Реферат лекции 12 (Электронные лекции)

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯВторой поток. Весна 2014Реферат лекции 121. Расчет спектра диагонализацией гамильтониана(EX1. Для потенциальной ямы гауссовой формы U ( y ) = − exp − y2) с борновским2параметром B = 4 уровни дискретного спектра были найдены численным методомстрельбы (см. рисунки к L11). Взяв финитный фурье-базис (см.

L02), положив L = 10и вычислив матричные элементы21 ⎛π⎞2H mn = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ (n + 1) δmn + U mn ,B ⎜⎝ L ⎠L2U mn = − ∫ ϕm ( y )exp (− y 2 2)ϕn ( y ) dy ,−L 2даже при двух (sic!) функциях базиса ( n = 0,1 ) получаемε0с погрешностьюδ = 46% , а ε1 – с погрешностью δ = 134% . При удвоении размерности базисапогрешности уменьшаются в четыре раза.метода стрельбы.Вывод: диагонализация эффективнее2. «Лекала»Известен набор гладких потенциалов, допускающих точное аналитическое решениеуравнения Шредингера.

Наиболее популярны:Потенциал Морзе (1929)⎛ ⎛ x⎞⎛ x ⎞⎞U ( x) = U 0 ⎜⎜exp ⎜⎜−2 ⎟⎟⎟ − 2exp ⎜⎜− ⎟⎟⎟⎟⎟⎝⎜ a ⎠⎠⎟⎝⎜ ⎜⎝ a ⎠(ЛЛIII, §23, задача 4 и Флюгге, задача 70)Модифицированный потенциал Пёшля –Теллера (1933)U ( x) = −U0ch ( x a )2(ЛЛIII, §23, задача 5 и Флюгге, задача 39)3. Непрерывный спектр: задача рассеянияU − - пределы потенциала при x → ±∞ .Если U − ≠ U + - то потенциальная стенка, еслиU+иmax U ( x ) > max (U − ,U + )– то потенциальный барьер.

Постановка задачи:найти решения с асимптотикамиψL ( x ) ~ eik− x + Ae−ik− x ( x → −∞)ψR ( x ) ~ Beik+ x ( x → ∞)Коэффициент прохожденияD(E ) =k+ 2B .k−Реферат лекции 122R(E ) = A = 1− D(E )Прямоугольная ступенька: U ( x ) = 0 ( x < 0), U ( x ) = U 0 ( x > 0) :Коэффициент отраженияEX1.D=4 ε ε −1()ε + ε −12,где ε = E U 0 .••Формула не содержитСравнение с результатом для гладкой стенки (см. рисунки к лекции)Не всякая формула квантовой механики, не содержащаяформулой классической механики.EX2. Дельта-потенциалU ( x ) = qδ ( x )D=22От знакаqгде E0 = mq•2, является правильной(см. L10)E,E + E0.не зависитEX3. Прямоугольный барьерD=U ( x ) = 0 ( x < 0, x > a ), U ( x ) = U 0 (0 < x < a )4ε (ε −1)sin 2 B (ε −1) + 4ε (ε −1)где ε = E U 0 .•••В целом возрастает при увеличении εРост немонотонный: при дискретном наборе значений ε барьер прозрачен1 коэффициент прохожденияПри ε < 1 (туннелирование) и Bэкспоненциально мал,D ∝ exp ⎡⎢−2 B (1 − ε)⎤⎥⎣⎦•ПриB→0переходит в результат для дельта-потенциала.4.

Рассеяние волновых пакетовИз решений нестационарного уравнения Шредингера с определенной энергией иасимптотиками задачи рассеяния⎛ Et ⎞ψ E ( x, t ) ~ (eikx + Ae−ikx )exp ⎜⎜−i ⎟⎟⎟ ( x → −∞)⎜⎝⎠⎛ Et ⎞ψ E ( x, t ) ~ ( Beikx )exp ⎜⎜−i ⎟⎟⎟ ( x → ∞)⎜⎝⎠можно построить волновой пакет2Реферат лекции 12E0 +Δ1Ψ ( x, t ) =ψE ( x, t ) dE .2Δ E∫−Δ0Учитывая зависимостьk (E)до линейных поk (E)и пренебрегая зависимостьюдвижущихся пакетов:AΨ ( x, t ) ~иk0 +BE − E0членов,E − E0,vот энергии, находим форму и положениеsin Δα,ΔαгдеПадающая волна формирует пакет в областиα=x ∓ vtvx < 0, t < 0 , прошедшая – в областиx > 0, t > 0 , отраженная - x < 0, t > 0 .••Ссылки на сайты, содержащие анимации движения волновых пакетов впотенциальном поле, даны в справке 3.В использованном выше приближении скорости движения пакетов неизменяются в области, где происходит формирование проходящей ирассеянной волн – время рассеяния (туннелирования) с его помощьюопределить нельзя.Термины1.2.3.4.5.6.Потенциальная стенкаПотенциальный барьерКоэффициент прохожденияПодбарьерное прохождение = туннелированиеНадбарьерное отражениеКоэффициент отражения■3.