Лекция 3 (1133443)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2. Задача с данными на характеристиках(задача Гурса)Простейшая задача Гурса:uxy  f ( x, y), x  0, y  0,(1)u ( x, 0)  1 ( x), u (0, y )  2 ( y )(2)1 (0)  2 (0)  u(0, 0).(3)Пусть решение задачи (1)-(3) существует. Получим его явноепредставление через входные данные.Проинтегрируем (1) по прямоугольнику  0    x, 0    y :uy xxyds    u d d  u ( x, y )  u ( x, 0)  u (0, y )  u (0, 0) 0 0 u ( x, y)  1 ( x)  2 ( y)  1 (0),y xu ( x, y )  1 ( x)  2 ( y)  1 (0)    f ( , )d d.(4)0 0Из формулы (4) следует единственность решения задачи (1)-(3).

Впредположении дифференцируемости функций 1 ( x) и  ( y ) и2непрерывности функции f(x,y) из формулы (4) следует существованиерешения.Рассмотрим общую задачу Гурса:uxy  a( x, y)ux  b( x, y)u y  c( x, y)u  f ( x, y), x  0, y  0,u ( x, 0)  1 ( x), u (0, y )  2 ( y)1 (0)  2 (0)  u (0, 0),где а(x,y), b(x,y), c(x,y) – гладкие функции.(5)(6)(7)ОбозначимТогдаF ( x, y, u, ux , u y )  f  aux  bu y  cu.y xu ( x, y)  1 ( x)  2 ( y)  1 (0)   Fd d   Fd d  ( x, y), (8)0 0где ( x, y )  1 ( x)  2 ( y )  1 (0).Введем интегро-дифференциальный оператор A:y xA u     Fd d .0 0Уравнение (8) запишем в виде интегро-дифференциального уравненияВольтерра:(9)u  A u  ,которое решаем методом последовательных приближений: un  Aun1   , n  1, 2,...; u0- задано.(10)y xПоложим u0(x,y)=0. Тогдаy xun  u1    a0 0u1    f ( , )d d  ( x, y),0 0u n1 b un1  cun 1 d d.(11)Из (11) следует:unxu1xy  a( x, )un1x b( x, )un1 c( x, )un1 d0unyx(12) uy1   a( , y) un1  b( , y) uny1  c( , y)un1 d0Докажем равномерную сходимость последовательностейun ( x, y) ,Пустьzn  un 1  un .y xunx ( x, y) ,uny( x, y)Из (11) и (12) следует:zn ( x, y)     a( , ) zn1  b( , ) zn1  c( , ) zn 1 d d ,znx0 0y( x, y )    a( x, )0zn1x b( x, )zn1 c( x, ) zn1 d ,(13)znyx( x, y)   a( , y) zn1  b( , y) zny1  c( , y) zn1 d .0Предположим, что в квадратеG  0  x, y  La( x, y)  M , b( x, y)  M , c( x, y)  M , z0  H ,где М>0, Н>0 – положительные константы.Из (13), и (14) следуют мажорантные оценки:z1  3HMxy  3HM( x  y )22!,z1x(13) 3HMy  3HM ( x  y),z0x H,z0y H,(14)z1y 3HMx  3HM ( x  y).,znyn3 H (2 KLM )Kn!По индукции для любого n  1получаем:zn  3HM Knn 1 ( x  y )n1( n 1)!,znx 3HM Knn 1 ( x  y )nn! 3HM Knn 1 ( x  y )nn!где К=L+2.

Так как ( x, y )  G , тоzn n13 H (2 KLM )( n 1)!K 2M,znxn3 H (2 KLM )Kn!,zny.(15),В правой части (15) с точностью до множителей пропорциональностистоятобщиечленыразложенияexp(2KLM).Следовательно,последовательности функцийun  u1  z1  ...  zn1 ,unx ux1  zx1  ...  znx1 ,unyu1y zy1  ...  zny1равномерно сходятся к предельным функциям u(x,y), V(x,y), W(x,y):u( x, y)  lim un ( x, y), V ( x, y)= lim uxn , W ( x, y)= lim uyn .nnперейдем в формулах (11), (12) к пределу приnn  :y xu  u1 ( x, y )    a( , )V  b( , )W  c( , )ud d ,0 0Vu1xy  a( x, )V  b( x, )W  c( x, )ud ,x0W  uy1   a( , y)V  b( , y)W  c( , y)u d .0(16)Отсюда следует, что V=ux, W=uy и u(x,y) удовлетворяют уравнению (8).Непосредственным дифференцированием устанавливается, что u(x,y)удовлетворяет (5). Удовлетворение условиям (6) следует из (16), (7) и видафункций u1(x,y) и Ф(х,у).Доказательство единственности решения задачи (5)-(7) (от противного).Пусть u1 ( x, y )  u2 ( x, y ) - два решения.

Рассмотрим U(x,y)=u1(x,y)-u2(x,y):x yU ( x, y)     aU  bU  cU d d.0 0Предположим, чтоH 1 - верхняя грань абсолютных величин:U  H1 , U x  H1 , U y  H1.При ( x, y )  G для любого nИз (17) следует, чтоU 3 H1 (2 KLM )n1( n 1)!K 2M.U ( x, y )  0  u1 ( x, y )  u2 ( x, y ) противоречие.(17).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций