Лекция 2 (1133442)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 2. Некоторые классические задачиматематической физики1. Уравнение Гельмгольцав неограниченной области1. Физические задачи, приводящие куравнению ΔU + cU = -f  M 1) Установившиеся колебанияWtt  Wt  a W    x, y, z, t 2 itРассмотрим гармоническую зависимость от времени e :  x, y, z, t   F  x, y, z  ei tW  x, y, z, t   U  x, y, z  e 2i t i U  a U  F  x, y, z 2U  k U   f  x, y, z 2k 2 2  ia2,1f  x, y, z   2 F  x, y, z aВеличина k 2  комплексная, причем Im k 2  0.

Выберем туветвь, где Im k  0. При временной зависимости еit этаветвь соответствует поглощению.Рассмотрим одномерное однородное уравнение ГельмгольцаU xx  k 2U  0.Физический смысл правой плоской волны имеет выражениеi kx t W  x, t   e,а левой - выражениеi kx t W  x, t   eПри Im k  0 получим затухающие на. волны.2) Стационарный процесс диффузииУравнение диффузии имеет вид (D – коэффициентдиффузии):U t  D  U  cU  F .При с < 0 процесс диффузии происходит с распадоммолекул диффундирующего газа, а при с > 0 – сразмножением частиц, что физически означает наличиецепных реакций между частицами и окружающей средой.В случае стационарного процесса диффузии производнаяU t  0 и уравнение имеет вид:гдеU  CU   f ,с1С ,f  .DFU  CU   f можетКоэффициент С в уравнениииметь положительное или отрицательное значение. При этомсвойства решений уравнения при С<0 резко отличаются отсвойств при С>0.2.

Поведение решения на бесконечности приразличных С.Решение уравнения U  CU   f можно записать приразличных С, используя свойства объемного потенциала.1)c  æ 2  0(1)æ rQMe1u (M ) 4  rQMDгде f(M) – финитная функция,f (Q)dVQ ,supp f  D.Теорема 1.Классическое решение уравненияu  æ 2u   f ( M ),(2)равномерно стремящееся к нулю на бесконечности,единственно.Доказательство:u1 ( M )  u2 ( M )  V ( M )  u1 ( M )  u2 (M ) V  æ2V  0.

Так как V  0 равномерно,  0, R  0 : V (M )   , r  RтоrПрименим к шару K принцип максимума:В силу произвольностииrV (M )   , M  K r .получим, чтоV ( M )  0  u1 ( M )  u2 ( M ).Единственное решение, равномерно стремящееся к нулюна бесконечности:æ rQM1 eu(M ) 4 D rQMf (Q)dVQ .(3)2) c  k 2 , k  k  ik , k  0Единственное решение, равномерно стремящееся к нулю набесконечностиik rQM1 eu(M ) f (Q)dVQ .4 D rQMПри временной зависимости ei t это решениесоответствует расходящейся волне.(4)2ck03) ik rQM1 eu (M ) 4 D rQMf (Q)dVQ .(5)Оба решения u  ( M ) уравнения Гельмгольцаu  k 2u   f ( M )одинаково убывают на бесконечности.3.

Условия излучения ЗоммерфельдаИз двух фундаментальных решений уравненияГельмгольца ik r M Mv (M ) e0rM M(6)0нужно выбрать решение, соответствующее расходящейсяволне (временная зависимость eit ).1) M 0  0  rM 0 M  rM  rdv e ik r e ik r1 ik 2  ikv  o   .drrrr(7)Расходящейся сферической волне соответствует v ( M ) ,а сходящейся v ( M ) .Расходящаяся сферическая волна должна удовлетворятьсоотношениюu1 iku  o   , u  v (M )eit ,rr(8)а сходящаяся - соотношениюu1 iku  o   ,rru  v (M )eit.(9)2) M 0  0 eikR eikR R,r R R R r(10)1111222Rr  r0  2rr0 cos r 1   r0 r   2  r0 r  cos2 1 1  1  r0  r0  1  1     2   cos   ...  1  O    (11)r  2  r  r r r R r  r0 cos1 1 O  rRr(12) eikReikR R eikR R ik 2r RR r R r(13) eikReikR1 ik o r RRrИ в этом случае расходящиеся сферические волныудовлетворяют соотношениюu1 iku  o   ,rru  eiteikR,R(14)u  eiteikR.R(15)а сходящиеся - соотношениюu1 iku  o   ,rrЗамечание 1.

В силу специального выбора ядер введенныевыше потенциалы удовлетворяют условиям излученияЗоммерфельда:u(M )  O 1 r  ,(16)u1 iku  o   .rr(17)Замечание 2. Для двумерных задач условия излученияЗоммерфельда имеют вид:u(M )  O 1r , ulim r   iku   0.r  r(18)(19)Замечание 3. И.Н.

Векуа показал, что условие (18) являетсяследствием условия(19).3) Теорема единственности:Теорема 2.Классическое решение уравнения Гельмгольцаuk 2uf ( M ), M3,(20)где k – вещественное, удовлетворяющее условиям излученияЗоммерфельда (16), (17), единственно.Доказательство.u1 (M )  u2 (M )  V (M )  u1 ( M )  u2 ( M )  V  k 2V  0,VV ( M )  O 1 r  , ikV  o 1 r  .rРассмотрим шар K R и запишем для точки M  K R третьюформулу Грина:1V (M ) 4  eikrPM eikrPM VR  rPM r  V ( P) r  rPM d P 14eikrPMeikrPM  eikrPM eikrPM VR  rPM r  ikV rPM  ikV rPM  V ( P) r  rPM14ikr  V   eikrPM e PM ikV d p   V ( P)    rPM R  r r  rPMR14 eikrPM  1 R  rPM o  r   V ( P)1 1 o   d P 4 r  d P eikrPM  ikrPMd P  10 R R o  r 2 d P V ( M )  0  u1 ( M )  u2 ( M ).Следствие.ЕдинственнымрешениемуравненияГельмгольца (20) при вещественном k 2  0, удовлетворяющимусловиям излучения Зоммерфельда (16),(17), являетсяинтегралikrQM1 eu(M ) f (Q)dVQ ,4 D rQMгде f(M) – финитная функция, supp f  D.При временной зависимостие itи Im k  0 функцияV  x, t   U  x   eitпредставляет собой расходящуюся волну, убывающую набесконечности.(21)4.

Принцип предельного поглощенияПусть f(M) – финитная функция,supp f  D.Единственное решение уравнения Гельмгольца скомплексным коэффициентомk  k  ik , k  0,равномерно стремящееся к нулю на бесконечности, имеетвид:ikrikr krQM1 e QM1 e QM eu(M ) f (Q)dVQ 4 D rQM4 DrQMФункция1u ( M )  lim u( M ) k 04f (Q)dVQ(22)ikre QMD rQM f (Q)dVQ(23)является решением уравнения Гельмгольца сположительным вещественным коэффициентом2u  k u   f (M )2k :(24)Дополнительнымусловием,позволяющимвыделитьрешение уравнения Гельмгольца (24), соответствующеерасходящимсяволнам,являетсятребование,чтобыфункция u(M ) являлась пределом ограниченного решенияуравнения Гельмгольцаприс комплексным коэффициентомk  k  ik , k  0.Для выделения единственного решения необходимо:1) добавить к вещественному коэффициенту к мнимую часть;2) издвухрешенийкоэффициентомуравнениявыделитьсполученнымединственноекомплекснымрешениеравномерностремящееся к нулю на бесконечности;3) перейти в выделенномрешениидобавленной мнимой части к нулю.кпределупри стремлении5.

Принцип предельной амплитудыРассмотрим уравнение колебаний с периодической правойчастью:utt  a 2 u  F (M , t ), F (M , t )  f (M )eit ,u(M ,0)0, ut (M ,0)30; M(25)(26)Со временем в системе установятся колебания с частотойвынуждающей силы:u(M , t )V ( M )ei t(27),где V(M) – предельная амплитуда колебанийV (M )Vk 2Vlim u(M , t )ei t ,(28)tf ( M ), ka.(29)Требование, чтобы V(M) было предельной амплитудойколебанийснулевыминачальнымиусловиями,представляет то дополнительное условие, которое нужноприсоединить к волновому уравнению Гельмгольца длявыделения единственного решения.То есть нужно найти решение уравнения Гельмгольца (29),являющееся предельной амплитудой для решения уравненияколебаний (25) с начальными условиями (26):u(M , t )14F Q, trQM adVQrQMatKM14atKMf (Q)erQMitf(M) – финитная функция, supp f  D.V (M )lim u( M , t )eitt14ikrDe QMf (Q)dVQ .rQMrQM adVQ ,6.

Парциальные условия излученияРассмотримплоскийволноводслокальнойнерегулярностью.При x  0 и x  a волновод регулярный: его заполнениеоднородно и геометрия сечения постоянна.Нормальные волны (моды) – частные решения видаu ( x, y )гдеПолеx(30)( y ),– постоянная распространения,  ( y) - функция сечения.u ( x, y)uгдеeiв волноводе удовлетворяет уравнению Гельмгольца:k 2u20, ( x, y ) V1(31)(0, b),2k ( x, y)  k ( x, y)  ik ( x, y),k12  const ,x  0, 22k ( x, y )   k ( x, y ), 0  x  a,k 2  const ,x  a. 22Электродинамический случай:k 2 ( x, y)  k02 ( x, y),(32)гдеk0  c - волновое число,  ( x, y) - диэлектрическая проницаемость.u ( x, 0)0, u ( x, b)(33)10, x- граничные условия (например, идеально проводящие стенки).(30), (31), (33) =>( y)где( y)(0) 0,0, 0 y(b) 0,(34)b,(35)  k 2   2.(34), (35) =>n( y)2nysin,bb2nn, (nb1, 2,...)(36)Существует счетное множество нормальных волн (мод) вида:un ( x, y)einx2(y),knnпри ( x  0, x  a).n, (n1, 2,...)(37)Пусть на неоднородность падает правая нормальная волнаиндекса n0 с амплитудой An0 .

В сечении x  0 парциальные itусловия излучения при временной зависимости eимеютвид:bux0i(1)nun ( y )dy2i(1)n0An0n , n0,(n1, 2, ...)(38а)x 0Условие (38) означает отсутствие падающихсечение x  0 правых волн индекса n  n0 .наэтоДля таких волн получим: 2i n1 An  0, откуда An  0.В сечении x  a парциальные условия имеют вид: u 2 0  x  i n u xa  n  y  dy  0b n  1, 2, ...и означают отсутствие падающих на сечение левых волн. 38б Условия излучения (38) – нелокальные условия.Разложим u(x,y) по функциям сечения:u  x, y    Zn  x  n  y  ,(39)n 1bZn  x    u  x, y  n  y  dy n  1, 2,... 40 0Из (38), (40) следует, что парциальные условия излучения –это условия, которые накладываются на коэффициенты ФурьеZn  x  в разложении (39):Zn  0  i n1 Zn  0  2i n10 An0  n,n0 41Пусть D-область между сечениями x=0 и x=a:D  0  x  a,0  y  b.

Краевая задача имеет вид:u  k 2 ( x, y )u  0, ( x, y )  D,u (x,0)=0, u ( x, b)  0, 0  x  a, b  u(1) (1)iu(y)dy2i nnn0 An0  n , n0 (n  1, 2,...), x 0 0  x b u    i n(2)u   n ( y )dy  0 (n  1, 2,...), 0  xxa(l )2knl  n (n  1, 2,...; l  1, 2)  постоянныегдераспространения нормальных волн.(42)(43)(44)(45)Теорема 3. Пусть k 2  k 2  ik 2 , k  0,  n(l )   n(l )  i n(l ) ,  n(l )  0(n  1,...; l  1, 2).Тогда классическое решение задачи (42)-(45) единственно.ДоказательствоПредположим существование двух решений:u1 ( x, y )  u2 ( x, y )  u( x, y)  u1 ( x, u)  u2 ( x, y)  (42)  (45), An  0.Умножим (42) на u  и проинтегрируем по области D(интегрирование по частям):0a bb0 002uukuudxdyuu  xa b   ux  u y0 022dxdy    ka b0 02bx ady   u x u 0u dxdy  0,2dy x 0(46)bu (a, y)   Cn n ( y), Cn   u (a, y) n ( y)dy (n  1, 2,...)n 1b0n 10(47)buudyC x xa  n  ux (a, y) n ( y)dy 0bn 10n 1 i   n(2)Cn  u (a, y ) n ( y )dy  i   n(2)CnCn  i n 1(2)n2Cn .(48)Аналогично получаем:bu0xux 0dy  i n 1(1)n2Bn ,(49)гдеbu (0, y)   Bn n ( y), Bn   u (0, y) n ( y)dy (n  1, 2,...)n 1(46), (48), (49)i n 12a b0(2)n(50)2Cn  i   n(1) Bn 2n 1a b  grad u dxdy    k u dxdy  020 02(51)0 0Возьмём в (51) мнимую часть:n 1(2)nCn   2n 1a b(1)nBn    k u dxdy  0222(52)0 0(52)  u  0, (x, y)  D; Cn  0 (n =1,2,...)  u (a, y)  0;Bn  0 (n  1, 2,...)  u (0, y)  0  u ( x, y)  0  u1 ( x, y)  u2 ( x, y),( x, y)  D.Замечание.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций