Материалы к лекции 7. Нелинейная теплопроводность (1133461)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава III. Математическое моделирование нелинейных объектов ипроцессов§1 Математические модели процессов нелинейной теплопроводности игоренияАвтомодельные решенияАвтомодельное решение вида (3) квазилинейноготеплопроводности (1), удовлетворяющее условиям (2):∂u ∂∂u=cρ(k (u ) )∂t ∂x∂x=ξ(1)=u (0, t ) u=u21 , u ( x, 0)уравнения(2) x =, u ( x, t ) θ= θ (ξ ) (3)2 t2 t x∂u ∂u ∂ξx== − 3/2 θ ′(ξ )∂t ∂ξ ∂t4t∂u ∂u ∂ξ1= =θ ′(ξ )∂x ∂ξ ∂x 2 tx dθ ( ξ ) 1 d dθ (ξ ) θk(1) ⇒=()− c ρ 3/2 ⇒dξdξ 4t4t d ξ −c ρx′, x =′θ ′ (ξ ) =θθξk()2ξ ⇒()()tt−2c ρξθ ′(ξ ), ξ > 0,(k (θ )θ ′(ξ ))′ =(0) u1 ; θ=(∞ ) u2 θ=(4)(5)Задача (4), (5) имеет единственное решение, которое в общем случаенаходится численно.1Автомодельное решение уравнения (1) типа бегущей волны:x Dt , u ( x, t ) =ξ =−θ ( x − Dt ) =θ (ξ ) (6)∂u ∂u ∂ξ==− D ⋅ θ ′(ξ )∂t ∂ξ ∂t∂u ∂u ∂ξ= = θ ′(ξ )∂x ∂ξ ∂x(1) ⇒ − c ρ D ⋅ θ ′(ξ ) =( k (θ )θ ′(ξ ) )′ (7)Ищем непрерывное решение, обладающее непрерывным «тепловымпотоком»:k (θ ) θ ′ (ξ ) ⇒ W ( x, t ) =−k (u ( x, t ))∂u ( x, t )∂x(8)Начало движения по нулевому фону температуры:θ (ξ ) → 0, ξ → ∞; k (θ ) θ ′ (ξ ) → 0, ξ → ∞ (9)∞(7), (9) ⇒=− c ρ D ⋅ θ (α )∞′ dα′kθθα()()()∫ξ⇒ξ∞∞−c ρ D=⋅ θ (α )⇒k (θ ) θ ′ (α )ξξ−c ρ D ⋅ θ (ξ ) =k (θ ) θ ′ (ξ ) ⇒k (θ ) dθ=− D ⋅ c ρθ dξ(10)2Пусть:k (u ) = k0uσ ⇒ k (θ ) = k0θ σ , k0 > 0, σ > 0.Тогда решение уравнения (10) имеет вид:=θ (ξ ) σ Dc ρ−ξ k00, ξ > 0.( )1σ,ξ ≤ 0,(11)Из формул (6) и (11) получим:1σu t σ1 1 − x u( x, t ) =  0  Dt 0,, 0 ≤ x ≤ Dt ,x > Dt.(12)где1σ2c ρ Dσu0 = k0 .Функция (12) не имеет всюду непрерывных производных, входящих вуравнение (1).3Тепловой поток является непрерывной функцией:1/σ=u u0t1/σ∂u=∂t=u0σ1σ1tσx −1D ⋅t 1u0 t σ−1x1 −Dt x σ−1Dt ∂u 1u0 t σ=∂x σ11σ1−10 ≤ x ≤ Dt ,,−11+ u0 t σ1x1 −σ Dt 1σ−1x=Dt 21xx  u0 σ1 −1 x σtt−+=−11DtDt 2  σDt 1x σ−1Dt −11u0 σ −1 x σ 1 t−=−−1Dt σD Dt 11u0 σ1 −1  1x σ∂ 2ut=−−−11Dt ∂x 2σDσ−2−1−11u0 σ1 − 2  1x σ1 t−=−−112Dt  Dt  σ Dσ1x  u0 σ1 −1 x σ∂uσ ∂uσ W =k 0 u0 t  1 −t− k (u )=− k0 u=−1Dt  σ DDt ∂x∂xk0u0σ +1 σ1tσDσ = 1:∂u= u0∂t∂u∂t−1=1x σ−1Dt u2;1−20t 1=−σ=2:0 ≤ x ≤ Dt,u∂u= − 0∂xDx Dt −12;ux ∂u=− 0 t 1 −∂x2 D  Dt 1−2−−2124∂ u=2∂x2u0t2D3−2x  1 −−1Dt  2 −32x x=−1) σ= 1: u ( x, t=) u0 t  1 −ut 0, 0 ≤ x ≤ D ⋅t D ⋅t  Du∂u∂u=− 0 =const , 0 ≤ x ≤ D ⋅ t ;=0, x > D ⋅ t∂xD∂x∂u∂u= u0 = const , 0 ≤ x ≤ D ⋅ t ;= 0, x > D ⋅ t∂t∂tНа прямой x= D ⋅ t первые производные функции u ( x, t ) имеют разрывпервого рода.1/22) σ= 2 : u ( x, t=) u0 t∂u u0=∂x 2∂u u0=∂t21/21/2x x1 − = u0  t −  , 0 ≤ x ≤ D ⋅ t , D ⋅t  D∂u 1−≤x≤D⋅t= 0, x > D ⋅ t,0;∂xx  Dt−D1∂u, 0 ≤ x ≤ D ⋅t ; =∂txt−D10, x > D ⋅ tНа прямой x= D ⋅ t первые производные функции u ( x, t ) имеют разрыввторого рода. σ +1 1 k 0 u0 t σ3) W ( x, t ) =  σ D0,1x −1 ,Dtσ0 ≤ x ≤ Dt ,(13)x > Dt.Тепловой поток W(x,t) непрерывен при x=Dt.5Рассмотрим задачу (14)-(15): ∂u ∂  σ ∂u = ∂t ∂x  k0u ∂x  , x > 0, t > 0, (14)x, 0) 0, x ≥ 0(15) u (=u (0, t=) u0t m , t ≥ 0, m > 0(16)Автомодельное решение вида (17):ξx, u ( x, t ) u0t mθ (ξ )=1 σ (1+ mσ )k02 u02 t 2ut k0u σ u xx + k0σ u σ −1 ( u x )=(17)2m′=u x u=u xx u0t mθ ′′ (ξ x )0t θ ξ x ,2=так как ξ xx 0=ξ1 + mσxx1 + mσ1 + mσ ξ− 1/ 2 σ / 2 2(3+ mσ )/ 2 =− 1/ 2 σ / 2 (1+ mσ )/ 2=−ξt =k 0 u0 tk 0 u0 tt2t21k 0 u0 t0.ξx =− 1/ 2 σ / 2 (1+ mσ )/ 2 ; ξ xx =u0 mtk0u0σ t mσ θ σ u0t mθ ′′ k0σ u0σ −1t m (σ −1)θ σ −1u02t 2 m (θ ′) 21 + mσ m −1θ − u0ξt θ ′ =+=2k0u0σ t mσ +1k0u0σ t mσ +1m −1= θ σ u0t m −1θ ′′ + u0σ t m −1θ σ −1 (θ ′) 2 ⇒ mθ −1 + mσξθ ′ = θ σ θ ′′ + σθ σ −1 (θ ′) 2 ⇒26⇒ θ σ θ ′′ + σθ σ −1 (θ ′) 2 +1 + mσξθ ′ − mθ =02Для искомой функции получаем задачу:(θ σ θ ′)′ + (1 + mσ )ξθ ′ − mθ = 0, ξ > 0,(18)(0) 1,θ=(19)12(∞) 0.θ=Непрерывность теплового потока.Режимы с обострениемЗадача Коши для одномерного уравнения теплопроводности:β 2 =ut k0  u ux  + q0u , −∞ < x < ∞, 0 < t ≤ T ,u=( x,0)xu0 ( x ) , −∞ < x < ∞.(1)(2)Преобразование переменных:kt→ t , x→x 0q0q0(3)Уравнение (1) в безразмерном виде:=ut  u 2ux  + u βx(4)Частный случай уравнения (4):xut =  u 2ux (5)Точное автомодельное решение вида21x=u( x, t ) 1/4=θ (ξ ), ξ,tt(6)7=ut (u 2u=u 2u xx + 2(u x ) 2 ux )x1 11x2 ut =θ (ξ ) + 1/ 4 θ ′  − 3/ 2 −4 t 5/ 4t 2t 12x1214x2− 1/ 4 θ ′ 1/ 2 ; u xx =ux =θ ′ 1/ 2 + 1/ 4 θ ′′ttt 1/ 4ttt21 11 2 121 2 14x21x2θ2 4x′′′′′2()θθθθθθ− 5/4 θ − =++⇒4t2t 7/4t1/2 t1/4 t1/2 t1/2 t1/4tt1/2t t1/42θ1x24 x2 222 4x− θ − 1/ 2 θ ′= 2θ θ ′ + 1/ 2 θ θ ′′ + 2(θ ′) 1/ 4 1/ 442ttt tξ1x24x2 2x22− 1/2 θ ′ − 1/2 θ θ ′′ − 8(θ ′) θ 1/2 =− θ ′ − 4ξθ 2θ ′′ − 8(θ ′) 2 θξ2θ θ ′ + θ =42ttt2214ψ =2θ 2θ ′ + θ⇒;ξ2ξψ ′ =4ξθ 2θ ′′ + 8ξθ (θ ′) 2 + θ ′2⇒−2ξψ ′ ⇒ 2ξψ ′(ξ ) +ψ (ξ ) =0ψ=Таким образом из формул (5) и (6) получаем:ψ (ξ ),2θ 2 (ξ )θ ′(ξ ) + 1 θ (ξ ) =4где2ξψ ′(ξ ) +ψ (ξ ) =0.8Пустьвсредесоответствующий β =3:имеетсяисточниктепловой=ut (u 2ux ) x + u 3энергии,(8)Автомодельное решение (8) ищется в виде:u==ut1θ ( x)T0 − t1=θ ( x), u x2(T0 − t )3/ 2(9)θ′=, u xxT0 − tθ ′′T0 − tut = u 2u xx + 2u (u x ) 2 + u 3 ⇒θ2(T0 − t )3/ 2=θ 2θ ′′(T0 − t )3/ 22θ (θ ′) 2θ3++(T0 − t )3/ 2 (T0 − t )3/ 21θ = θ 2θ ′′ + 2θ (θ ′) 2 + θ 32⇒θ ≠0⇒⇒Для функции θ (ξ ) получается уравнение (10):12θ ( x)θ ′′( x) + 2(θ ′( x)) 2 + θ 2 ( x) =(10)9Пусть в среде имеетсясоответствующий β =2:источниктепловойэнергии,=ut (u 2ux ) x + u 2(12)Ищем решение в виде:u=1θ (ξ ),=ξ x T0 − tT0 − t(13)ut =u 2u xx + 2u (u x ) 2 + u 2=ux1′ T0 − tθ=T0 − tu xx = θ ′′=utθ′T0 − t1 θ−xθ′2(T0 − t )2(T0 − t )3/21xθ ′′θ 2θ (θ ′) 2θ2+2+θ−θ′ =(T0 − t ) 22(T0 − t )3/2(T0 − t ) 2T0 − t T0 − t (T0 − t ) 2⇒ξξ20.θ − θ=′ θ ′′θ 2 + 2θ (θ ′) 2 + θ 2 ⇒ (θ 2θ ′)′ + θ ′ − θ + θ=22= (θ 2θ ′)′= (θ 2θ ′)′Для функции θ (х) получается уравнение:θ 2θ ′ + ξ θ −θ′′2+θ 2 =0(14)10Пусть в среде имеется источник тепловой энергии, соответствующийβ = 4:=ut (u 2u x ) x + u 4(16)Ищем решение в виде:u=1=θ (ξ ), ξ3 T −t0x6T0 − t(17)ut =u 2u xx + 2u (u x ) 2 + u 4=utux11x′+()()θξθξ3(T0 − t ) 4/3(T0 − t )1/36(T0 − t )7/6θ ′(ξ )11′=θ(ξ)(T0 − t )1/3(T0 − t )1/6 (T0 − t )1/2uxx = θ ′′(ξ )2/3(T0 − t )111x+θθ′ =3(T0 − t ) 4/3(T0 − t ) 4/3 6 (T0 − t )1/ 6=1θ ′′(ξ )θ(θ ′) 2θ42+2+⇒θ(T0 − t ) 2/3(T0 − t ) 2/3(T0 − t )1/3 T0 − t (T0 − t ) 4/311θ + ξθ ′= θ 2θ ′′ + 2θ (θ ′) 2 + θ 436= (θ 2θ ′)′= (θ 2θ ′)′11⇒ (θ 2θ ′)′ − ξθ ′ − θ + θ 4 = 0.63Для функции θ (ξ ) получается уравнение:11(θ 2θ ′)′ − ξθ ′ − θ + =θ 4 0,63−∞ <ξ < ∞(18)11.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций