Реферат лекции 17 (Электронные лекции)

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯВторой поток. Весна 2014Реферат лекции 171. Алгебра моментаДля построенного по постулату 4 (п. 2 в L06) оператора орбитального моментачастицыˆl = = −1 (rˆ × pˆ ) непосредственным расчетом получаются коммутационныесоотношения⎡lˆ , rˆ ⎤ = iε rˆ ,ijk k⎢⎣ i j ⎥⎦гдеεijk⎡lˆ , pˆ ⎤ = iε pˆ ,ijk k⎢⎣ i j ⎥⎦- единичный антисимметричный тензор. Из них выводятся соотношения⎡lˆ , lˆ ⎤ = iε lˆ .ijk k⎢⎣ i j ⎥⎦Как обобщение, устанавливаются коммутационные соотношения дляоператора углового момента (чаще – просто момента)⎡ Jˆ , Jˆ ⎤ = iε Jˆijk k⎣⎢ i j ⎦⎥•Проекции момента не коммутируют между собой и в общем случае не имеютодновременно определенных значений.•Проекции момента коммутируют с квадратом момента:γ, μБазис- общие собственные функцииĴ 2 и Jˆ z :Jˆ z γ , μ = μ γ , μJˆ 2 γ , μ = γ γ , μ ,Повышающий (+) и понижающий (-) операторыγ, μвγ, μ ±1Jˆ± = Jˆ x + iJˆ yИз Леммы (см.

L05) следует•Ограниченностьμγ ≥ μ2 .влечет существование крайних значений спектра, длякоторых векторы обнуляются операторамиСпектрμmax μ = − min μ = JJ либо целые, либо полуцелыеγ = J ( J + 1)•В этом базисеJ,M(изменение обозначений!) матрица( Jˆ )z(MĴ ± .эквидистантен с шагом 1 и ограничен равными по модулюзначениями•переводят вектор, меняя норму.••⎡ Jˆ , Jˆ 2 ⎤ = 0 .⎣⎢ i ⎦⎥ijJˆ zдиагональна:= M δij= J − i + 1 , 1 ≤ i ≤ 2 J + 1 ) а матрицы Ĵ ±имеют отличные от нуля элементытолько на ближайших кодиагоналях (верхней и нижней):( Jˆ )+ij= ( J + M )( J − M + 1)δi ,i+1 ,Матричные элементы компонент Jˆ x ,Jˆ y( Jˆ )−ij= ( J + M )( J − M + 1)δi+1,iвычисляются изJˆ± = Jˆ x + iJˆ y .1Реферат лекции 17EX1.

МоментJ =1 2(спин ½)10 1Jˆ x =,21 0В этом случаеEX2. Момент1 0 −iJˆ y =,2 i 011 0Jˆ z =20 11Jˆ ≡ sˆ = σˆ , где σ̂ - вектор матриц Паули (L05, п. 2, EX2).2J =10 1 01Jˆ x =1 0 1,20 1 001 0−iJˆ y =−1 0 1 ,20 −1 01 00Jˆ z = 0 000 0 −12. Квантовые числа: три смыслаcЧисла, целые или полуцелые, применяемые для нумерации состояний базиса, вособенности в системах с вырождением энергетических уровней.d Собственные значения операторов, коммутирующих с гамильтонианом.• Только у оператора числа квантов (L05, п.

4, EX3) и у оператора проекциимомента собственные значения совпадают с нумерующими их квантовымичисламиe Наблюдаемые, чьи операторы коммутируют с гамильтонианом.3. Соотношение неопределенностей для моментаИз доказанного в п. 1 в L05 неравенства для компонент момента получаетсяΔJ x ⋅ΔJ y ≥•Пустьψ = J,M1 ˆJz2. Чем больше одна компонента, тем больше разбросзначений каждой из двух других? Знаки ≥ и ~ не эквивалентны.(cм. задачи 1.3.1 – 1.3.8)Термины1.2.3.4.5.6.7.Угловой момент = моментПовышающий оператор моментаПонижающий оператор моментаКвантовое числоАзимутальное квантовое число = орбитальное квантовое числоМагнитное квантовое числоХорошее квантовое число■2.