −κdr1Реферат лекции 21E0 = −= 2κ 2 2m .Первое приложение – дейтрон (Бете, Пайерлс; 1935): оценка aκПриложение - отрицательные ионы: оценка aκЕдинственное связанное состояние имеет энергию••l ≥ 1 радиальные волновые функции могут быть получены рекуррентно. Внутри2−2ямы Rl = 2kjl (kr ) , где k = 2m ( E − U 0 )= , а jl ( x ) - сферические функцииДляБесселя, сводящиеся к элементарным:⎛ 3 − x 2 ⎞⎟sin xsin x cos xcos xj0 =, j1 = 2 −, j2 = ⎜⎜ 3 ⎟⎟sin x − 3 2⎜⎝ x ⎠⎟xxxxСшивка решений при нулевой энергии (ср.

EX1) определяет пороговые значенияBl ,l , уравнениемΛ ≈ (2 π ) B .при которых появляются связанные состояния с моментом(Bl = 0 .•Приложение: оболочечная модель ядра (оценка B )jl−1)При небольших22l Bl ≈ (π 2) (l + 1)иEX3. Потенциал Леннарда-Джонса⎡⎛ a ⎞12 ⎛ a ⎞6 ⎤U (r ) = 4U 0 ⎢⎢⎜⎜ ⎟⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎥⎥ .⎝⎜ ⎠⎝⎜ r ⎠ ⎥⎣⎢ r⎦Приложение:взаимодействие−14U 0 = 1.654 ⋅ 10эргиатомов−8a = 3.405 ⋅ 10благородныхсм ).газов(дляаргонаСвязанные и квазистационарныесостояния – димеры.•Потенциал квазиклассический ( B 1 – оценка)•Несмотря на это, модель гармонического осциллятора (L10, п.

3) работает плохоМетод ВКБ позволяет найти количественно:• Энергетические спектры при заданных l• Максимальное значение момента Λ , допускающеесуществование связанных состояний• Максимальное значение момента Λ q , допускающее•существование квазистационарных состоянийВремя жизни квазистационарных состоянийНа рисунке – вид эффективного потенциала для атомоваргона при l = 30 .Термины1.2.3.4.5.6.Вектор Рунге – ЛенцаРекуррентная формула КрамерсаПотенциал сферической оболочкиСферическая ямаТочечный потенциал = потенциал нулевого радиусаОболочечная модель ядра■2.