Лекция 8 (1133448), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Солитонные решенияРассмотрим решение задачи Коши (25) при2u0 ( x ) = − 2ch x(29)Данные рассеяния для уравнения (20) с потенциалом (29)2 0ψ xx +  λ + 2 ψ =ch x (30)имеют вид: b(k,0)=0, существует только одно собственноезначение λ1 =−1 =−æ12 , C1 (0) = 2 .Ядро уравнения Гельфанда – Левитана имеет видB ( x; t ) = 2e8t − x(31)Рассмотрим уравнение Гельфанда – Левитана с ядром (31):∞8t − x − y8t − y− z dz =(,;)0 (32)+ 2eK ( x , y ; t ) + 2eKxzte∫и будем искать его решение в видеПолучимСледовательно,x−yK ( x, y; t ) = L( x; t )e .2e xL( x; t ) = −1 + e2 x − 8tx− y2eK ( x, y; t ) = −1 + e2 x − 8t(33)(34)(35)и по формуле (24) получим решение задачи Коши (25) сначальной функцией (29):d 22u ( x, t ) =−2 −=− 2.dx  1 + e2 x − 8t ch ( x − 4t )(36)Решение (36) является частным случаем более общегорешения уравнения Кортевега – де Фриза1 2u ( x, t ) = − α213  1αch 2  α ( x − x0 ) −t2  2,(37)=α 2,=x0 0 .соответствующее значение параметровРешения уравнения Кортевега – де Фриза вида (37) получилиназвание солитонов.

Они описывают бегущие волнынеизменнойформы,имеющиескорость,прямопропорциональную амплитуде решения.()Пусть имеется два решения u j x, t , α j , x0 j , j = 1, 2,вида (37), находящиеся на большом расстоянии друг отдруга (то есть разность x02 − x01 велика) и пусть α1 > α 2 .Тогда эти решения практически не взаимодействуют ираспространяются независимо друг от друга. Однако современем солитон u1 , имеющий большую скорость α1распространения, догонит солитон u2 и произойдет ихнелинейное взаимодействие.Замечательным оказывается то, что после этоговзаимодействия солитоны u1 и u2 разойдутся («пройдячерез друг друга»), не изменив своей формы, причемтеперь солитон u будет двигаться впереди солитона u .12Единственным результатом взаимодействия будет то, чтосолитоны приобретают «скачки фаз»: величины x0 jполучают приращение ∆x0 j ,причем ∆x1 > 0 , а ∆x2 < 0.u1Тем самым солитон u1 «прыгает» вперед (вправо) на∆x01 , а солитон u получает «отдачу» назад (влево) на2величину ∆x02 .Эти частицеподобные свойства, проявляющиеся вовзаимодействии, обусловили название солитонов и тотогромный интерес, который проявляется к их изучению.Можно дать следующее определение солитонов, какрешений нелинейных уравнений:Определение.

Будем называть солитонами такиерешения нелинейных уравнений , которые имеют видбегущих уединенных волн, взаимодействующих такимобразом, что после взаимодействия они сохраняютнеизменной свою форму, получая лишь приращения вфазах.8. Уравнение Буссинеска. Задача онаводненииПредположим, что рядом с населенным пунктомрасположенводоем,подкоторыминаходитсягидроупорный слой (глина).

Введем декартову системукоординат (x,z), ось x которой направим вдольповерхности водоема, а ось z перпендикулярно этойповерхности. Предположим, что населенный пунктнаходится в области 0<x, в которой уровень грунтовойводы над гидроупором описывается функцией u(x,t).Водоем занимает область x<0.

Пусть к моменту t=0 вода вводоеме поднялась до отметки z=0и продолжаетпребывать по закону u(0,t)=kt. Вопрос: насколько быстровода дойдет до населенного пункта, имеющегокоординату х=L, если населенный пункт расположен надгидроупором на высоте h?Получим уравнение, описывающее изменение уровнягрунтовых вод над гидроупором u ( x, t ) .Плотность горизонтального потока воды q равна∂Pq = −D∂x(1)где P – давление, а D – коэффициент проводимости среды.Давление на высоте z, где 0<z<u равноP=( z ) ρ g (u − z ) ,гдеρ- плотность воды.(2)Следовательно, плотность горизонтального потока q водыравна∂uq = − Dρ g(3)∂xи не зависит от z.

Коэффициент D определяется свойствамигрунта.Полный поток, идущий через сечение, будет равен∂uQ = − D ρ gu .(4)∂xИнтегральное уравнение балансаводы в слое,заключенном между сечениями x и x + ∆x за промежутоквремени от момента t до t + ∆t , будет иметь следующийвид:x +∆x∫ ε ( u (ξ , t + ∆t ) − u (ξ , t ) ) dξ =(5)xt +∆t∫t∂u ( x + ∆x,τ )∂u ( x,τ ) D ρ g  u ( x + ∆x,τ )− u ( x, τ )dτ ,∂x∂x εгде- коэффициент пористости (порозность) среды.

Изуравнения (5) при ∆x → 0, ∆t → 0 получаем уравнениеБуссинеска:ut =Dρ gε( uu x ) x .(6)Уравнение Буссинеска (6) описывает высоту уровнягрунтовых вод над гидроупором.εkεt=τ.Сделаем замену переменных:и K=Dρ gDρ gВ новых переменных задача имеет следующий вид:=uτ ( uu x ) x , x > 0,τ > 0,( x, 0 ) 0, x ≥ 0,u =( 0,τ ) Kτ , τ ≥ 0.u=(7)(8)(9)Построим автомодельное решение задачи (7)-(9) в видебегущей волны:u f (ντ − x ) , ντ − x > 0,=(10)=ντ − x ≤ 0,u 0,где ν - постоянная скорость, которую нужно определить.Подставив (10) в (7),получим обыкновенноедифференциальное уравнение для определения функцииf (α ) , α= ντ − x :ν f ′ = ( ff ′)′.(11)Интегрируем уравнение (11) от 0 до α > 0 :откудаν f = ff ′,(12)f ′ =ν .(13)Вид функции f находим из граничного условия ( 9 ):u ( 0,τ=τ f (ντ − 0 ) .) K=Отсюдаf (α ) =Kαν(14).Поскольку f ′ = ν , то K = ν и ν =ν(15)K , а f (α ) = α K .Решение задачи (7)-(9) имеет вид:u ( x,τ ) =Kτ − K x,=u ( x,τ ) 0,x < Kτ ,x ≥ Kτ .(16)Наводнение дойдет до населенного пункта в моменткоторый определяется равенством=h Kτ − K L.ττ,(17).

Характеристики

Список файлов лекций