Лекция 12 (1133452)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4. Асимптотические методыПолучение формул, описывающих качественное поведениерешения на некотором интервале.1. Метод малого параметра1. Регулярные возмущенияРассмотрим задачу Коши:dy f ( y, t , ), y (0, )  y 0dt(1)Пусть параметр μ изменяется в некоторой окрестности значений μ=0. Предположим, что при μ =0 решение задачи (1) известно.

Нас интересует решение при μ≠0, но достаточно малых.Теорема( )Если функции f , ∂f∂yy, t, µ в D, гденепрерывны по всем переменным{}D ≡ t ≤ a, y − y 0 ≤ b, µ ≤ c ,то решение задачи (1) непрерывно по t и параметру µ приt  0, T ,   c. Здесь T  min a, b M  , M : f ( y, t , )  M .Рассмотрим задачу (1) при µ=0:dy f ( y , t , 0), y (0)  y 0 .dtИз теоремы следует, что при t  0, T y (t , )  y (t )  (t , ),где ε(t,μ) =>0 при µ → 0.(2)(3)Формула (3) – асимптотическая формула (асимптотическоепредставление) решения y(t, μ) по малому параметру μ.Асимптотическими формулами по малому параметру мыбу-дем называть такие формулы, в которых некоторыечлены, называемые остаточными членами, выписываютсяне точно, а указываются лишь их свойства при μ→0,например порядок стремления к нулю при μ→0. В реальныхзадачахμвеличиной.являетсямалой,Поэтомунонебесконечноасимптотическиемалойформулыпроизвольную степень точности обеспечить не могут и в этомих принципиальный недостаток.

Асимптотические формулыудобны тогда, когда нужно получить качественную картинуРазложим функцию f (y, t, μ) в ряд по степеням μ(предполагая, что она обладает нужным числом производныхпо μ и y):(4)f ( y, t , )  f 0 (y, t ,0)   f1 (y, t , 0)   f 2 (y, t ,0)  ... ,2гдеf k (y, t ,0) (k  0,1,..) - тейлоровские коэффициенты.Представим решение задачи (1) в виде формальногостепенного ряда:y (t )  y0 (t )   y1 (t )   2 y2 (t )  ...(5)(1),(4),(5)=>y0   y1   2 y2  ...

 f 0 ( y0   y1   2 y2  ..., t , 0)  1 f1 ( y0   y1   2 y2  ..., t , 0)  ... (6)fy0   y1   2 y2  ...  f 0 ( y0 , t , 0)  ( y1   2 y2  ...) 0 ( y0 , t , 0) y2f0122 ( y1   y2  ...)( y0 , t , 0)  ...   f1 ( y0 , t , 0) (7)22yf12( y1   y2  ...)( y0 , t , 0)  ...yПриравняем коэффициенты при одинаковых степенях μ:y   f ( y , t , 0)  f ( y , t , 0), y 0  y 0 ,0000 0y1  y1 f 0 y   f1 , y1 0  0,22y21y2  y2 f 0 y   f 0 y  y1 f1 y   f 2 , y2 0  0,2.

. . . . . . . . . . . .y   y f y   F .kk0k(8)Считая, что y, t изменяются в ограниченной области D и  0 ,получим оценку приближенного решения, даваемогоконечной суммойsK  y0   y1   2 y2  ...   K yK .(9)Пусть u = y-sk=>*f( y* , t , )u u   sk   f (u  sk , t , )  f ( sk , t , ) yf *u u  sk   f ( sk , t , )  Rk ,y(10)где RK  sK   f ( y0   y1   2 y2  ...   K yK , t , )  O( k 1 ),так как все члены разложения f до μk включительно учтеныуравнениями (8) для yi(i=0,1,…,k) =>k 1( ), t  0,u  p (t )u  Ou (0)  0,*где p (t )  f y  ,(11)p (t )  K .Запишем и оценим решение задачи (11):ttu (t )   O(k 10u (t )  C )e p ( ) d d  (12)tk 1ek t d  (13)0ky   i yi  A k 1 ,i 0то есть получено решение с погрешностью ~ μк+1.(14)Ряд (5) называется асимптотическим рядом или асимптотическим разложением по малому параметру μ для y(t,μ).k 1 (t , )  O( k 1 )Подчеркнем, чтопри фиксированном кk 1 (t , )и μ →0.

Если же μ фиксировано, а к →∞, томожетпредела не иметь, т.е. построенный ряд (5) сходящимся,вообще говоря, не является.Малые члены, отбрасываемые в уравнении, называютсявозмущениями, уравнение (2) - невозмущенным уравнением,а уравнение (1) - возмущенным. Если μ входит в f(y, t, μ)регулярным(непрерывным)образом,называются регулярными возмущениями.товозмущения2. Сингулярные возмущенияУравнение движения маятника в среде с сопротивлением: y    y   ky  f (t ), t  0, y (0)  y00 ; y (0)  y10 ,(15)(16)где μ = I – момент инерции тела относительно оси вращения.Если μ=0, то порядок уравнения (15) меняется и обаусловия (16) учесть уже нельзя.

Поэтому в окрестностиначальной точки правильной модели мы не получим.В данном случае говорят о нерегулярной или сингулярнойзависимости от μ и о сингулярных возмущениях.Рассмотрим задачу Коши: dy  f ( y, t ), 0  t  T , dt0 y (0)  y ,Вырожденное уравнение (μ=0):f ( y, t )  0(17)(18)(19)может иметь несколько решений yi  i (t ). К какому из нихбудет сходится решение y(t) при μ →0 ?Корень y   (t ) называется устойчивым при 0  t  T есливыполняется условие: f ( (t ), t )  0.Областью влияния (притяжения) корня φ называетсяобласть, в которой интегральные кривые направлены кТеоремакорню.Если y   (t ) - устойчивыйyφ2корень уравнения (19), аy0начальное значение лежит вφего области влияния, тоφ1t0решение y(t, μ) задачи (17),(18)существует на отрезке [0,T] идля неговыполняется предельноесоотношение lim y (t , )   при 0  t  T . 0Область, в которой решение задачи (17)-(18) y(t, μ) сильноотличается от решения y   (t )вырожденного уравнения(19), называется пограничным слоем.Асимптотическое представление для задачи (17)-(18) имеетвид:y (t , )  y (t )  (t , ),(20)но в отличие от регулярного случая остаточный член ε(t,μ)уже не является равномерно малой величиной.При достаточной гладкости правых частей можно получитьасимптотическое представление для решения задачи (17),(18)с остаточным членом O ( k 1 ), но кроме степенных по μрегулярных членов оно будет содержать пограничные члены,зависящие от μ не степенным образом.Пограничные члены имеют заметную величину при t=0 ибыстро убывают с ростом t:y (t , )  y0 (t )   y1 (t )  ...

 П0 ( )   П1 ( )  ..., (21)где   t  . Пустьf  F ,гдеF  f ( y0 (t )   y1 (t ) , t ),  f ( y0 ( )   y1 ( )  ...  П0 ( )   П1 ( )  ...,  )  f ( y0 ( )   y1 ( )  ...,  ),F  F0 t    F1 t  ;   0 ( )  1 ( )  ...(17),(23)=>(22)(23)dy  F dt(24)(21),(23),(24)=>П 0dy0П12 dy1 ...  ... dtdt F0   F1  ... 0  1  ...(25)(25)=>F0 (t )  f ( y0 (t ), t )  0dП0  0 ( )d(26)dy0 F1 (t )dt(27)(28)dП1 1 ( )d(29)(28)=>0 ( )   0  f ( y0 (0)  П0 ( ), 0)  f ( y0 (0), 0)  f ( y0 (0)  П0 ( ), 0)(30)y (0, )  y0 (0)   y1 (0)  ...   0 (0)  1 (0)  ...

 y 0  y00   y01  ...(31)=>П0 (0)  y00  y0 (0)(31)(32)(28),(30),(32)=> П0 f ( y0 (0)  П0 ( ), 0),   0, 0 П0 (0)  y0  y0 (0)(33)(34)(27)=>(29), (31) ⇒dy0 f y ( y0 (t ), t )  y1 (t )dt 1 f y ( y0 (0)   0 ( ), 0) 1 ( )  Q1 ,   0, 01 (0)  y1  y1 (0),где(35)(36)(37)Q1  ( f y ( y0 (0)  П0 ( ), 0)  f y ( y0 (0), 0))( y0 (0)  y1 (0)) ( ft ( y0 (0)  П0 ( ), 0)  f t ( y0 (0), 0)) .(26)=>y0(t)=>(33),(34)=>П0(τ); (35)=>y1(t)=>(36),(37)=> П1(τ).В общем случае получаем цепочку: Пi f y ( y0 (0)  П0 ( ), 0)  Пi ( )  Qi ,   0, 0 Пi (0)  yi  yi (0), i  1, 2,...,(38)где Qi - известные выражения, а yi(t) определяются из алгебраических уравнений.В теории сингулярных уравнений доказывается, что ряд (21)является асимптотическим рядом и имеет место оценка:ky (t , )    yi (t )   Пi t   O(ii 0ik 1).(39)ПРИМЕРy1μ1/2 dy  y  y 2 , 0  t  1 dt(40) y 0  y (0)  y 0   y 0  1  012(41) y 0  1 , y 0  1.012(26)=>0fyty 1y  y 2  0  y1  0, y2  1 1 2 y y1  0  y  1- устойчивый корень =>y0(t)=1.(33),(34)=> П 0 (1  П 0 )  (1  П 0 ) 2 ,   0, (42)1  0(41)=> y0   11 (43)2 0П 0 (0)  y0  y0 0  1   .22(42),(43)=>11 y  1 O().П 0 ( )  t1 e1 e(35)=> y1(t)=0 , (41)=> y10=1.(44)(45)(36),(37),(45)=> 1 1 1 2  1,0,1 1  e   1 (0)  1.(46)(47)(46),(47)=>4eП1 ( )  2(1  e )ty  111 et4e1  e O ( )2t2(48)3.

Метод ВКБ(Венцеля, Крамерса, Бриллюэна)В квантовой механике, теории колебаний и ряде другихобластей встречается сингулярно возмущенное уравнениевида:где2 y  Q ( x) y  0, a  x  b,2Q( x)  C (2) (a, b).(1)Решение уравнения (1) носитколебательный характер, причем при малых μ частотаколебаний будет очень большой, что качественно отличаетсяот ранее рассмотренных явлений.Сделаем замену:yQ(2)(1),(2)=>yx yxx xxQ12xQ12xQ Q3 Q2Q23,2Q 2Q3223 (Q ).54 Q 2(3)Перейдем к переменной t:x1t   Q ( ) d  a(4)(4)=>QQQx  t ; xx  tt 2  t(5)2 32Q3(Q)22 Q yxx  tt   3  4  2Q4Q(6)2(3),(5)=>(1),(6)=>где2tt     P  0,Q  3 (Q ) 2P  432Q4 Q- непрерывная функция.(7)Вырожденное уравнение при μ=0tt    0,(8)  A sin t  B cos t(9)имеет решениеСравним решения  и  уравнений (7) и (9), для которыхпри x=a.Для r     получим уравнениеr   r   2 Pr   2 P ,(10)решение которого удовлетворяет уравнению:tr (t )   2  sin(t   ) P( )r ( )d   F (t ),0(11)гдеtF (t )  2 sin(t   ) P( ) ( )d .(12)0Решение (11) заведомо существует и единственно при μ2tC<1,где C  sup P .x a ,b ПосколькуxQ0 (b  a )1,t   Q ( ) d   a(13)где Q0  sup Q ( x), то решение (11) существует и единственноприx a ,b 1C Q0 (b  a )(14)При этом условииF (t )   2 tC 0  C1 ,(15)где0  sup  .x a ,b Дляr0  sup rиз (11) =>x a ,b r0   2 tCr0  C1.(16)r0  O().(17)(16)=>(2),(4),(9),(17)=>1 x A sin   Q( )d     a1 y ( x) x1Q( x)  B cos   Q( )d    O()    a(18)Замечание.

Для уравнения2 y  Q ( x) y  0, a  x  b,2(19)аналогично получаем:x 1 x Q (  ) d 1Q()d1   ay ( x)  Be a O() AeQ( x) (20)4. Метод усреднения Крылова-БоголюбоваРассмотрим работу ламповогогенератора с контуром в цепиTсетки. Если бы триод Т отсут-MLL1CI1Rствовал, то в контуре RLCмогли бы возникнутьзатухающие электромагнитныеколебания. Однако благодаряIEсвязи между катушками L и L1(М-коэффициент взаимнойиндукции) в системе возникают автоколебания.Автоколебаниями называются незатухающие колебания вдиссипативно – нелинейных системах, которые поддерживаются за счет внешнего источника энергии. Характернойособенностью автоколебаний является отсутствие внешнегопериодического воздействия.Для напряжения U получается дифференциальноеуравнениегдеLCU  MS (U )U  RCU  U  0,(1)S (U )  S0  S 2U 2 - сеточная характеристика лампы.Точка обозначает производную по времени.Пусть  ( MS0  RC ) / LC ,   MS 2 / ( MS0  RC ),1 .LC(2)20(1),(2)=>U   (1 U 2 )U  02U  0(3)Введем новые переменные:  0 t ,(3),(4)=>y   U,- малый параметр.0y  (1 y 2 ) y  y  0Уравнение (5) называется уравнением Ван дер Поля.(4)(5)Рассмотрим задачу Коши: y  (1 y 2 ) y  y  0, t  0, y (0)  y0 , y (0)  0.(6)(7)Если искать решение задачи (6), (7) в видеy (t )  y (t )   y1 (t )  ...,то(8)y (t )  y0 cos t ,а для y1(t) получаем резонансный случай 1 2  y1  y1   y0 1 y0  sin t  1 y03 sin 3t , t  0, 4 4 y1 (0)  0, y1 (0)  0,и решение неограниченно возрастает по времени:23y0  y0 y0y0  11 2 y1 (t )  1  t cos t  sin 3t  1 y0  sin t.2 4 322  16 Для решения задачи (6), (7) используем метод Н.М.Крылова –Н.Н.Боголюбова (1937г.).Этот метод основан на принципе усреднения, заменяющемточное решение дифференциального уравненияусредненным.Он особенно удобен для исследования нелинейныхколебательных процессов.Рассмотрим системуx (t )   X ( x, t ), x   n ,(9)где ε – малый параметр.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций