Материалы к лекции 9. Методы исследования математических моделей (1133463)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 4. Методы исследования математических моделей.1. Принцип Дирихле.D=(u )22u+u()dxdyxy∫DF (u x , u y=) u x2 + u y2, Fq 2u==Fu 0 ; =Fp 2u x=u=uyy, px,qFu −∂∂Fp } − { Fq } =−2u xx − 2u yy =⇒0{∂x∂yu xx + 2u yy =0D(u + ε h)=D∫ (uD2x(∫ ( ux + ε hx ) + ( u y + ε hy )22)dxdy=+ u y 2 )dxdy + 2ε ∫ ( u x hx + u y hy )dxdy + ε 2 ∫ ( hx2 + hy2 )dxdy =DD=D(u ) + 2ε D(u , h) + ε 2 D(h) ≥ 0D=(u , h)∫ (u hx x+ u y hy )dxdyDdD(u + ε h)dεε =02 D(u , h) =0 ⇒ D(u , h) =0=D(u , h) =∫ ( ux hx + u y hy )dxdy =∫ gradu ⋅ gradh dxdyDD2.

Задача на собственные значения=F ′(ε )1( H (u ) + 2ε H (u, h) + ε2H ( h) )2⋅ ((2 D(u , h) + 2ε D(h)) ⋅⋅ ( H (u ) + 2ε H (u , h) + ε 2 H (h) ) − 2 ( D(u ) + 2ε D(u , h) + ε 2 D(h) ) ⋅⋅(2 H (u , h) + 2ε H (h)))F ′(0)D(u , h) H (u ) − D(u ) H (u , h)2=0H 2 (u )(22)D(u )J (u ) = =λ > 0 (19) ⇒ D(u ) =λ H (u ) (23)H (u )(23) → (22) ⇒ H (u ) D(u , h) − D(u ) H (u , h) =)) 0= H (u ) ( D(u , h) − λ H (u , h=(24)H (u ) ≠ 0 ⇒ D(u , h) − λ H (u , h) =0 (25)∂v=u∫D ∂xdxdy∂v=u∫D ∂y dxdy∧∫ uv cos( x , n)dσ − ∫ vГD∧∫ uv cos( y , n)dσ − ∫ vГD∂udxdy∂x∂udxdy∂yh Г = 0 как допустимая функцияD=D(u , h) =∫ ( ux hx + u y hy )dxdy =D∫ =0h(ux∧cos( x , n) + u y∧cos( y , n))dsГ− ∫ h(u xx + u yy )dxdy =− ∫ hudxdy (26)DD− ∫ h(u + λu )dxdy =(26) ⇒ D(u , h) − λ H (u , h) =D0 (27)=− H (h,u + λ u ) =0u ∈ C (2) ( D) ⇒ u ∈ C ( D), ∀h( x, y ), (27) ⇒ u + λu =0 =H (u + λu , u ) =∫ u ⋅ udxdy+ ∫ u 2 dxdy =D=D∂u22 u 2 dxdy =⋅−++uduudxdyσλ()xy∫Г ∂n∫D∫DD(u )=− D(u ) + λ H (u ) =0 (29) ⇒ λ =(30)H (u )J (u ) min==λ minu∈Pu∈PD(u ) <λH (u )§2 2.Метод РитцаNNuN =( f , ϕi ) ⇒ ( A∑ aiϕi ,ϕi ) =∑ aiϕi ; ( AuN , ϕi ) =i 1 =i 1=N, ϕ )a∑ ( Aϕ=ii =1i( f , ϕi =) ; AˆiA }, A{=ijij( Aϕi , ϕi ),==a (a1 ,f , ϕ j ), i, j 1, , N ., aN )Т , b ( f1 ,=, f N )Т , f j (=Так как A – положительно определенный оператор и {ϕi } - линейно независимая=vNсистема, то приˆ , b) =( AbN∑ Aij bib j ==i 1Nϕ, b∑ b=i =1ii( f1 , , f N=)Т ≠ 0 (0, , 0)Т имеем:N N2(,),AϕϕbbAbϕ=∑∑ij i j ∑ i i ∑ b jϕ j  = ( AvN , vN ) ≥ γ vN=i 1 =j 1=i 1 =i 1NN2>0то есть Â - положительно определенная матрица, а значит, невырожденная.Следовательно, система Âa = b имеет единственное решение, определяя единственнуюNфункцию u N = ∑ aiϕi .

Для u N можно получить априорную оценку:i =1NN ai ( f , ϕi ) ⇒  Au N , ∑ aiϕi  =( Au N , ϕi ) =⇒( f , ϕi ) ∑ ai ( Au N , ϕi ) =∑ f , ∑ aiϕi  ⇒=i 1=i 1=i 1=  i1NN( Au=( f , u N ), ( Au N , u N ) ≥ γ 2 u NN , uN )2⇒ ( f , uN ) ≥ γ 2 uN .2Неравенство Коши-Буняковского:( f , uN ) ≤ f uN2⇒ γ 2 uN2≤ f uN2⇒ uN ≤fγ2Т. ( A(u0 − v), u0 − v) = ( Au0 , u0 ) − ( Au0 , v) − (v, Au0 ) + ( Av, v) =( Au0 , u0 ) + ( Av, v) − 2( Au0 , v)= ( Au0 , u0 ) + ( Av, v) − 2( f , v)== ( Av, v) − 2(v, f ) − ( Au0 , u0 ) + 2(u0 , f ) − 2( Au0 , v) + 2( f , v) ==F (v) − F (u0 ) − 2( f , v) + 2( f , v) =F (v) − F (u0 ) ⇒( A(u0 − v), u0 − v)= F (v) − F (u0 )⇒u0 минимизирует F (v) на D( A) , u N минимизирует F (v) на H N( A(u0 − u N ), u0 − u N ) = F (v) − F (u0 ) ≤ F (vN ) − F (u0 ) ==( A(u0 − vN ), u0 − vN )γ 2 u0 − u N2дляN∑cϕ ∈ H∀v=Ni =1iiN⇒≤ ( A(u0 − u N ), u0 − u N ) ≤ ( A(u0 − vN ), u0 − vN ) =(u0 − vN , A(u0 − vN )) = ( A−1 A(u0 − vN ), (u0 − vN )) = A−1 ⋅ ( A(u0 − vN ), A(u0 − vN ))=A−1 A(u0 − vN )2⇒u0 − u N2≤A−1γ2A = supu ≠0A(u0 − vN )Auu2.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций