Лекция 1 (1133441), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Простейшая модель изменения зарплаты и занятости:p(t) –зарплата,N(t)-число занятых работников.Равновесие рынка труда: за плату p0>0согласны работать N0>0 человек.Предполагается, чтоа) работодатель изменяет зарплату пропорционально отклонениючисленности занятых работников от равновесного;б) численность работников изменяется пропорционально изменениюзарплаты относительно р0.Система уравнений имеет вид: dp dt  a1 ( N  N0 ), a1  0, dN  a ( p  p ), a  0.202 dtОтсюда получаем уравнениеd 2 ( p  p0 ) a1a2 ( p  p0 )  0.2dtВывод уравнения:dp0dp0 d  p  p0 0 ;dtdtdtd  N  N0  dNdN00 dtdtdtd  p  p0 d 2  p  p0  d  N  N0 dN a1  N  N0  a a1a2  p  p0  12dtdtdtdtd 2  p  p0  a1a2  p  p0   02dtВывод.

Построенные в пунктах 1-3 модели в одних случаях основаны наточно известных законах (задача 1 о колебательном контуре), в других –на наблюдаемых фактах (задача 2 о двух популяциях), в третьих – направдоподобных представлениях о характере объекта (задача 3 опростейшей модели заработной платы).Хотя и сущность рассматриваемых явлений, и подходы к получениюописывающих их моделей совершенно различны, построенные моделиоказались идентичными друг другу.Это свидетельствует о важнейшем свойстве математических моделей – ихуниверсальности.Свойство универсальности математических моделей широко используетсяпри изучении объектов самой разнообразной природы.4. Иерархия моделейПринцип «от простого к сложному»: построение цепочки (иерархии) всеболее полных моделей, каждая их которых обобщает предыдущую,включая её в качестве составного случая.Модель многоступенчатой ракеты.

Пренебрегаем сопротивлениемвоздуха, гравитацией.а) Одноступенчатая ракета. u=3-5 км/с – скорость истечения продуктовсгорания топлива (относительно Земли), V(t) – скорость ракеты(относительно Земли); m(t) – масса ракеты. Закон сохранения импульса:m(t )V (t )  m(t  dt )V (t  dt )  dm(V (t   dt )  u ), 0< <1.Линеаризация:m(t  dt )  m(t ) dmdVdmdVd (ln m)dt  O(dt 2 )  mu  udtdtdtdtdtV (t )  V0  u ln ,m0m(t )V0  V (0), m0  m(0).Максимальная скорость при полном сгоранииначальной скорости V0=0 (формула Циолковского):V  u lnm0m p  msтопливаинулевой.Здесь mp - полезная масса (масса спутника), ms – структурная масса(топливных баков, двигателей,систем управления ракетой т.д.).

Введемпараметр  m mm .s0Обычное значениеp= 0.1.При этомполучается, что при u=3 км/с и и mp=0 V=7 км/с. Одноступенчатая ракета несможет поднять полезный груз!б) Многоступенчатая ракета: основная идея – избавление от балласта.mi - общая масса i-ой ступени;  mi – структурная масса i- ой ступени;(1- )mi – масса топлива i - ой ступени.

Считаем, что и u одинаковыдля всех ступеней. Пусть n=3; m0=mp+m1+m2+m3. По формулеЦиолковского скорость равна:V1  u lnm0m p   m1  m2  m3.После отброса структурной массы m1 включается вторая ступень. Массаракеты в этот момент mp +m2 +m3.

После выгорания топлива второйступени скорость равнаV2  V1  u lnm p  m2  m3m p   m2  m3а после отброса структурной массыступени равнаV3  V2  u lnПри n=3 получимV3u lnгдеa11  ( a1 1)a1 a21  ( a2 1)m0mp  m2  m3, a2  m2 и,включения двигателя третьейm p  m3m p   m3.a31  ( a3 1)mp  m2  m3mp  m3  f (a , a , a ),, a3 1mp  m3mp2.3В самом деле из предыдущих формул мы получаем:V3  V2  u lnV3 lnu ln(m p  m3m p   m3m0m p   m1  m2  m3m0m p   m1  m2  m3, V2  V1  u ln ln m p  m2  m3m p   m2  m3m p  m2  m3m p   m2  m3m p  m2  m3m p   m2  m3m0mp  m2  m3 ln m11 mp  m2  m3  ln m p  m3m p   m3 , V  u ln 1m p  m3m p   m3m0m p   m1  m2  m3 )  mp  m2  m3 m  mp3  1   m2m p  m3 m p  m3 m pm31mp Введем следующие обозначения:mp  m1  m2  m3m0m1a1  a1  1 ;mp  m2  m3mp  m2  m3mp  m2  m3a2 a3 V3ump  m2  m3mp  m3mp  m3mp ln a2  1 m2;mp  m3m3 a3  1 mpa11  ( a1 1)a21  ( a2 1)a31  ( a3 1)  f (a , a , a ),123Максимум функцией f(a1,a2,a3) достигается в симметричном случае приа1=а2=а3=а.

Для n=3 получим:3V3V3a1  a  1    a ln  e 3u  P   3lnuaa 1    a  1 1    à  aP  1    a  P     a 1 PЛегко проверить, чтоa1a2 a3  a 3m0mp .1p 3В общем случае для n ступеней имеем:Vnmomp 1p n, p  e nu .(1)Проанализируем формулу (1). Примем Vn=10,5 км/с,получаем: =0,1. Тогда для n=2,3,4n2m0  149mpn3m0  77mpn4m0  65mpДвухступенчатая ракета пригодна для вывода на орбиту полезной массы,но при одной тонны полезного груза необходимо иметь ракету весом 149тонн.Переход к трехступенчатой ракете уменьшает ее массу почти в два раза, ноконечно усложняет ее конструкцию.Четырехступенчатая ракета не дает заметного выигрыша по сравнению стрехступенчатой.Вывод: наиболее выгодна трехступенчатая ракета.Первой космической скоростью называется наименьшая скорость, которую нужносообщить телу, чтобы оно могло стать искусственным спутником Земли.

Онаравна скорости искусственного спутника, обращающегося по круговой орбитевокруг Земля в отсутствии сопротивления атмосферы.Первая космическая скорость равна у поверхности Земли V=7,9 км/с.Второй космической скоростью называется наименьшая скорость, которую нужносообщить телу, чтобы оно могло без воздействия каких-либо дополнительных силпреодолеть земное притяжение и превратиться в искусственный спутник Солнца.Вторая космическая скорость равна у поверхности Земли V=11,2 км/с.Третьей космической скоростью называется наименьшая скорость, которую нужносообщить космическому аппарату, запускаемому с поверхности Земли, для того,тчтобы он преодолел притяжение Солнца и покинул Солнечную систему.Третья космическая скорость равна у поверхности Земли V=16,7 км/с..

Характеристики

Список файлов лекций