Лекция 4 (1133444)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3.ОбщаяРиманазадачаКоши.Функция1.Функция РиманаРассмотрим задачу:uxy  f ( x, y), ( x, y)  D  ,u ( x, y)   ( x, y), ( x, y)  C, u ( x, y)   ( x, y), (x, y)  C. n(1)(2)(3)Кривая С – бесконечно гладкая кривая, делящая плоскость (х,у) надве криволинейные полуплоскости D+ и D- и удовлетворяющаяусловиям:а) кривая С не является характеристикой уравнения (1);б) любая характеристика уравнения (1) пересекает кривую Столько 1 раз. - производная по нормали к кривой С,формуле (3)nнаправленная внутрь области D+.Построим формулу, выражающую решение задачи (1) – (3)в любой точке М области D+.yВBDnD+DMAC0XРассмотрим выражениеVuxy  uVxy 1 Q2 x Py ,P u , V   Vx u  Vu x ,где(5)Q u, V   Vu y  Vy u.(6)Формула Грина: Vuxy  uVxy dxdy D12 Pdx  Qdy,12Qx Py dxdy где(4)D  D  .Рассмотрим интегралы вдоль характеристик МA и BМ:AA Pdx   V u  Vu dx  Vu   Vu xDxyA 2  Vx udxMMMMMB VuMM Qdy    u(6)-(8)xAyV(7) uVy dy  Vu M  Vu B  2  uVy dyB(8)B uVxy dxdy  Vu M Vu  A Vu B2BAMAMB 12  Pdx +Qdy   Vxudx   uVy dy(9)Пусть u(x,y)-решение задачи (1)-(3), а V(x,y)-решение задачи (10) с данными нахарактеристиках (задача Гурса):Vxy  0, ( x, y)  D,VxAM 0, VyBM(10) 0, V (M )=1Функция V=1 в области D удовлетворяет всем условиям задачи (10) ипредставляет собой частый случай функции Римана.Подставим V=1 в (9)Bu ( A)  u ( B )1udxdyu(M)ux dx  u y dy 22  xy(1)-(3)Du(M ) A ( A) ( B)2B 12   ux dx  u y dy    f  x, y dxdyAНа дуге АВ известны выражения  (11)D  ux  u cos  , x  un cos n, x , u y  u sin  , x  un sin n, xФормула (11) даёт решение задачи (1)- (3) через входные данные.Замечание.

Из формулы (11) следует:1)Теорема единственности решения задачи (1)-(3);2)Теорема устойчивости решения задачи (1)-(3);3)Теорема существования решения задачи (1)-(3) (при выполненииусловия гладкости входных данных).Рассмотрим более общую задачу:L u   uxy  a  x, y  ux  b  x, y  u y  c  x, y  u  f  x, y  ,  x, y   D , (12)u  x, y     x , y  ,  x, y   C ,(13)u  x, y     x, y  ,n x, y   C .(14)Определение. Два дифференциальных оператора L и K называютсясопряженными, если разность VL u   uK V  является разностью первыхчастных производных по Х и У от некоторых выражений P и Q:VL u   uK V   12  Qx  Py  ,(15)Причем P не содержит производной Uy, а Q не содержит производной Ux.Сопряженным к оператору L будет оператор K:K V   Vxy   aV  x   bV  y  cV(16)Для операторов L и K выполняется (15) приP u, V   uVx  uxV  2buV , Q u, V   Vu y  Vy u  2auVФормула Грина: VL u   uK V dxdy   12DA121Pdx2MABQx Py dxdy 12(17) Pdx  Qdy M DPdx Qdy  12  Qdy(18)BИнтегрируем по частям:AAMMMMBB Pdx  u  M V  M   u  AV  A  2 P V udx, Qdy  u  M V  M   u  B V  B   2 Q V udx,(19)гдеP V   Vx  bV , Q V   Vy  aV(20)Рассмотрим задачу с данными на характеристиках (задачу Гурса):K V   0P V   0 x, y  D  ,(x, y)  АМ , Q V   0 (x, y)  МВ, V M 1.(21)Можно показать, что решение задачи (21) всегда существует.

Она называетсяфункцией Римана. Функция V(M,M1) удовлетворяет по координатам точкиМ1 задаче (21) и зависит от точки М как от параметра.(18)  (21), (12)  u  M    V M, M1V  A V  B2 f  M  d1112 Pdx  Qdy(22)Интеграл по АВ легко вычисляется, поскольку функции V ,  , известны.DABЗамечание. Любая характеристика уравнения (12) должна пересекатькривую С не более одного раза.УВСВ1М1МА0ХЕсли характеристика пересекает кривую С в двух точках А и М1, то значениеU(М1) не может быть задано произвольно, а определяется по формуле:B1u( M1 )  u ( A)V ( A)2u ( B1 )V ( B )1   Vfdxdy  12  Pdx  QdyD1(23)Aс начальным значением, заданным на дуге АВ1 и функцией f(x,у), заданной вобласти D1 – криволинейном треугольнике М1В1А.2. Физический смысл функции РиманаРассмотрим задачу:L u   f , ( x, y)  D , u C  0, un C  0.(22)  u( M )   V ( M , M1 ) f ( M1 )d M1(24)DПустьгдеf ( M )- локальная функция точки М1:S M 1f (M )  0, M  SM 1 ,- окрестность точки М1.Условие нормировкиsM1f ( M1 )d M1  1,   0(25)u (M )  V ( M , M ) f  ( M ) d11SM1 V (M , M  )  f (M1 )d M1 ,sM1(26)M1M   SM 1 .(26) u0 ( M )  lim u ( M )  V ( M , M1 )  0V(М1)- функция влияния единичного точечного импульса, приложенного вточке М1.Рассмотрим функцию U=U(М,М1), зависящую от точки М1 как от параметраи удовлетворяющую по координатам точки М следующей задаче Гурса: L u   0,ux  bu  0, ( x, y)  M1 A1,u  au  0, ( x, y)  B M ,11 yu  1. M1(27)УВА1М0М1В1АХЗадача (27) полностью определяет функцию U в четырехугольникеМВ1М1А1, образованном отрезками характеристик.Проинтегрируем формулу Грина (18) по четырехугольнику МВ1М1А1,учитывая формулы (21) и (27).(18), (21), (27)(VL u   uK V )dxdy MB1M1 A1(28)B1MA1MA1M1 12  Pdx  12  Qdy  12   uVx  Vu x  2buV dx  12M1 Vuy uVy  2auV dy   uV M   uV M  0.1B1VM 1, u M  1,  u(M , M1 )  V ( M , M1 )1(29)3.Уравненияскоэффициентами.1.

Функция Римана для уравненияТак как операторто (21) L u   uxy  cu  K u Vxy  CV  0 ( x, y)  D,Vx  0 (x, y)  M 0 A,V  0 (x, y)  BM0, yV  1  M0Vxy  CV  0 ( x, y)  D,V  1 (x, y)  M 0 A, (x, y)  ВМ 0 .постояннымиuxy  cu  0.- самосопряженный,(30)(31)Ищем функцию Римана в виде V V ( z), гдеz  ( x  x0 )( y  y0 ), M 0   x0 , y0  , M =  x, y.(31)Vx  V y  y02z(32)V (0)=1, Vxy  14 V   41z V   V + 1z V   4CV  0(33)V (M , M 0 )  V ( x, y, x0 , y0 )  J 0 (2 C( x  x0 )( y  y0 )) (34)2.

Задача Коши для уравнения колебаний.Рассмотрим задачу:utt  uzz  aut  buz  gu  0, -  z  , t  0,u t 0   ( z ), ut t 0   ( z),    z  .Замена:u  Ue a2 t  b2 z(35)(36)U  U  CU  0, -<z <, t >0,zz tt b2 zU t 0   ( z )e  1 ( z ), b2 zaU t t 0  ( ( z )  2  ( z ))e   1 ( z ), -<z <,C2a 42b4 g.x  t  z, y  t  z  t (37)Перейдем к переменным xиy:x y2, z= x 2 y .W  C W  0, xy 4x yW( x  y 01 2 ),x y(Wx  Wy ) x  y 0   1 ( 2 )(38)(39)A(-y0,y0)M(x0,y0)t  0  y  - x, dx  dz, dy  -dz(22) 12 W ( x0 , y0 ) 1(  y0 ) ( x0 )2y=-x (VWy  WVy )dy  (WVx  WxV )dx(40)ABWx  12 (U t  U z ), U y  12 (U t  U z )(34), (40), (41)z0 t0 U ( z0 , t 0 )    1 ( z ) J 0 ( Cz0 t0 12(41)B(x0,-x0)1 ( z0 t0 )1 ( z0 t0 )2t  ( z  z0 ) )  1 ( z )202J1 ( C t02 ( z  z0 )2t02 ( z  z0 )2(42)Ct0  dzПри С=0 из (40) получаем формулу Даламбера:U ( z0 , t0 ) 1( z0 t0 )1( z0 t0 )2 12z0 t0  ( z)dz1z0 t0(43).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций