Лекция 11 (1133451)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4. Экономичные разностные схемыСхемы применяемые для решения многомерныхзадач и сочетающие в себе достоинства явных инеявных схем называются экономичными.Экономичная разностная схема:1)является безусловно устойчивой;2)требует при переходе со слоя на слой числаарифметических операций, пропорционального числуузлов сетки.1) Схема переменных направленийОсновнойидеейпостроенияэкономичныхразностных схем является сведение многомернойзадачи к цепочке одномерных задач. Одной из первыхэкономичных схем является построенная в 1955 годуПисменомиРэкфордомсхемапеременныхнаправлений (продольно-поперечная схема).Рассмотрим начально-краевую задачу:∂u=Lu + f ( x, t ) , ( x, t ) ∈ QT ,∂t=u ( x , 0 ) u0 ( x ) , x ∈ D ,(60)(61)=u ( x, t ) µ ( x ) , x ∈ Γ, t ∈ [ 0, T ] ,∂ 2uLu ≡ ∆=u L1u + L2u , Lα=u∂xα 2(62)(α = 1, 2 ) ,D ≡ {0 ≤ xα ≤ =lα ; α 1, 2} , QT ≡ D × (0, T=], xВведем двумернуювременную сетки:пространственнуюωh ≡ ωh h = ωh + γ h ≡1 2{( xn1сеткуи)s+2одномерную}, xn2 ∈ D; 0 ≤ nα ≤ Nα ; α = 1, 2 ,12t=t 1=ts + 0,5τ ; y =y , ϕs =f ( xn , t s ) .s+( x1 , x2 ) .Заменимдифференциальныеразностными:операторыконечно-Lu → Λy = Λ1 y + Λ 2 y, Λα y = y xα xα , α = 1, 2.Схема Писмена-Рэкфорда осуществляет переход со слоя sна слой s+1 в два шага, используя промежуточный(дробный) слой:yys+121s+− ys= Λ1 y 2 + Λ 2 y s + ϕ s ,0,5τs +1−y0,5τs+12= Λ1 ys+12+ Λ 2 y s +1 + ϕ s ,=y ( x , 0 ) u0 ( x ) , x ∈ ω h ,=y s +1 µ ,=n2 0,=n2 N 2 ,s+12y= µ ,=n1 0,=n1 N1.(63)(64)(65)(66a)(66b)Уравнение (63) является неявным по первому направлению иявным по второму, а уравнение (64) является явным по первомунаправлению и неявным по второму.

Из (63) и (64) получаем:2y − Λ 1=y F,τ2yˆ − Λ 2=yˆ F ,τ2Fy + Λ 2 y + ϕ,=τ2Fy + Λ 1 y + ϕ.=τ 1 111yn1 −1 − 2  2 +  yn1 + 2 yn1 +1 =− Fn1 , n1 =1, 2,..., N1 − 1,2h1h1 h1 τ =yn1 µn1 ,=n1 0,=n1 N1 ,(67)(68)(69)(70) 1 111=− Fn2 , n2 1, 2,..., N 2 − 1, (71)yˆ n2 −1 − 2  2 +  yˆ n2 + 2 yˆ n2 +1 =2h2h2 h2 τ =yˆ n2 µn2 ,=n2 0,=n2 N 2 ,(72)=xn( n1h1 , n2 h=2 ), FF=yn1n2.n1n2 , yЗамечание 1. В формулах (69)-(72) пишется только изменяющийсяиндекс и не пишется фиксированный индекс.Формулы (69)-(70) описывают прогонки вдоль каждой строки при=n2 1,..., N 2 − 1.

Так как каждая прогонка вдоль строки требуетO N1 арифметическихопераций,тообщеечислоарифметических операций при выполнении прогонок вдоль строкравно O N1 N 2 .=n1 1,..., N1 − 1Аналогично прогонка вдоль столбцов при каждомO ( N 2 ) операций , а полное число операций притребуетвыполнении всех прогонок вдоль столбцов равно O N1 N 2 .( )()()Счет по схеме переменных направлений требует числаарифметических операций O N1 N 2пропорционального числуузлов сетки и на каждый узел сетки приходится число операций,не зависящее от числа узлов. Так как можно доказатьбезусловную устойчивость схемы переменных направлений, тоона является экономичной разностной схемой.Многомерные схемы можно построить, вводя понятиесуммарной аппроксимации (ЛОС – локально-одномерные схемы).()Замечание 2.

Схему переменных направлений нельзя обобщить натрехмерный случай: формально написанная схема уже не будетустойчивой:ys+131− ys= Λ1 ys+13+ Λ 2 y s + Λ3 y s + ϕ s ,τ3ys+23−y1s+13= Λ1 ys+13+ Λ2 ys+23+ Λ3 y s + ϕ s ,τ3y s +1 − y1s+23= Λ1 ys+13+ Λ2 ys+23+ Λ 3 y s +1 + ϕ s .τ3К написанным уравнениям нужно добавить начальные и граничныеусловия.Качественно накопление ошибки трехмерной схемы переменныхнаправлений можно пояснить следующим образом.В первом уравнении разностная схема является неявной попервому направлению и явной по второму и третьему направлениям,во втором – неявная по второму направлению и явная по первому итретьему, а в третьем уравнении – неявная по третьему уравнению иявная по первому и второму.

Таким образом, в каждом из уравненийсхема оказывается неявной по одному уравнению и явной по двум.Если учесть что по явному направлению ошибка накапливается, а понеявному отрабатывается (уменьшается). то в результате за каждыйцикл ошибка шесть раз накапливается и только три разаотрабатывается, что приводит к накоплению ошибки. В схемеПисьмена-Рекфорда ошибка за цикл сбалансировано два разанакапливается и два раза отрабатывается, что приводит кустойчивости схемы.2) Локально-одномерные схемы (ЛОС).Понятие суммарной аппроксимацииОбщим методом построения экономичных разностныхсхем пригодных для уравнений с переменными о даже сразрывными коэффициентами, для квазилинейныхнестационарных уравнений в случае произвольнойобласти любого числа измерений является методсуммарной аппроксимации.Отказ от понятия аппроксимации и замена его болееслабым условием суммарной аппроксимации расширяеткласс задач и приводит к аддитивным схемам.Основную роль при построении ЛОС играетвозможность построения цепочки одномерных задач, тоесть представления оператора L исходной задачи в видесуммы одномерных операторов: L = L1 + L 2 + ...Lp .Аддитивные схемы имеют две основные черты:1) переход от слоя S на слой S+1осуществляется припомощи обычных (двухслойных, трехслойных и т.д.схем);2) погрешность аппроксимации аддитивной схемыопределяетсякаксумманевязокдлявсехпромежуточных схем (аддитивная схема обладаетсуммарной аппроксимацией).Каждая из промежуточных схем цепочки уравненийможетнеаппроксимироватьисходнуюзадачу,аппроксимация достигается за счет суммирования всехневязок.Построение цепочки одномерных задач.начально-краевая задача:Пусть рассматривается∂u=Lu + f , x =x1 , x2 ,..., x p ) ∈ G, t ∈ (0, T ]; G =+G Г;(∂tu ( x, 0 ) = u0 ( x ) , x ∈ G; u ( x, t ) = 0, x ∈ Г , t ∈ [0, T ].

(72а )Запишем ее уравнение в следующем виде1 ∂uPα u = 0, Pα u =− Lα u − fα ,∑p ∂tα =1pгдеfα ( x,=t ) (α 1, 2,..., p ) −произвольные функции, обладающие той же гладкостью, что и f ( x, t )и удовлетворяющие условию нормировкиf1 + f 2 + ... + f p =f.На отрезке 0 ≤ t ≤ T введем равномерную сеткуω=τts sτ ,=s{=0,1,..., S } .Каждый интервал разобьем на p частей, введя полуинтервалы ∆αи точкиατ∆α : ts+α −1<t ≤tps+α, α, t α= ts + =s+pp∆α1, 2,..., p − 1.pБудем последовательно решать уравнение (72б) при условиях (72в)Pα v(α ) =x( x ) 0,=( x , x ,..., x ) ∈ G,12pt ∈ ∆α , =α 1, 2,..., p.

(72б )v(1) ( x, 0 ) u0 ( =x ) , v(α ) ( x, t α −1 ) v=α 2,3,..., p,(α −1) ( x, t α −1 ),s+v ( x, ts +1 ) = v( p ) ( x, ts +1 ) .ps+p(72в )Решением этой задачи назовем значение=v ( x, ts ) v=s 0,1,..., S .( p ) ( x, t s ) ,Каждое из уравненийPα vα = 0или1 ∂v(α )=Lα v(α ) + fα , α =1, 2,..., p.p ∂tПα=yα 0,=α 1, 2,..., p,заменяется разностной схемойгде Пα -разностные операторы, аппроксимирующие операторыPα .В простейшем случае это двухслойная схема, связывающая значенияy(α ) = ys+αpиy(α −1) = ys+α −1p.Для решения задачи (60)-(62) локально-одномерную схему можнозаписать, например, в следующем видеys+13−yss+=Λ1 yτys+23−ys+13τy s +1 − ys+τ23131 s+ ϕ ,3s+=Λ2 y=Λ3 ys +1231 s+ ϕ ,3(72 г )1 s+ ϕ .3К уравнениям (72г) следует добавить начальное и граничныеусловия.

Полученная схема суммарно аппроксимирует исходную22задачу с порядком O τ + h , где h = h 2 + h 2 + h 2 .()123Примеры.1) Схема Писмена-Рекфорда как аддитивная схема.Уравнения (63)-(64) эквивалентны ЛОС следующего вида:ys+14− ysτys+34−yτs+= 0.5Λ 2 y s + 0.5ϕ s ;12=0.5Λ1 ys+12;ys+12−yτy s +1 − yτs+34s+14= 0.5Λ1 ys+12;=0.5Λ 2 y s +1 + 0.5ϕ s .Схема обладает суммарной аппроксимацией(O τ +h22).2) Схема Дугласа-Рекфордаys+12τ− ys= Λ1 ys+12+ Λ2 y s ;y s +1 − ys+12τ(обладает суммарной аппроксимацией O τ + h2).= Λ 2 ( y s +1 − y s )5.

Консервативные однородные разностныесхемыПододнороднымиразностнымисхемами(ОРС)понимаются такие схемы, вид которых не зависит ни отвыбора конкретной задачи из данного класса, ни от выбораразностной сетки.Коэффициенты ОРС определяются как функционалы(шаблонныефункционалы)откоэффициентовдифференциального уравнения.ШирокораспространеныОРСсквозного(илинепрерывного) счета.Схемы, выражающие на сетке законы сохранения,называются консервативными или дивергентными.Схемы, нарушающие законы сохранения, называютсянеконсервативными или дисбалансными.1) Интегро-интерполяционный метод (ИИМ) – метод балансапостроения консервативных разностных схемРассмотрим уравнение:− f ( x),( k ( x ) u′ ( x ) )′ − q ( x ) u ( x ) =(73)где k(x) и q(x) могут быть разрывными функциями.Уравнение (73) описывает стационарное распределение тепла встержне.

Введём равномерную сетку ωhи промежуточныепотоковые узлы x i ± 0,5Запишем закон сохранения= x i ± 0 ,5 h .тепла (уравнение баланса) для отрезка  xi −0,5 , xi + 0,5  :xi +0,5Wi −0,5 − Wi + 0,5 −0,∫ q ( x ) u ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx =xi −0,5гдеxi +0,5duW ( x ) = −k ( x )dxxi −0,5- тепловой поток.(74)=Предположим, что uxi +0 ,5Тогда∫xi −0 ,5гдеu=constiприxi −0,5 ≤ x ≤ xi + 0,5 .q ( x ) u ( x ) dx  hui d i ,(75)xi +0 ,51di =q ( x ) dx.∫h xi−0 ,5Проинтегрируем равенствоduW= −dxk(76)на отрезке[ xi −1 , xi ] :W ( x)ui −1 − ui =∫x k ( x ) dx.i −1Положим=const при xi −1 ≤ x ≤ xi . ТогдаW W=i − 0,5xi(77)xidxui −1 − ui  Wi −0,5 ∫k ( x)xi −1(78)илигдеui − ui −1Wi −0,5  −ai=−ai u x ,i ,h−1xi 1dx ai =  ∫ h xi−1 k ( x ) (79)(80)Из формул (74), (76), (79), (80) получим:гдеyi +1 − yiyi − yi −1 1− ai−ϕi ,ai +1 − di yi =hhh (81)xi +0,51ϕi = ∫ f ( x ) dxh xi−0,5Замечание.

Интегралы (76), (80) и (82) являются шаблоннымифункционалами.(82)2) Метод конечных элементов (МКЭ) – проекционносеточный методРассмотрим краевую задачу:d du −  p ( x )  + q ( x ) u= f ( x ) , x ∈ ( 0,1) ,dx dx =u ( 0 ) 0,=u (1) 0.Покроем отрезокдля каждого k ≥ 1(83)(84)0 ≤ x ≤ 1 системой интервалов xk −1 ≤ x ≤ xkвведём функцию ωk ( x ) :0, 0 ≤ x ≤ xk −1 ,ω1 ( x ) , xk −1 ≤ x ≤ xk ,ωk ( x ) = ω 2 ( x ) , xk ≤ x ≤ xk +1 ,0, x ≤ x ≤ x =1,k +1Nи(85)гдеωk ( x )ω1 ( x ) =x − xk −1, xk −1 ≤ x ≤ xk , ∆ k −0,5 = xk − xk −1 ,∆ k −0,5ω 2 ( x )=xk +1 − x, xk ≤ x ≤ xk +1 , ∆ k + 0,5= xk +1 − xk .∆ k + 0,5(86){ ( )}Система функцийωk xполна в том смысле, что любуюнепрерывную функцию ϕ xс возможными изломами в узловыхточках xk и обращающуюся внуль в граничных точках отрезкаxxk −1 xk xk +1 xN = 1x0 = 00,1 можно представить в виделинейной комбинации функцийωk ( x ) : ϕ ( x ) = ϕk ωk , где в качестве коэффициентов стоятkϕ ( x ) в точках xk : ϕ k = ϕ ( xk ) .значения самой функции1( ){ }[ ]{}∑{}Система ωk ( x ) обладает также некоторым аналогом свойстваортогональности:0, n ≤ k − 2,1 ∆ k −0,5 , n =k − 1,61 1=  (∆ k −0,5 + ∆ k + 0,5 ), =n k,(ωk , ω=n)∫0 ωk ( x ) ωn ( x ) dx31k + 1, 6 ∆ k + 0,5 , n =0, n ≥ k + 2.Умножим (83) на ωk( x)(87)и проинтегрируем от 0 до 1: d du 0.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций