Лекция 8 (1133448)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2. Математические модели теориинелинейных волн1. Метод характеристикРассмотрим уравнение колебания на бесконечной прямой=utt a u xx , − ∞ < x < ∞ , t > 02решение которого имеет вид:(1)u ( x, t ) = f1 ( x − at ) + f 2 ( x + at ),(2)и рассмотрим два уравнения в частных производных первогопорядка, решения которых имеют вид (3) и (4):ut(1) + au x(1) = 0 , u (1) ( x, t ) = f1 ( x − at )(3)ut(2) − au x(2) = 0 , u (2) ( x, t ) = f 2 ( x + at ) (4)Уравнения (3) и (4) называются линейными уравнениями переноса.Их решения (функции f1 ( x − at ) и f 2 ( x + at ) ) переносят начальныепрофили f1 ( x ) и f 2 ( x ) вдоль осис постоянной скоростью a вположительном и отрицательном направлениях.Если решение уравнений переноса является дважды непрерывнодифференцируемойфункциейсвоегоаргумента,тооноудовлетворяет и уравнению колебаний (1).При распространении волны не происходит искажения ее профиляпо времени, то есть отсутствует эффект дисперсии волны.

Этосвязано с постоянством скорости распространения волны, котороеопределяется постоянством параметров среды.Однако во многих физических задачах приходится учитыватьизменение свойств среды под действием распространяющихся в нейволн, что приводит к зависимости скорости распространения волн отрешения. В этом случае необходимо рассматривать квазилинейноеуравнение переноса:xut + F ( u ) u x =0.(5)Рассмотрим задачу Коши на бесконечной прямой0 , − ∞ < x < ∞ , t > 0,=ut + uux( x, 0) u0 ( x), − ∞ < x < ∞ ,u=Решение ищем в видеТогдаи получаем(6)(7)u ( x=, t ) f ( x − u ( x, t )t ).u x= (1 − u x t ) f ′(ξ ) ,ut = (−u − ut t ) f ′(ξ )ξ= x − ut.−t (ut + uu x ) f ′(ξ ) =0,где f (ξ ) - любая дифференцируемая функция.Решение задачи (6), (7) определяется из неявного уравненияu ( x=, t ) u0 ( x − u ( x, t )t )(8)Рассмотрим на плоскости (x,t) кривую, определяемую уравнением (9) –характеристику уравнения (6):dtdxdx=⇒ = u ( x, t )1 u ( x, t )dt(9)Если x = x(t ) - решение уравнения (9), тоddx=u ( x(t ), t ) =ut + u xut + u u xdtdtx = x (t )=0и u ( x(t ), t ) является константой на кривой x = x(t ) и, следовательно,=x x(t ) − прямая линия на плоскости ( x, t ) с наклономu=( x(t ), t ) u=( x(0), 0) u0 ( x(0)),определяемым начальной функцией u0(ξ) , ξ=x(0).Уравнение для этой прямой имеет вид:t x −ξ=1 u0 (ξ )⇒ξ + u0 ( ξ ) ⋅ tx=Мы получили однопараметрическое семейство прямых,зависящих от параметра ξ , на которых решение u(x,t)уравнения (6) оказывается постоянным.

Это позволяет поначальной функции u0(ξ) определить функцию u(x,t) в любоймомент времени t. Покажем, как это можно сделатьпрактически.Выберем точкуξ k ∈ [ a, b ]и построимсоответствующую ейхарактеристику Гξк :=t1u0 ( ξ k )x−ξku0 ( ξ k )с углом наклонаtgϕ = 1 u0 (ξ k ).Всюду на характеристикеuΓξ = u0 (ξ k ).kТочка (xk ,t1) – точкапересечения прямой t=t1c характеристикой Гξк.Скорость переноса начального значения u0 (ξ k ) вдольхарактеристики Γ зависит от решения, профиль u0(x)ξkискажается – дисперсия бегущей волны.

Приt ≥ tpхарактеристики пересекаются, профиль неоднозначный –опрокидывание волн.Причина явления опрокидывания волны заключаетсяв том, что, согласно формуле (8)u ( x, t ) =u0 ( x − u ( x, t ) ⋅ t )(8)чем выше амплитуда точки, тем с большей скоростьюволна распространяется. Поэтому точки вершины волныобгоняют в своем движении точки ее подошвы.Замечание. Возникновение неоднозначного профилярешения достаточно часто оказывается противоречащимсути физической модели, описываемой уравнением (6)ut + uu x =0,(6)согласно которой функция u(x,t) является однозначнойфункцией.Например, при рассмотрении волн в сплошных средах водной точке физические параметры не могут иметьразличные значения.Для того.

чтобы исключить неоднозначные решениянеобходимо расширить понятие решения уравнения (6)ut + uu x =0(6)и вместо непрерывно дифференцируемых решениярассматривать разрывные.При этом нужно придать новый смысл выражению«функция u ( x, t ) удовлетворяет уравнению (6)».Естественнымявляетсявведениеобобщенныхрешений так, как они вводятся в теории обобщенныхфункций.2. Обобщенное решение . Условие на разрывеОпределение. Функция u(x,t) удовлетворяет уравнению (6)в обобщенном смысле, если для любого прямоугольника=Π xt{( x, t ) : x1 < x < x2 , 0 < t1 < t < t2 }и любой бесконечно дифференцированной и финитной вΠ xt функции ψ ( x, t ) справедливо интегральной тождество:1 2 (10)+=0.uψuψdxdt∫Π  t 2 x xt(1)u∈CЗамечание.

Если,то обобщенноерешение(10) удовлетворяет уравнению (6) в обычном смысле:проинтегрируем (10) по частям(11)u+uuψdxdt=0.{}∫ t xΠ xtВ силу произвольностиΠ xt и ψиз (11) получим (6).Замечание. Для получения формулы (10) запишемуравнение (6) в следующем виде: u2 ut + uu x =ut +   =0. 2 xψУмножим это уравнение на функцию ψ ипроинтегрируем по прямоугольнику Π x,t по частям,учитывая финитность функции ψ : u 2  1 2 0.ut +    ψ dxdt =uψ t + u ψ x  dxdt =∫∫2 2  x Π x ,t Π x ,t Пусть u(x,t) – разрывное решение, имеющее единственныйразрыв на кривой=SПусть u ( x, t ) ∈ C(1)( x, t ) : x{=s (t )} ..при ( x, t ) ∈ Π (x,t) ,  =1, 2SФункция u(x,t) в областях Π (x,t) ,  =1, 2 удовлетворяетуравнению (6) в классическом смысле..Проинтегрируем (10) по частям в области Π (1):x ,t∫2u12uψ+{ t ( ) ψ x } dxdt =Π (1)xt=∫Sи в области Π∫{∧(12)}∧ψ cos(nt )u + (1 2 )ψ cos(nx)(u − ) 2 ds−(2)x ,t :2uψ+u12{ t ( ) ψ x } dxdt =Π (xt2 ){∧∧}(13)=− ∫ ψ cos(nt )u + (1 2 )ψ cos(nx)(u + ) 2 ds,S{}+∧∧где n = cos(nx), cos(nt ) , u + , u − - предельные значения u(x,t) на кривойS при стремлении к ней справа и слева.Замечание.

При получении формул (12) и (13) былаиспользована формула интегрирования по частям:∂ν=∫D u ∂xk dx∂u∫Г uν cos ϕk ds − ∫Dν ∂xk dx,где D ∈ R - область с гладкой (или хотя бы кусочногладкой =границей) Г, x ( x1 , x2 ,..., xm ) , ϕ k − угол междуосью Oxk и внешней нормалью к поверхности Г.(1)Формула справедлива для функций u , ν ∈ CDm( ).Сложим (12) и (13):∧∧u2 (14)0,∫S ψ cos(nt ) [u ] + cos(nx)  2  ds =где[u=]u + − u − .

В силу произвольности ψ ( x, y ) из (14) =>u2 (15)cos(nt ) [u ] + cos(nx)   =0. 2 S∧∧Так как∧cos(nt )то (15), (16) =>∧− s(t ), cos(nx)=21 + s (t )11 + s (t )2,(16)u+ + u−s(t ) =,2(17)где V p = s(t ) - скорость распространения разрыва.Формула (17) называется формулой Гюгонио – Ренкина илиформулой условий на разрыве.Формула(17)позволяетопределитьраспространения разрыва по значениямu±ответа на вопрос о положении разрыва x=s(t).скорость, но не даетУравнение (6), записанное в виде2∂∂ u u+  =0∂t∂x  2 ⇒одномерного уравнения неразрывности или или законасохранения. Интегрируя по х, получим:+∞d, Iudx 0==∫dt −∞+∞+∞, t )dx ∫ u ( x)dx,∫ u ( x=0−∞−∞предполагая, что u → 0 при x → ±∞ .ПлощадьIпод кривойu=u(x,t)оказываетсяинвариантной во времени, то есть является интеграломдвижения.Основная идея при проведении разрыва состоит в том,чтобы при построении разрыва сохранить этот итегралдвижения для разрывного решения.Разрыв x = s ( t ) нужно провести так, чтобы интегралI ( u ) , отвечающий разрывному решению, былравен интегралу I ( u0 ) для начальной функции.Разрыв x = s ( t ) проводится таким образом, чтобыплощади S1 изаштрихованных на рисунке областей2совпадали.В результате из непрерывного неоднозначного решенияполучается разрывное, но уже однозначное решение,являющееся обобщенным решением уравнения (6).Условие на разрыве (17)выполняетсяприэтомавтоматически.sРазрыв x=s(t) нужно построить так, чтобы I(u), отвечающийразрывному решению, был равен I(u0) для начальнойфункции u0 .3.

Уравнение Кортевега – де Фриза и законысохраненияФункциядлинныхη ( x, t ), описывающая процесс распространенияволннаповерхностиводы,приближенноудовлетворяет уравнениюh023 0,ηt + c0 1 +η η x + c0η xxx =6 2h0 где h0 - глубина жидкости, c0 =воде.(18а)gh0 - скорость длинных волн на мелкойУравнение (18а) называется уравнением Кортевега - деФриза.Из (18а) с помощью линейной замены переменных получим:(18б)u − 6uu + u =0,txxxx(18б) – канонический вид уравнениея Кортевега - де Фриза.Уравнение (18б) обладает бесконечным числом интеграловдвижения (законов сохранения):=I0+∞+∞−∞−∞u ( x, t )dx, I 2∫=2u∫ ( x, t )dx,и т.д.

Это означает, что данное уравнение обладает глубокойвнутренней симметрией, которая выделяет его среди другихнелинейных уравнений и позволяет построить чрезвычайноизящный метод построения точного решения, основанный наобратной задаче рассеяния для одномерного стационарногоуравнения Шредингера.4. Схема метода обратной задачи1) Прямая и обратная задачи рассеянияОпределение. Функция f(x,t) называется быстроубывающей,если+∞(19)max 1 + x f ( x, t ) dx < ∞.0 ≤t ≤TСуравнением∫()−∞Кортевега–деФризатесносвязаностационарное уравнение Шредингера (20):ψ xx + (λ − u ( x, t ))ψ =0с потенциалом u(x,t), зависящим от t как от параметра.(20)Рассмотрим для уравнения (20) две задачи:а) Нахождение квантовомеханических уровней энергиисвязанных состояний.Найти такие значения λ , при которых уравнение (20) имеет1нетривиальные решения  ( x, t )  L2 (  ) .

Здесь  ( x, t ) -нормированные на единицу волновые функции.Эта задача имеет решение только при λПри< 0.x → ∞ решения имеют асимптотику:m ( x, t )  Cm (t )eæm x ,где ψ m ( x, t ) - собственная функция, нормированная на 1,собственное значение,Cm (t )  lim m ( x, t )exæ mxλm =−æ 2 −m(21)б) Задача рассеяния плоской волны единичной амплитуды напотенциале u(x,t).Найти при λ ≥ 0 ограниченные решения уравнения (20) с заданнымхарактером асимптотического поведения при x→±∞ (временнаязависимость e − iωt волна движется справа налево): ( x, t )  eikx  b(k , t )eikx , x  , ( x, t )  a (k , t )eikx , x  ,где k 2 = λ , а подлежащие определению функции a (k , t ) и b(k , t ) коэффициенты прохождения и отражения, причем22a (k , t )  b(k , t )  1.Совокупность решений задач а) и б) {æ m , Cm } , {a(k , t ), b(k , t )}называются данными рассеяния.Прямая задача рассеяния: определение для заданногопотенциала данных рассеяния.Обратная задача рассеяния: определение по заданнымданным рассеяния соответствующего потенциала.Данных рассеяния достаточно для однозначного определенияпотенциала.Схема решения обратной задачи рассеяния.а) По данным рассеяния строится функция B(x;t)– ядро уравнения Гельфанда – Левитана:nB( x; t )   C (t )e2mm1æ m x1ikx(,)bktedk2 (22)б) Ищется решение линейного интегрального уравненияГельфанда – Левитана:K ( x, y; t )  B( x  y; t )   B( y  z; t ) K ( x, z; t )dz  0 (23)xв) Решив уравнение (23) и найдя K(x,y;t), по формуле (24)du ( x, t )  2 K ( x, x; t )dx(24)определяем функцию u(x,t), которая и является искомымпотенциалом, то есть решением обратной задачи рассеяния.2) Решение задачи КошиРассмотрим задачу Коши:ut  6uu x  u xxx  0,   x  , t  0,(25)u ( x, 0)  u0 ( x)Решениеu(x,t)задачиКоши(25)назовёмбыстроубывающим, если функция u(x,t) и все еёпроизводные по x до третьего порядка являютсябыстроубывающими функциями.Теорема1Если потенциал u(x,t) в (20) является быстроубывающимрешением уравнения Кортевега – де Фриза, то собственныезначения λm = −æ 2 не зависят от времени t.mТеорема 2Если потенциал u(x,t) в (20) является быстроубывающимрешением уравнения Кортевега – де Фриза, то данныерассеяния Cm (t ), b(k , t ) и a(k , t ) зависят от времениследующим образом:Cm (t ) = Cm (0) exp (4 æ 3m t ) , æ 2m = −λm ,b (k , t )= b (k ,0) exp (i 8 k 3 t ) , k 2= λ > 0 ,a (k , t ) = a (k ,0)(26)Зная данные рассеяния для u0 ( x) ≡ u ( x, 0) , можно по формулам(26) найти данные рассеяния для u(x,t) и затем, построив ирешив уравнение Гельфанда – Левитана, определитьфункцию u(x,t).Схема построения быстроубывающих решений задачи Коши:а) Рассматриваем стационарное уравнение Шредингера спотенциалом u0(x):ψ xx + (λ − u0 ( x))ψ =0(27)и определяем данные рассеяния {æ m , Cm (0)} и {a(k , 0), b(k , 0)} .б) По формулам (26) определяем Cm (t ) и b(k , t ) и строим ядроуравнения Гельфанда - Левитана (23):+∞n13B( x; t ) ∑ Cm2 (0) exp(8æ3mt − æ m x) +b(k,0)exp(i8kt + ikx)dk∫2π −∞m =1(28)в) Решив уравнение Гельфанда – Левитана (23) с ядром (28),по формуле (24) определяем решение u(x,t) задачи Коши (25)для уравнения Кортевега – де Фриза.5.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций