Материалы к лекции 8. Нелинейные волны (1133462)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава III. Математическое моделирование нелинейных объектов ипроцессов§2 Математические модели теории нелинейных волнОбобщенное решение. Условие на разрывеФормула интегрирования по частям:∧∂uuvxndsvcos(,)−k∫Γ∫D ∂xk dx∂vu=∫D ∂xk dxГде D ∈ R m - область с гладкой (или хотя бы кусочно-гладкой границей) Г,∧x = ( x1 , , xn ), ( xk , n) - угол между осью 0xk и внешней нормалью к поверхностиГ. Формула справедлива для функций u, v ∈ C (1) ( D ) .Так как suppψ ⊂ П x ,t , то интеграл в подстановке берется только покривой S. Имеем:∫ {ut+ uu x }ψ dxdt = 0 при l = 1, 2П(l )xt1 2{uψ+∫(1) t 2 u ψ x }dxdt =Пxt(u − ) 2}ds − ∫ {ut + uu x }ψ dxdt= ∫ {ψ cos(n t )u +ψ cos(n x)2=0SП (1)∧−∧xt11 2{uψ+∫( 2) t 2 u ψ x }dxdt =Пxt(u + ) 2}ds − ∫ {ut + uu x }ψ dxdt=− ∫ {ψ cos(n t )u +ψ cos(n x)2=0SП(2)∧+∧xtСложим эти уравнения:∫ {utП xt+ uu x }ψ dxdt ==0 u 2  ∧∧=∫S ψ cos(n t )[u ] + cos(n x)  2   ds =0u2 ∀ψ ,suppψ ∈ П xt ⇒ cos(n t )[u ] + cos(n x)  2∧∧− s(t ); cos(n ∧ x)=1 + s2 (t )cos(n ∧ t )=S=0 (15)11 + s (t )2(16)u2 (15), (16) ⇒ − s(t )[u ] +   = 0 ⇒2(u + ) 2 − (u − ) 2s(t =)(u − u )2+−s(t ) =u+ + u−2⇒(17)2Солитонные решенияРассмотрим задачу Коши (25):u − 6uux + uxxx= tu ( x,0) = u0 ( x).0, −∞ < x < ∞, t > 0,(25)гдеu0 ( x) = − 22ch x(29)Линейное интегральное уравнение Гельфанда-Левитана:∞K ( x, y;t ) + B( x + y;t ) + ∫ D( y + z;t ) K ( x, z;t )dz =0 (23)xЯдро уравнения Гельфанда-Левитана:∞1− χm x2=B( x, t )Cm (t )e+b(k , t )eikt dk2π −∞=m 1n∑∫(22)Данные рассеяния для задачи (25), (29):существует только одно собственное значение λ1 =−1 =− χ12 ,С1(t ) = 2e 4t , b(k ,0) =0 ⇒ b( k , t ) =b(k ,0)ei8k t =0.3Ядро уравнения Гельфанда-Левитана имеет видB( x, t ) = 2e8t − x(31)3Уравнение Гельфанда-Левитана с ядром (31)8t − x − yK ( x, y; t ) + 2e8t − y+ 2e∞∫x K ( x, z; t )e−z0 (32)dz =Ищем решение в видеK ( x, y; t ) = L( x; t )e− y ⇒L( x; t )e−y+ 2e8t − x − y+ 2e e8t−y(33)∞−2 z(;)0Lxtedz =⇒∫xL( x; t ) + 2e8t − x∞+ 2e L( x; t ) ∫ e −2 z dz =08tx 1 −2 z ∞ 0L( x; t ) + 2e + 2e L( x; t )  − e=x 2−2 xeL( x; t ) + 2e8t − x + 2e8t L( x; t )=028t − x8tL( x; t ) + 2e8t − x + e8t − 2 x L( x; t ) =0(1 + e8t − 2 x ) L( x; t ) =−2e8t − x2e 8 t − x e 2 x − 8 t2e xL( x; t ) =−=− 2 x −8 te1 + e8 t − 2 x e 2 x −8 t+12e xL( x; t ) = −1 + e 2 x −8 t(34)Отсюда4K ( x, y; t ) = L ( x, t ) e−y2e x − y= −1 + e 2 x −8 t(35)и по формуле (24) получаем решение задачи Коши (25), (29):d−2 K ( x, x; t ) ⇒u ( x, t ) =dx2d u ( x, t ) =−2  −dx  1 + e 2 x −8t1d 4=dx  1 + e 2 x −8te 2 x −8 t 2−4==2 x −8 t 2(1 + e )2e 2( x − 4t )(36)=−2=−2( x − 4t ) 2− ( x − 4t )ch ( x − 4t )+e2( x − 4 t )  ee2Решение (36) является частными случаем более общего решения уравненияКортевега- де Фриза1u ( x, t ) = − α 221α3 21ch  α ( x − x0 ) − t 2 2.(37)Оно соответствует значениям параметров=α 2=; x0 05.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций