Лекция 14 (1133454)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2.Самоорганизацияструктур. Синергетикаиобразование1. Диссипативные структурыРассмотрим распределенные системы, в которых в результатеразвития неустойчивости в однородной диссипативной средемогут возникать устойчивые пространственно-неоднородныеструктуры. Такие структуры называются диссипативными. Основыих теории заложил в 1952 году Алан М. Тьюринг, а сам терминпредложил И.Р.Пригожин.Общимусловиемразвитияпроцессовсамоорганизации(самопроизвольного возникновения волн и структур) являетсяпоявление неустойчивости, возникающее, если отклонение отсостояния равновесия превышает критическое.Диссипативная структура поддерживается за счет постоянногопритока энергии и вещества – открытые системы.Уравнения, описывающие процессы в системе, должны бытьнелинйными.Процессы в среде должны протекать согласованно.Синергетика изучает процессы образования структур в сложныхсамоорганизующихся системах.2.

Модель брюсселятора.Базовая модель синергетики, предложенная в 1968 годуПригожиным и Лефевром. Позволяет выявить условиявозникновения типов самоорганизации в химических ибиологическихсистемах.Представляетсобойсхемугипотетических химических реакций, происходящих в тонком идлинном (одномерном) сосуде-реакторе длиной L.Закон действующих масс:dzX Y  kXY ,dtdznX  Y  kX nY ,dt(1)(2)где k - постоянная реакции,Схемы реакций:k1( )X , B  Xk1AX , Y , Z концентрации.k2( )Y  D, 2 X  Yk2k3( )3 X , Xk3k4( ) E,k4где A  const , B  const , вещества X и Y остаются вреакторе, вещества D и E удаляются ( система открытая),k i(3)ki , i  1, 2,3, 4.Из формул (1)-(3) следует:гдеX t  k1 A  (k2 B  k4 ) X  k3 X 2Y  D1 X xx ,(4)Yt  k2 BX  k3 X 2Y  D2Yxx ,(5)D1 и D2 коэффициенты диффузии.Замена переменных:121212 k3  k3  k12 k3 k4t  t , X    X , Y    Y , A   3  A, k4  k4  k4 k2D1D2B  B , D1  , D2 .k4k4k4(6)Из формул (4)-(6) получаем:X t  A  ( B  1) X  X 2Y  D1 X xx ,(7)Yt  BX  X 2Y  D2Yxx , 0  x  L, t  0,(8)X ( x, 0)  X 0 ( x), Y ( x, 0)  Y0 ( x), 0  x  L,(9)X x (0, t )  X x ( L, t )  0, Yx (0, t )  Yx ( L, t )  0.(10)Начально-краевая задача (7)-(10) является моделью брюсселятора.Исследуем стационарные однородные по пространству решения.Из формул (7) и (8) следует система:A  ( B  1) X  X 2Y  0,(11)BX  X 2Y  0.(12)Единственное решение имеет вид:BX  A, Y  .A(13)Будем менять X ( x), Y ( x), B.

Если В невелико, то независимо00от начальных данных через определённое время установятсяконцентрации:BX ( x, t )  A, Y ( x, t )  .A(14)Устойчивые стационарные решения, на которые независимо отначальных данных выходят распределения параметров принебольшихвнешнихвоздействиях,называетсятермодинамической ветвью.Зафиксируем X 0 xиY0 xи будем увеличивать B.Начиная с критического Bc происходит выход на немонотонныестационарные распределения концентраций, возникающие внетермодинамической ветви иназванныеПригожинымдиссипативными структурами.Стационарные решения (13) удовлетворяют задаче при любом B.При B  B появляется несколько нестационарных решений,cто есть происходит ветвление решений или бифуркация.Зафиксируем B  Bc и будем менятьX 0 x , Y0 x .

Принекоторых значениях B с разных классов начальных данныхв одной и той же нелинейной среде происходит выход на разныестационары.Причиной возникновения структур являются внутренние свойствасистемы, а поводом – вносимые флуктуации.    Для учёта флуктуаций в правые части (7) и (8) добавляютслучайные функции.Резонансные воздействия на систему в окрестности Bc : слабыевоздействия вызывают сильный эффект.Определение Bc . Линеаризуем уравнения (7), (8):гдеBX  A X , Y  Y ,ABX  A, Y A(15).Подставим (15) и (7), (8) и отбросим члены второго порядка ивыше: X t   B  1 X  A2Y  D1 X xx ,Yt  BX  A2Y  D2Yxx , 0  x  L, t  0,B X  x, 0   X 0  x   A, Y  x, 0   Y0  x   , 0  x  L,A X x  0, t   X x  L, t   0, Yx  0, t   Yx  L, t   0, t  0.(16)(17)(18)(19)g t   f  x  mxmtX m  pm e cos,L mxm tYm  qm e cos, m  0,1, 2,...LНайдём частные решения видаДля определения  m(20)из (16), (17), (20) получаем уравнение:2 2m 22    A  B  1  D1  D2  2   (21) L  2 2m 2 2 m 2 2     A B   A  D2 2  B  1  D1 2    0, m =0,1,...L L Если Re   0, Re   0для всех m, то термодинамическаяm1m2ветвь (14) устойчива (малые B ).Если при B  Bc m  0, m  0, то при B  Bc возникают12структуры.Если при B  Bдля некоторогоmRe m1  Re m2  0,cIm m1   Im m2 , то функции X m и Ym периодические и всистеме возникают колебания.При этом обычно D1  D2Модель брюсселятора отражает общие черты многих систем, гдевозникают структуры и возможно явление самоорганизации:1) Система является термодинамически открытой, то есть в нейвозможен обмен энергией, веществом и т.д.

с окружающейсредой.2) Макроскопические процессы происходят согласованно(кооперативно, когерентно). В рассмотренном нами случаетакое согласование обеспечивают диффузионные процессы.3) Отклонения от равновесия превышают критическое значениетоестьрассматриваютсясостояния,лежащиевнетермодинамической ветви.4) Процессы рассматриваются в таком диапазоне параметров,когда для описания этих процессов необходимы нелинейныематематические модели.Отметим, что образование диссипативных структур лежит воснове дифференцирования тканей при морфогенезе..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций