Лекция 6 (1133446)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5. Задача о промерзании (задача офазовом переходе, задача Стефана)1. Постановка задачиПри изменении температуры тела может происходить изменение егофизического состояния. Например, при переходе температуры черезточку плавления происходит переход вещества из жидкой фазы втвердую фазу при затвердевании, или обратный переход из твердойфазы в жидкую при плавлении.При этом на поверхности фазового перехода все времяподдерживается постоянная температура.При движении поверхности фазового перехода происходитвыделение скрытой теплоты затвердевания (плавления).Математической моделью, описывающей процесс фазовогоперехода, является задача с подвижной границей (задачаСтефана).Рассмотрим плоскую задачу, когда поверхностью раздела двухфаз является плоскостьx = ξ ( t ). .

С момента времени t домомента времени t + ∆tповерхность раздела переместится навеличину ∆ξ : t → t +t , ξ =x1 → ξ = x2 = x1 +ξ .При этом происходит затвердевание массы ρ∆ξ при ∆ξ > 0(или расплавление массы ρ∆ξ при ξ < 0 ) и выделяетсясоответствующее количество тепла λρ ξ .Уравнение теплового баланса имеет вид: k ∂u1 1 ∂xx1− k2∂u2∂x x2t =λρ ξ ,где k1 и k2 – коэффициенты теплопроводности первой и второйфазы, а λ - скрытая теплота плавления.При∆t → 0.получаем условия на границе раздела:∂u1∂u2dξk1λρ .−==dt∂x x ξ =∂x x ξdξПри∆ξ > 0;> 0 происходит процесс затвердеваниявещества.dtПриdξ∆ξ < 0,< 0 происходит процесс плавления вещества.dtРассмотрим процесс замерзания воды , при котором температурафазового перехода равна нулю.Будем предполагать, что масса воды расположена в области x ≥ 0,ограниченной плоскостью x = 0.В начальный момент t = 0 водаобладаетпостояннойтемпературой T > 0 .Если на границе поверхности x = 0 все время поддерживаетсяпостоянная температура T < 0 , то граница промерзания1x = ξ (t ) , будет со временем проникать вглубь жидкости.Задача о промерзании (задача.

с подвижной границей, задачаСтефана) ставится следующим образом:2 ∂u12 ∂ u1 ∂ = a1 ∂ 2 , 0<x <ξ ,tx2∂u22 ∂ u2= a2, ξ < x < ∞,2 ∂t∂xu1 = T1 , x =0,=, t 0,u2 T=u1 =u2 =0, x =ξ (t ), ξ (0) = 0,∂u1∂udξ- k2 2=λρ,∂x x ξ =∂x x ξdt=k1(1)(2)(3)(4)где k1 , a1 и k2 , a2 - коэффициенты теплопроводности итемпературопроводности твердой и жидкой фазы.22Построение решения задачи (1)-(4).Ищем решение в виде:u1 = A1 + B1Φ ( 2 ax t ), u2 = A2 + B2 Φ ( 2 ax t ),1гдеwΦ (w)=2π−ze∫ dz 22функция ошибок.0=AT1 , A2 + B=T,12Из (2), (3) следует:ξ+Φ=A1 + B1Φ ( 2 aξ =)0,AB() 022t2a t1(5)2Условия (5) выполняются при любом t, откуда следует:где α - некоторая постоянная.

Отсюда получаем:T1A = TB=−11Φ( α ) 12 a1T Φ( α )2 a1TA =−B=−α21−Φ ()1−Φ ( α ) 22 a22 a2ξ =α t,(6)(7)Для определения2−α4 a2k1T1e 1a1Φ ( 2αa )1+αиз (4) получаем уравнение:2−α4 a22k2Tea2 1−Φ ( 2αa 2= −λραπ2.(8)При Т=0 формулы (7) и (8) существенно упрощаются:A1 = T1 ; B1 = −T1Φ(−α 2k1T1ea1Φ (α2a1α,D==β 2aПоложив14 a12α2a1, A2 =0; B2 =0,)= −λρα)λρ a12k1T1(9)π2.(10), из (10) получим уравнение:1 e− βπ Φ(β )2= − Dβ ,которое решается численно или графически.Метод подобияРассмотрим уравнение:ut = a 2u xx(11)Уравнение (11) не изменяется при преобразовании переменных:=x′ kx=, t ′ k 2t ,(12)Это означает, что решение задает зависит от аргументачтоxxt, то естьu=z ), z( x, t ) f=( 2x t ) f (=2 t∂ 2u 1 d 2 f∂udfdfxz==− 3=− 2t(13) ⇒,224t∂xdz∂tdz4t 2 dz2df2 d fa=−2 z(11), (14) ⇒2dzdzz(15) ⇒f ( z) = A + B ∫ e0−ω22adω = A + Bzaeπ∫20−ζ 2d ζ = A + BΦ ( az )(13)(14)(15)(16)a2 f ′′f′=−2 z2− z2⇒ f′=Be aДвижение нулевой изотермы описывается уравнением: ξ =α t ,гдеαf ( 2 ) = 0. d 2 f1df1α=−a2z,0<z< 1 22 ,dzdz(1) ⇒ 2df2df 2aα=−<z<∞2,z222 dzdz(17)(2) ⇒f1 (0) T1 ,=f=T2 (∞ )(18)(3) ⇒f1 ( α2 ) =f 2 ( α2 ) =0(19)(4) ⇒k1 f1′ ( α2 ) − k2 f 2′ ( α2 ) =λρα(20)Ищем решение виде: f1 ( z ) = A1 + B1Φ ( az1 ),f ( z) = z ),=+Φ()(fzAB222a20<z < α2α2<z<∞(21)Из условий (18)-(20) получаем формулы (7) и (8).Замечание 1.

Задачу о промерзании можно аналогично решить,если скрытая теплота выделяется не при фиксированнойтемпературе, а при некотором интервале температур.Замечание 2. Аналогично решается задача в случае, когдаимеется не одна, а несколько критических температур. Этопроисходит,например,впроцессепереходаизоднойкристаллическойструктурывдругую,напримерприперекристаллизации соли..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций