Реферат лекции 15 (Электронные лекции)

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯВторой поток. Весна 2014Реферат лекции 151. Правила связиДля установления связи ВКБ-решений по разные стороны от точки поворота можноуточнить решение вблизи этой точки, линеаризовав потенциал. Смена масштабовдает уравнениеd 2ψ− yψ = 0 ,dy 2убывающее приy→∞которого – функция Эйриψ′ ψАсимптотикирешениеAi ( y ) .= −0.729y =0Ai ( y ) дают правило связи (у правой точки поворота – как на рис.):⎛1 bπ ⎞⎟⎟⎜′′cos ⎜⎜ ∫ p ( x ) dx − ⎟ ⇔4 ⎠⎟⎜⎝ = xp ( x)2⎛ 1 x⎞⎟⎜′′exp ⎜⎜− ∫ p ( x ) dx ⎟⎟⎟⎠p ( x)⎝⎜ = b1x<bx>bи аналогично у левой точки.Требование эквивалентности решений, продолженных из x < a и x > b , вклассически доступной области дает уравнение для уровней дискретного спектраb∫a(гдеn⎛1⎞p ( x ) dx = π= ⎜⎜n + ⎟⎟⎟⎜⎝2⎠- неотрицательное целое число) – правило квантования Бора – Зоммерфельда2.

Правило квантования Бора – Зоммерфельда•••Квантование в старой квантовой теорииДобавка «+1/2» и нулевая энергияУсловие конечности числа связанных состояний•Оценка для числа связанных состояний:N ∝ B(ср. п. 3 в L10 и п. 2 в L11)EX1. ВКБ–спектр гармонического осциллятора⎛1⎞EnWKB = =ω ⎜⎜n + ⎟⎟⎟ = En∗⎜⎝2⎠совпадает с точным.EX2. Уровни ВКБ-спектра для модифицированного потенциала Пёшля – ТеллераU ( x ) = −U 0 ch −2 ( x a ) лежат выше точных.уровнейδ ~ 1 B , верхних - δ ~ 1Относительная погрешность нижнихB.1Реферат лекции 15EX3.

Для частицы в потенциалеU ( x ) = Ax 4 4(квартичный осциллятор – см.рисунки к L07) уровни ВКБ-спектра лежат ниже точных. В естественных единицах( = , m, A = 1 )ДляE0WKB = 0.3441 , E0∗ = 0.4208(относительная погрешностьδ = 20% ).n ≥ 1 δ 1.5n−3 2 % .3. Теоремы соответствияДля одномерной системы с гамильтонианомHˆ = pˆ 2 2m + U ( xˆ ) ,обладающейдискретным спектром со многими уровнями, справедливы следующие теоремы.1.

Теорема о соответствии частотКвантовая частота перехода ω n+ p ,n между стационарными состояниями сномерами, различающимися на p , равна p -кратной частоте движения Ωклассической системы при энергии, равной среднему значению от энергийначального и конечного состояний перехода – с точностью до членов порядкаωn+ p ,n ≈ pΩ + =•p 2 dΩΩ2 dEВыполняется комбинационное правило=1 :( CΩ )ω n+ q , n + p + ω n+ p , n = ω n+ q , n2. Теорема о соответствии матричных элементовМатричный элемент координаты xn+ p ,n между стационарными состояниямиприближенно равен фурье-амплитудеX p p -й гармоники закона классическогодвижения при энергии, равной среднему значению от энергий начального иконечного состояний перехода – с точностью до членов порядкаxn+ p ,n ≈ X p + =•p dX pΩ2 dE=1 :( CX )Для ВКБ-решений дискретного спектраψn ( x) =⎛1 xπ ⎞⎟cos ⎜⎜⎜ ∫ p ( x′) dx′ − ⎟⎟4 ⎠⎟⎜⎝ = ap ( x)Anнормировочный коэффициент определяется соотношениемAn2 =•С помощью соотношения2m2m dEΩ( E ) =ππ= dnpnk = imω nk xnk(см.

п. 3 в L08) устанавливаетсяаналогичная ( CX ) теорема для оператора импульса.Термины1. Правило квантования Бора – Зоммерфельда2. Нулевая энергия■2.