Лекция 1 (1133441)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГОМОДЕЛИРОВАНИЯПрофессор А.Н.БоголюбовВведениеМетодматематическогомоделирования,представляющийсобойколичественное описание изучаемых явлений на языке математики, широкоприменяется для исследования всевозможных явлений природы иобщественной жизни. Этот «третий путь познания» сочетает в себедостоинства как теории, так и эксперимента.

С одной стороны, работая не ссамим объектом, а с ее моделью, мы можем относительно быстро и безсущественных затрат исследовать его свойства и поведение в любыхмыслимых ситуациях (преимущества теории). С другой стороны,вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясьна мощь современных вычислительных методов и вычислительнойтехники, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте,недоступнойчистотеоретическимисследованиям(преимуществаэксперимента).Элементы математического моделирования использовались с самогоначала появления точных наук: слово «алгоритм» происходит от именисредневекового арабского ученого Аль-Хорезми (аль Хорезми Абу АбдалаМухамед бен Мусса аль Маджуси, 787 г.

– ок. 850 г.). Второе рождениематематического моделирования пришлось на конец 40-х – начало 50-хгодов XX века и было обусловлено в основном двумя причинами.беспрецеПервая из них – появление первых компьютеров. Вторая – социальныйзаказ – выполнение национальных программ СССР и США по созданиюракетно-ядерного щита, который не мог быть выполнен традиционнымиметодами.

Математическое моделирование блестяще справилось с этойзадачей: ядерные взрывы и полеты ракет и спутников былипредварительноосуществленывнедрахЭВМспомощьюматематических моделей и лишь затем претворены на практике.Сейчасматематическоемоделированиевступаетвтретийпринципиально важный этап своего развития, встраиваясь в структуруинформационного общества. «Сырая информация» обычно мало что даетдля анализа и прогноза, для принятия решений и контроля за ихисполнением. Нужны надежные способы переработки информационногосырья в готовый продукт – точные знания.История и методология математического моделирования убеждает: ономожет и должно стать интеллектуальным ядром информационныхтехнологий, всего процесса информатизации общества.Глава 1.

Основные понятия и принципыматематического моделирования1. Математика и математическое моделированиеОсновные этапы метода математического моделирования1. Создание качественной моделиВыясняется характер законов и связей, действующих в системе. В зависимости отприроды модели эти законы могут быть физическими, химическими,биологическими, экономическими.Задача моделирования-выявить главные, характерные черты явления илипроцесса, его определяющие особенности.Применительно к исследованию физических явлений создание качественноймодели – это формулировка физических закономерностей явления или процесса наосновании эксперимента.2. Создание математической модели (постановка математической задачи)Если модель описывается некоторыми уравнениями, то она называетсядетерминированной.

Начально-краевые задачи математической физики являютсяпримерами детерминированных дифференциальных моделей.Если модель описывается вероятностными законами, то она называетсястохастической.1) Выделение существенных факторовОсновной принцип: если в системе действует несколько факторов одного порядка,то все они должны быть учтены, или отброшены.2) Выделение дополнительных условий (начальных, граничных, условийсопряжения и т.п.)3.

Изучение математической модели1)Математическоеобоснованиемодели.Исследованиевнутреннейнепротиворечивости модели. Обоснование корректности дифференциальноймодели. Доказательство теорем существования, единственности и устойчивостирешения.2)Качественное исследование модели. Выяснение поведения модели вкрайних и предельных ситуациях.3) Численное исследование модели. а) Разработка алгоритма. б) Разработкачисленных методов исследования модели. Разрабатываемые методы должны бытьдостаточнообщими,алгоритмичнымиидопускающимивозможностьраспараллеливания.в) Создание и реализация программы.

Компьютерныйэксперимент.Лабораторный экспериментКомпьютерный экспериментОбразецМатематическая модельФизический приборПрограммаКалибровкаТестирование программыИзмеренияРасчетыАнализ данныхАнализ данныхПо сравнению с лабораторным (натурным) экспериментом компьютерныйэксперимент дешевле, безопасней, может проводиться в тех случаях, когданатурный эксперимент принципиально невозможен.4. Получение результатов и их интерпретацияСопоставление полученных данных с результатами качественного анализа,натурного эксперимента и данными, полученными с помощью других численныхалгоритмов.

Уточнение и модификация модели и методов её исследования.5. Использование полученных результатовПредсказание новых явлений и закономерностей. Предсказание Полем Диракомоткрытия античастиц на основе исследования построенной им модели квантовойтеории поля.2.

Прямые и обратные задачи математического моделирования1. Прямая задача: все параметры исследуемой задачи известны и изучаетсяповедение модели в различных условиях.2. Обратные задачи:а) Задача распознавания: определение параметров модели путем сопоставлениянаблюдаемых данных и результатов моделирования. По результатам наблюденийпытаются выяснить, какие процессы управляют поведением объекта и находятопределяющие параметры модели.

В обратной задаче распознавания требуетсяопределить значение параметров модели по известному поведению системы какцелого.Примеры задач распознавания: -Задача электроразведки: определение подземныхструктур при помощи измерения на поверхности. -Задача магнитнойдефектоскопии: определение дефекта в детали, помещённой между полюсамимагнита, по возмущению магнитного поля на поверхности детали.б) Задача синтеза (задача математического проектирования):построениематематических моделей систем и устройств, которые должны обладатьзаданными техническими характеристиками. В отличие от задач распознавания взадачах синтеза отсутствует требование единственности решения («вееррешений»).Отсутствиеединственностирешенияпозволяетвыбратьтехнологически наиболее приемлемый результат.Примеры задач синтеза: а) Синтез диаграммы направленности антенны:определениераспределениятоков,создающихзаданнуюдиаграммунаправленности антенны.

б) Синтез градиентных световодов: определениепрофиля функции диэлектрической проницаемости, при котором световодобладает заданными характеристиками.3. Задача проектирования управляющих систем: особая область математическогомоделирования, связанная с автоматизированными информационными системамии автоматизированными системами управления.Типичные примеры обратных задач распознавания1. Задача электроразведки.

Для изучения неоднородностей земной коры вцелях разведки полезных ископаемых широкоприменяютсяэлектрические методы. Основная схема электроразведки постоянныхтоком заключается в следующем.При помощи заземленных электродов в землю пропускается ток отпитающей батареи. На поверхности земли измеряется напряжениесозданного таким образом поля постоянного тока. При помощиизмерений на поверхности определяют подземную структуру.

Методыопределения подземных структур (интерпретация наблюдений)основывается на математическом решении соответствующих задач.2. Задача магнитной дефектоскопии. Для определения дефекта(наличие пустот) металлическую деталь помещают между полюсамимагнита и измеряют магнитное поле на ее поверхности.По возмущениям магнитного поля требуется определить наличиедефекта, а также, его размеры, глубину залегания и т.д.3. Универсальность математических моделей. ПринципаналогийУниверсальность математических моделей есть отражение принципа материальногоединства мира.

Математическая модель должна описывать не только конкретныеотдельные явления или объекты, но достаточно широкий круг разнородных явлений иобъектов.Одним из плодотворных подходов к моделированию сложных объектов являетсяиспользование аналогий с уже изученными явлениями.Пример: процессы колебаний в объектах различной природы.1. Колебательный электрический контур, состоящий из конденсатора и катушкииндуктивности.

Сопротивление проводов считаем равным нулю, q(t) –заряд наобкладках конденсатора, u(t) –напряжение на обкладках конденсатора, C – ёмкостьконденсатора, L – индуктивность катушки, E – э.д.с. самоиндукции, i – ток.1didq2q1u(t )  q(t ), E   L , i   , u (t )   E (t )  L 2   q СdtdttС2q 1q02tСL2. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяцийN(t)-численность растительноядной популяции 1; M(t)- численностьплотоядной популяции 2. Пренебрегаем естественной смертностьюпопуляции N и рождаемостью популяции M. dN dt  (a1  b1M ) N , a1  0, b1  0, dM  (a  b N ) M , a  0, b  0.2222 dtСистема находится в равновесии, еслисистема имеет вид:dN dM 0.

Линеаризованнаяdtdt dn dt  b1 N0 m2n a1a2 n  0, n  N  N0 , m  M  M 0 ,2t dm  b M n20 dtгдеM 0  ab11 , N0 a2b2.Рассмотрим более подробно процесс линеаризации.N  N0  n, M  M 0  m d  N0  n   a1  b1  M 0  m    N0  n  dtdN 0 dn a1 N 0  a1n  b1M 0 N 0  b1 N 0 m  b1M 0 n  b1mndtdtN0 aba2a dN0 d  a2 aaab; M0  1 ;   ; b1M 0 N0  1 2 ; b1 N0 m  2 1 m; b1M 0 n  1 1 nb1b2b1dtdt  b2 b2b2mna1a2a2dn1  a1 N0  a1n  b1 m  a1n dtb2b2a1a2aadn a1n  1 2  b1 N0 m  a1n    b1 N0 mb2b2dtАналогично получаем:d  M 0  m  a2  b2  N0  n    M 0  m   a2 M 0  a2 m  b2 M 0 N0  b2 N0 m dtb2 M 0 n  b2 mn; mnN0 1 dM 0a2aaadm a1a2; M0  1 0 =-a2 m  1 2 +a2 m+ b2 M 0 n  b2 M 0 n b2b1dtdtb1b1dm b2 M 0 ndt3.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций