Лекция 13 (1133453)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Глава 5. Некоторые объекты иметоды математическогомоделирования1. Фракталы и фрактальные структурыФРАКТАЛ –это геометрическая фигура, в которой один и тот жефрагмент повторяется при каждом уменьшениимасштабаНа спинках блох блошата есть,Кусают блох они там,Блошонков у блошат не счесть,И так indefinite…Даниель Дефо6. Эстетика фракталов4В прошлом математики основное вниманиеуделяли функциям и множествам, которые могутбыть исследованы методами классическогоанализа.Тефункции,которыенеявлялисьдостаточно гладкими или регулярными, какправило, не исследовались как не достойныевнимания патологические объекты.Однако еще в конце девятнадцатого векабылипостроеныматематическиеобъекты,которые вызвали значительный интерес уматематиков.Георг КанторКанторово множество естьодин из простейшихфракталов, подмножествоединичного отрезкавещественной прямой,которое являетсяклассическим примером«плохого множества» вматематическом анализе.6Георг Кантор описал это множество, котороетеперь называют множество Кантора или пыльКантора, в 1883 году.

Это множество имеетмощность континуума, но мера его равна нулю.Каждый из фрагментов множества Канторавыглядит как множество в целом, то есть оноявляется самоподобным.В 1886 году Карл Вейерштрасс построилфункцию, не имевшую производной ни в однойточке. График этой функции – бесконечноизломанная линия. При увеличении любой участоккривой выглядит подобно всей кривой.В 1904 году Хелге фон Кох построил примернепрерывной кривой, которая нигде не имееткасательной. Можно построить снежинку илиостров Коха, если в качестве начального объектавзятьравностороннийтреугольник,анеединичный отрезок. Снежинка или остров Кохабудут иметь бесконечный периметр, но при этомбудут ограничивать конечную область.Кривая Коха — фрактальнаякривая описанная шведскимматематиком Хельге фонКохом(1870-1924). Кривая Кохапримечательна тем, что нигде неимеет касательной, т.

е. нигде недифференцируема, хотя всюдунепрерывна.Хельге фон КохТри копии кривой Коха,расположенные на сторонахправильного треугольника,образуют замкнутую кривую,называемую снежинкой Коха.9eclectasy.com10В 1915 году Вацлав Серпинский построилряд конструкций, в частности, салфеткуСерпинского и ковер Серпинского. Можнопостроить трехмерные аналоги этих объектов.Их называют губками.12Ковер Серпинского. Берётсясплошной квадрат, разрезаетсяна 9 равных квадратов иудаляется внутренностьцентрального квадрата.

Навтором шаге удаляется 8центральных квадратов из 8оставшихся квадратов и т. д.После бесконечного повторенияэтой процедуры, от сплошногоквадрата остается замкнутоеподмножество — ковер(квадрат) Серпинского.13Губка МенгераГубка Менгера — геометрический фрактал, трёхмерный аналог ковраСерпинского.14Рассмотренныеобъектыназываютконструктивными фракталами. Они получаютсяв результате простой рекурсивной процедуры(комбинациилинейныхпреобразований).Именно изучение таких объектов составляетосновное содержание фрактальной геометрии.Своейпопулярностьювпоследниедесятилетия фракталы в значительной степениобязаны появлением в 1983 году книгисотрудника исследовательского центра имениТомаса Дж.

Уотсона корпорации IBM франкоамериканскогоматематикаБенуаМальденброта«Фрактальнаягеометрияприроды». Мальденброт ввел в 1975 годутермин «фрактал» от латинского слова fractus– изломанный, дробный.Бенуа Мандельброт (фр.BenoîtMandelbrot)математик, родился 20 ноября1924 в Польше. С 1958проживал в США.Является основателемфрактальной геометрии.В его работах использованы результаты других учёных,работавших в той же области (Пуанкаре, Жюлиа,Кантор, Хаусдорф).16Большой интерес к фракталам, как ивообщекнерегулярнымфункциямимножествам объясняется прежде всего тем, чтоонигораздолучшеобеспечиваютпредставление многих природных явленийнежели объекты классической геометрии. Вэтомпланеинтересносравнитьдвавысказывания, которые разделяет в 350 лет.«Философия природы написана в величайшей книге – яразумею Вселенную… А написана эта книга на языке математики,и письмена ее – треугольники, окружности и другиегеометрические фигуры».Галилео Галилей, 1623 год.«Почему геометрию называют холодной исухой? Одна из причин заключается в еенеспособности описать форму облака, горы,дерева или берега моря.

Облака – это не сферы,горы – это не конусы, линия берега – это неокружности, и кора не является гладкой, и молнияне распространяется по прямой… Природадемонстрирует нам не просто более высокуюстепень, а совсем другой уровень сложности.Число различных масштабов длин в структурахвсегда бесконечно».Бенуа Мандельброт, 1973 год.Фрагмент множества Мандельброта, лежащий в районе его границы19Широчайшее распространение фрактальных структуробъясняется их разномасштабностью: и большие, и малыемасштабы фрактальных структур имеют одинаковый законроста.

Это геометрическое подобие и есть основнойпринцип роста всего живого, который называют такжеиерархическим принципом организации. Законы ветвлениясамой тонкой веточки дерева абсолютно те же, что и длявсех его ветвей, и для всего живого в целом.Задать фрактальную структуру-это значить задать незастывшую, неизменную форму , а принцип роста, законизменения формы.Как правило, алгоритмы построения формы гораздопроще, чем полученная с его помощью форма. Фракталдаёт компактный описания самых замысловатых форм.Фракталыподразделяютсянаконструктивные и динамические. Конструктивныйфрактал – это геометрическая фигура, в которойодин и тот же фрагмент повторяется при каждомуменьшении масштаба. Они строятся путемприменения простой рекурсивной процедуры(комбинациилинейныхпреобразований).Конструктивный фрактал – это множество,получающеесяврезультателинейных(аффинных) сжимающих отображений подобия.Результирующеесжимающееотображениеобладает устойчивой неподвижной точкой –«фракталом».

Задать фрактальную структуру –значит задать не застывшую, неизменную форму,а принцип роста, закон изменения формы.Динамические фракталы, как правило задаются с помощьюнекоторого отображения. Одним из первых описал динамическиефракталы в 1918 году французские математики Гастон Жюлиа иПьер Фату. Если в отображенииzn +=z +C12nна комплексной плоскости фиксировать значение постоянной С , тов зависимости от выбора начального приближения пределомпоследовательности будут либо ноль, который являетсяаттрактором, (зоной влияния, множеством притяжения), либобесконечность (также аттрактор).Граница, разделяющая области притяжения этих двухаттракторов бесконечно изрезана и является фракталом множеством Жюлиа.Одной из характерных особенностей такойлинии является самоподобие: если взглянуть налюбой ее поворот, то можно обнаружить, чтоодна и та же форма встречается в различныхместах и имеет разные размеры.Жюлиа и Фату установили, что этуграницу, являющуюся множеством Жюлиа,можно восстановить по любой произвольной еечасти.

Заметим, что аттрактор, граница которогоявляется фракталом, называется странныматтрактором.2425Во второй половине ХХ века приизмерениидлиныбереговойлинииВеликобританиианглийскийфизикиметеоролог Льюис Ричардсонзаменилистинную береговую линию ломаной, состоящейиз отрезков, длины которых затем устремлялиськ нулю. Однако береговая линия, в отличие отлиний, описываемых гладкими функциями,оказалась настолько изрезанной вплоть досамыхмалыхмасштабовкарты,чтосуменьшением длины звеньев длина всей линиине стремилась к конечному пределу, астановилась бесконечно большой.Основнымсвойствомфракталаявляетсясамоподобие,илимасштабнаяинвариантность,афундаментальнойхарактеристикойегоявляетсяфрактальная размерность или размерность самоподобия.Рассмотрим единичный отрезок, единичный квадрат иединичный куб:Единичный отрезок , N частей длины=1⇒ 1 = NNЕдиничный квадрат, N квадратов со стороной  =Единичный куб, N кубов со сторонойво всех этих случаях получаем N dразмерность самоподобия:=1nNd =−n =13N1N⇒ 1 = N 2 .⇒ 1 = N 3где d –Чтобы построить множество Кантора нужно взятьдвамножества длины 1 ⇒301/31/92/912/3 = 1, N = 111 = = 1 , N = 2 = 213 37/98/9=11= 2 , N = 4 = 229 3=1nN2,=3nln 2=d≈ 0, 6309ln 3Для кривой Коха требуется четыре отрезка длиной1⇒3n 4 n 4−=≈ 1, 2618d=n 2n 12Еще не фигура но уже не отрезок.Одна салфетка Серпинского состоит из трехсалфеток с размером стороны 1 ⇒2n 3n 3−=≈ 1,5850d=n 2n 12Уже не фигура но еще не отрезок.Регулярные фракталы: на каждом этапемасштабирования в точности повторяют объектв целом.Нерегулярные фракталы: на каждом уровнемасштаба структура фрактала подобна, но неидентична объекту в целом.Природные фракталы: деревья, реки, облака,береговая линия.Человеческий организм: структура дыхательной,кровеносной и нервной системы, губчатаяструктура костей, нейроны (нервные клетки),фронтальные ответвления и складкиповерхности кишечника.Фрактальные кластеры: комплексные соединения,в основе молекулярной структуры которых лежитобъемная ячейка из непосредственно связанныхмежду собой атомов.Образуются при:а) ассоциации твердых аэрозолей в газе при ихдиффузном движении;б) электролизе;в) кристаллизация жидкости на подложке;г) вытеснение жидкостью с меньшей плотностьюжидкости с большей вязкостью (вода вытесняетнефть: «жидкие пальцы»);д) течение в пористых средах.Дендриты(древоподобныефракталы):кристаллы, молния, трещины, разломы.Одна из широко используемых моделей -модельОДА - ограниченная диффузией агрегация:случайное движение молекул, которые могутслипаться, образуя кластер.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций