Реферат лекции 20 (Электронные лекции)

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯВторой поток. Весна 2014Реферат лекции 201. Центральное поле: разделение переменныхФункция Гамильтона системы двух частиц, взаимодействующих потенциалом,зависящим только от расстояния между частицами,p12p 22H=++ U ( r1 − r2 )2m1 2m2введением переменныхP = MR , M = m1 + m2 , R = (m1r1 + m2r2 ) (m1 + m2 ) ,p = mr , m = m1m2 (m1 + m2 ), r = r1 − r2преобразуется к видуH = P 2 2 M + p 2 2m + U ( r ) = H R + H rописывающему свободное движение центра масс ( H R ) и движение частицыприведенной массы в центральном поле ( H r ).

Гамильтониан квантовой моделистроится по постулату 4 (L06, п. 2).Переменные,разделяющиесявуравненииШредингерадлявзаимодействующих частиц, не есть их координаты. Называть волновую функциюотносительного движения ψ (r ) в атоме водорода «волновой функциейэлектрона» принципиально ошибочно – но повсеместно принято.Общая собственная функция оператороввидψ (r ) = R (r )Ylm (θ , ϕ ) , где YlmHˆ r , ˆl 2иlˆzотносительного движения имеет- сферические гармоники (L18, п. 2), а радиальнаячасть удовлетворяет уравнению2= 2 1 d ⎛⎜ 2 dR ⎞⎟ = l (l + 1)−R + U (r ) R = ER⎟+⎜r2m r 2 dr ⎜⎝ dr ⎠⎟2mr 2•Номенклатура состояний в центральном поле; радиальное квантовое числоЗадача сводится к исследованию дискретного спектра в семействе эффективныхпотенциалов= 2l (l + 1)Vl (r ) = U (r ) +2mr 22.

Общие свойства дискретного спектраАсимптотика радиальной функции при малыхЕслиU (r ) r 2 → −∞приr →∞r : Rnl ∝ r l .(дальнодействующий потенциал), то•Существуют связанные состояния со сколь угодно большими значениямимомента l• Число связанных состояний при данном значении момента l бесконечновеликоОбоснование – из правила квантования Бора – Зоммерфельда (L15, п.2).Пример кулоновский потенциал1Реферат лекции 20Если при•r → ∞ U (r ) r 2 → 0(короткодействующий потенциал), тоЧисло связанных состояний при значении момента l не более чем конечноВ частности, даже приl =0связанных состояний в центральном потенциале притяженияможет не быть вовсе.•Существует предельное значение моментаΛтакое, что приl>Λсвязанныхсостояний нет (оценка: Λ B )• При l ≥ 1 в области энергий E > 0 могут иметься квазистационарныесостояния (см. L08, п.

1, EX2 и L13, п. 2)Полное число связанных состояний по формуле Вейля (L16, п.1)32 232 m3 2−Urr dr ∝ B 3 2()()3 ∫3π =(интегрирование ведется по области, где U ( r ) ≤ 0 ).N = N ( 0) =3. Кулоновский потенциал•••Атом водорода: необычно высокая точность простой модели (см. L01, п. 2)Частицы могут быть другими (мезоатом, позитроний, экситон Ванье – Мотта)Дает феноменологические модели многоэлектронных атомов: рентгеновскиетермы (см. L01, п.

2), ридберговские атомы• Является составной частью моделей сложных явлений – взаимодействия стретьей заряженной частицей, взаимодействие с полем излученияУдобно использовать атомную систему единиц (см. справку 2).Радиальное уравнение в приведенных переменныхd 2 R 2 dR ⎡⎢ n 1 l (l + 1)⎤⎥++ − −R=0d ρ 2 ρ d ρ ⎢⎣ ρ 4ρ 2 ⎥⎦−1 2n = (−2 E ) , ρ = 2r n . Подстановка R (ρ ) = ρ l e−ρ 2 w(ρ ) приводит куравнению для w(ρ ) , для которого ограниченное в начале координат решение естьгдевырожденная гипергеометрическая функция w = F (−n + l + 1, 2l + 2, ρ ) . Дляквадратичной интегрируемостиRфункцияw(ρ ) должна быть полиномом, а n-целым числом.

Отсюда спектр:E =−12n 2где n = nr + l + 1 - главное квантовое число. Уровни энергии семейств с разнымиимеют одинаковые значения. Это вырождение называется случайным.lТермины1.2.3.4.5.6.7.8.9.Центральное полеРадиальное квантовое числоГлавное квантовое числоЭффективный потенциалЦентробежный потенциалДальнодействующий потенциалКороткодействующий потенциалРидберговские атомыСлучайное вырождение■2.