Лекция 15 (1133455)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3. Вейвлет – анализ1. ВейвлетыСлово «вейвлет» (wavelet – маленькая волна или рябь)введено А.Гроссманом и Ж.Морле в 1982 году в работе,посвященной проблеме анализа сейсмических сигналов, вкоторых требуется выделить и время (положение) всплеска всигнале и его спектральный состав (масштаб).К началу 90 – х годов вейвлет – анализ нашел широкоеприменение в задачах анализа временных сигналов,распознавания образов и синтеза изображений, шифровки идешифровки информации и многих других областях.Вейвлет – анализ используется в задачах, связанных санализомпространственныхполейсосложноймногомасштабной структурой (турбулентное течение), либовременныхсигналовсменяющимсясовременемспектральным составом (сейсмические сигналы).Основная идея: использование базиса, каждая функциякоторого характеризует как определенную пространственную(временную) частоту, так и место ее локализации вфизическом пространстве (во времени).а) Система Хаара (1909г.)Совокупность функций Хаара образует полный ортонормированный базис.Каждая функция строголокализована в физическомпространстве (во времени),но характеризуется медленноспадающим спектром частот(как 1/ν).б) Функции Литлвуда – Пелли (1937г.)Строятся путем вырезания полосы частот в пространствеФурье. sin x  hN n 2hN 31f Nn ( x) cos x  hN n 2hNhN x  hN n2Каждая функция строго локализована в пространствечастот, но медленно затухает в физическом пространстве (вовремени) функции описывают осцилляции, амплитудакоторых падает как 1/t.f NnhNxФункция Литлвуда-Пелли для n=0.в) Пребразование Габора (Фурье – преобразование в окнах)(1946г.)Функция Габора: гармонический сигнал, модулированныйфункцией Гаусса.

Хорошо локализованы и в физическомпространстве(времени)ивпространствечастот.Характеризуются тремя параметрами: положением центраокна t0, шириной окна τ и частотой осцилляций ν.Функции различного масштаба не являются подобными –имеют различное число осцилляций.1-мерный случайf1/ tt02-мерный случайг) ВейвлетыОбъединяют в себе два важных свойства подобия ивыраженную локализацию в пространстве и времени.Чтобы быть вейвлетами семейство функций должноудовлетворять следующим требованиям:1) Допустимость. Анализирующий вейвлет ψ(t), называемыйтакже материнским вейвлетом, должен иметь нулевоесреднее значение: (t )dt  0.(1)2) Подобие.

Все функции семейства получаются из анализирующего вейвлета путем масштабного преобразования исдвига:Получается t b a ,b (t )    . a двухпараметрическоесемейство(2)функций:параметр а – масштаб (растяжение) функции, параметр b –положение (сдвиг) функции.3) Обратимость. Существование обратного преобразования,однозначно восстанавливающее исходную функцию по еевейвлет – преобразованию.4) Регулярность. Функцияψ(t)должнабытьхорошолокализована и в физическом пространстве и в пространствеФурье.Выбор конкретного вида вейвлета зависит от целей проведенного анализа.а) Вещественный вейвлет «мексиканская шляпа»:t22 (t )  (1 t 2 )e(3)Задачи, требующие хорошегопространственного разрешения и не требовательные кспектральному разрешению.б) Комплексный вейвлет Морле:t22 (t )  eei 0 t,(4)Задачи, требующие лучшегоспектрального разрешения.Отличие от функций Габора:выбрав частоту дляанализирующего вейвлета(задавчислоосцилляций),функцию какфункций семейства.сжимаемилирастягиваемцелое, не нарушая подобия отдельныхПреимущество вейвлет – преобразования перед преобразованием Фурье состоит в том, что оно позволяет проследить заизменением спектральных свойств сигнала со временем иуказать, какие частоты (масштабы) доминируют в сигнале.2.

Непрерывное вейвлет – преобразованиеНепрерывноефункции:вейвлетW ( a, b)  akψ(t)-одномерной t  b f (t ) dt, a (5)гдепреобразование–вещественнаяиликомплекснаяфункцияудовлетворяющая условиям 1) – 4).Если выполняется условие:C ˆ  2d   ,где ψˆ (ω ) - фурье – образ анализирующего вейвлета:(6)itˆ      (t )e dt ,(7)то для преобразования (5) справедлива формула обращения1f (t ) C 0 t  b dadb   a  W (a, b) a3k .(8)Показатель степени масштабного множителя к выбирается взависимости от целей анализа. При к=-1 равные значениявейвлет - коэффициентов W(a,b) соответствуют равнымамплитудам пульсаций сигнала, независимо от масштабапульсаций.На рисунках 1) и 2) показаны два примера вейвлет –разложения простых временныхсигналов с помощьювейвлета Морле:сигнал;вейвлет преобразование сигнала, полученное с помощьюсинфазнойсоставляющейвейвлетаМорле;вейвлет преобразование сигнала, полученное с помощьюкомплексного вейвлета Морле;спектр сигнала, полученный с помощью преобразованияФурье.Фурье – преобразование сигналов 1) и 2) практически неотличаются друг от друга, а вейвлет – анализ позволяетвосстановить полную эволюцию спектрального сигнала вовремени.1) сигнал, состоящийиз двух гармоническихсоставляющих сразными частотами,следующие друг задругом и его спектр.2) сигнал, состоящийизсуммыдвухгармоническихсоставляющих тех жечастот, что и сигнал,представленныйнарис.его1),ианалогичныевейвлеты и спектр.На рисунке 3) показанрезультат вейвлет – разложения сигнала, представляющегособойсуперпозициюгармоническихляющихсменяющимисядвухсоставнепрерывночастотами(использовался вейвлетМорле).

Вейвлет – представление позволяет получить точныйвид эволюции частоты каждого из двух сигналов.Важное свойство вейвлет – представления функций: на этаперазложения сигнала по вейвлетам и на этапе восстановленияисходного сигнала по его вейвлет образу можно использоватьразличные свойства вейвлетов. Условие (6) заменяется наболее мягкое условие (9):C  ˆ ( )ˆ  ( )d   ,(9)поскольку теперь один из двух вейвлетов может неудовлетворять(6),приусловии,чтовторойвейвлеткомпенсирует его «недостатки».

В этом случае вместо одногоиз вейвлетов можно использовать сингулярную функцию(например, δ – функцию), не являющуюся вейвлетом.3 . Вейвлет – анализ временных колебанийРассмотрим вейвлет – анализ солнечной активности.Долговременная запись среднемесячных чисел солнечныхпятен начинается с наблюдений Галилея в феврале 1610 года,а с октября 1611 года наблюдения становятся довольнорегулярными. Существующий в настоящее время рядданных не имеет в астрономии аналогов по регулярности ипродолжительности наблюдений.Число пятен связано с интенсивностью магнитного поляСолнца, которое имеет полоидальную компоненту и болеемощную азимутальную, образующие замкнутые кольцасиловых линий внутри конвективной оболочки Солнца.Когда напряженность магнитного поля растет, наэтихмагнитных линиях возникают гигантские петли, выходящиеза пределы конвективной оболочки.

В местах выходамагнитноеполенаправленовертикальноиподавляетконвективное течение, приносящее горячую плазму из недрСолнца. В результате температура оказывается ниже, чем наостальной поверхности, и область видна как темное пятно.Чем сильнее магнитное поле, тем больше петель и тембольше пятен видно на поверхности.Компоненты силовых линий магнитного поля СолнцаГрафик изменения числа пятен – это череда пиков,каждый из которых охватывает приблизительно 11 лет.Одиннадцатилетний солнечный цикл характеризует работусолнечного динамо – магнитогидродинамическогогенератора поля.Амплитуда циклов непрерывно меняется, а временамивозникают сбои.

Самый заметный сбой – минимум Маундера– имел место в конце 17 – начале 18 веков. Другое заметноеослабление солнечной активности было отмечено в начале 19века – минимум Дальтона.График изменения числа солнечных пятен во времениВейвлет – представление проектирует одномерный сигнал(который был функцией только времени) на плоскость время– частота и позволяет увидеть изменение во времени спектральныхсвойстводиннадцатилетнемусигнала.Нациклувейвлет–соответствуетплоскоститемнаягоризонтальная полоса (идеально ровная горизонтальнаяполосасоответствовалабычистогармоническомуколебанию).

Кроме основного цикла, длительностью околоодиннадцати лет, отмечен еще один – приблизительно состолетней периодичностью.Модуль вейвлет - преобразования Морле данных графикаизменения числа солнечных пятенПри изучении графика ранее, без использования вейвлет –метода,предполагалосьналичиебольшогоколичествациклов с другой периодичностью. Все они оказалисьартефактами,методов,тонеестьоченьнеобоснованнымихорошорассматриваемойзадаче.проследить,меняетсякакВейвлетпоказаниямиприспособленных–анализдлительностькпозволяетноминальногоодиннадцатилетнего цикла со временем, показывая, чтостолетнийциклфиксируетпериодическиепопыткимеханизма генерации солнечного магнитного поля дать сбойи свернуть с обычных одиннадцатилетних колебаний вновый эпизод типа минимума Маундера.ВПарижской обсерватории с 1683 года по 1718 годнепрерывнорегистрировалисьвариациивидимогосолнечного диаметра. Эти измерения были возобновлены в1978 году.В результате вейвлет – анализа данных был полученнеожиданныйрезультат,состоящийвтом,чтоодиннадцатилетние вариации солнечного диаметра имелинаибольшуюамплитудукакразвовремяглубокогоминимума солнечной активности.

По мере выхода изминимума вариации числа пятен начинают нарастать, авариации диаметра спадать.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций