Реферат лекции 14 (Электронные лекции)

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯВторой поток. Весна 2014Реферат лекции 141. Функция Грина и задача рассеянияДля однородного уравненияLˆ x ψ = λψфункция ГринаG ( x, x ′) - это частноерешение неоднородного уравнения( Lˆ − λ )G ( x, x′) = δ ( x − x′)xФункцияG ( x, x ′) может быть построена как комбинация решений однородногоx = x′ .Lˆ x ψ = λψ ⇒ ψ ′′ = −k 2ψуравнения с заданным скачком производной приEX1. Для свободной частицыG ( x , x ′) = −i ik x−x′e2k(GF)Функция Грина позволяет получить общее решение неоднородного уравнения( Lˆx− λ )ψ = Q ( x ) так: ψ ( x) = ψ0 ( x) + ∫ G ( x, x′)Q ( x′)dx′ .УравнениеШредингера с потенциалом может быть представлено как уравнение для свободнойчастицы с источникомQ ( x ) = u ( x )ψ ( x ) , u ( x ) = 2mU ( x )= −2 , что даетψ ( x ) = ψ0 ( x ) + ∫ G ( x, x′)u ( x′) ψ ( x′)dx′Это интегральное уравнение может решаться итерациями. В первом порядке (винтеграле заменаАсимптотика приψ ( x ) ⇒ ψ0 ( x ) = eikx )iik x− x ′′ψ1 ( x) = eikx − ∫ eu ( x′) eikx dx′2kx → −∞ дает коэффициент отражения:mR(E ) =2 E= 2••2∞∫ U ( x ′) e2 ikx ′dx′(R)−∞Потенциал как источник частиц: оценка коэффициента прохожденияКоэффициент не зависит от знака потенциала: яма эквивалентна барьеруEX1.

Для рассеяния на дельта-яме (R) даетR ( E ) = E0 E ,где E0= mq 2 2= 2 ,аR ( E ) = E0 ( E0 + E )Для прямоугольного барьера U ( x ) = 0 ( x < 0, x > a ), U ( x ) = U 0 (0 < x < a )точное решение (см. L12, п. 3, EX2)EX2.(R) даетEX3)R ( E ) = (U 0 2 E ) sin 2 ka , а асимптотика точного решения (см. L12, п. 3,2R ( E ) = (U 0 2 E ) sin 2 qa , где q = 2m ( E − U 0 ) = .2EX3.

Для модифицированного потенциала Пёшля – ТеллераU ( x ) = U 0 ch −2 ( x a )R ( E ) = π 2 B 2sh −2πka , и такой же вид имеет асимптотика точного решенияB 1 (ЛЛIII, §25, задача 4).(R) даетпри1Реферат лекции 142. Операторная структура функции ГринаФункция Грина есть операторGˆ = ( Hˆ − E )−1базис собственных функций Ĥ , тоGˆ = −∑±(внимание – знак!). Если{ψn ( x)}-ψn ( x)ψn∗ ( x′)nE − En ± iε• Мнимая добавка и обход полюсов при интегрировании• Вычеты в полюсах – проекционные операторы+Для свободной частицыПри x − x′ > 0 контур для G∞iq( x−x ′)замыкается в верхней полуплоскостиG± = −1edq2∫2π −∞ k − q 2 ± iεВычисление дает полученный выше [см.

(GF)]результат,G + ( x, x ′ ) = −Из нормированностиi ik x−x′e.2k{ψn ( x)} следует выражение для плотности состояний1ImSp G ( x, x′, E + iε) = ∑ δ ( E − En ) = ρ ( E ) .πn3. Метод ВКБРешение одномерного стационарного уравнения Шредингера=2ψ ′′ + U ( x )ψ = Eψ2mищется в форме ψ = exp (i S ( x ) = ) . При условии медленности изменениядебройлевской длины волны λ ( x ) = = S ′ ( x ) его приближенный вид есть−ψ ( x) =⎛ i x⎞⎟⎜′′⎜exp ⎜+ ∫ p ( x ) dx ⎟⎟ +⎜⎝ =p ( x)⎠⎟С1p ( x) = 2m ( E − U ( x ))где•••⎞⎟⎛ i x⎜′′⎜exp ⎜− ∫ p ( x ) dx ⎟⎟p ( x)⎠⎟⎝⎜ =С2- импульс классической частицы в данной точке.Поведение решений в классически доступных и недоступных областяхПредэкспонента и классическая функция распределенияДля получения дискретного спектра и решения задачи о туннелировании нужныправила связи решений через точку поворотаТермины1.2.3.4.5.6.7.Функция ГринаПлотность состоянийМетод ВКБДебройлевская длина волныКлассически доступная областьКлассически недоступная областьТочки поворота■2.