Лекция 12 (1133452), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Пусть Х - достаточно гладкаяфункция по х и t и обладает свойством «возвращаемости» поt, т.е. существует среднее значениеT1lim  X ( x, t )dt  X ( x),T  T0(10)например, Х периодическая или почти периодическаяфункция t. Если Х периодическая с периодом 2π по t функция,то (10)=>21X ( x) X ( x, t )dt.2 0(11)Согласно методу Крылова – Боголюбова, т-е приближениек решению x(t) системы (9) имеет вид:x     u1 ( , t )  ...   mum ( , t ),(12)где ξ=ξ(t) - решение усредненного уравнения:   A1 ( )   2 A2 ( )  ...   m Am ( ),(13)а функции ui(ξ,t) и Ai(ξ) подбираются из того условия, чтобывыражение (12) удовлетворяло уравнению (9) с точностью дочленов порядка εm+1 и чтобы ui(ξ,t) обладали по t той же«возвращаемостью», что и X(x,t). Функции ui находятсяэлементарно, а функции Аi определяются в результатеусреднения правой части системы (9) после подстановки вЗамечание.

При вычислении интегралов (10),(11) храссматривается как параметр и усреднение происходит появно входящему t. Разложим правую часть (9) по ε:X  x, t   X 1  x, t    X 2  x, t  Первое приближение:x1     A1 ( )(14)(15)(16)Подставим (12) в (9) и учтем члены первого порядка:гдеdu1x1      X1,dt(17)du1 u1 u1  u1u1   A1.dtt tt(18)Учитывая члены первого порядка (16) – (18)=>u1A1 ( )  X 1 ( , t ).t(19)A1 ( )  X 1 ( )(20)u1 X 1 ( , t )  X 1 ( )t(21)Положим(19),(20)=>Второе приближение:x2     u1 ( , t ),(22)   A1 ( )   2 A2 ( ).(23)Подставим (12) в (9) и учтем (23). Учитывая члены второгопорядка и формулу (22), получим:гдеu2 A2 ( )  F ( , t ),t(24)X 1u1 ( , t )F ( , t )  X 2 ( , t ) ( , t )u1 ( , t )  A1 ( ). (25)ПоложимA2 ( )  F ( )(26)u2 F ( , t )  F ( ).t(27)(24)-(26)=>Этот процесс можно продолжить, но обычноограничиваются одним - двумя приближениями, так какбыстро возрастает сложность вычисления F.В теории метода Крылова – Боголюбова доказывается, чтоесли X(x,t) обладает необходимой гладкостью ипериодичностью по t при фиксированном x, тона участке0  t  O 1  .x  xm  O( m )Запишем уравнение (6) в виде системы и поставим задачуКоши: y  u ,y(0)y,0u  (1 y 2 )u  y , u (0)  0.(28)Будем искать решение системы (28) в виде:y  a cos(t   ),u  a sin(t   ),(29)где a(t) и θ(t) – функции t.(28),(29)=>3 a  a 2  aaa    1   cos 2(t   )  cos 4(t   ) ,  2 4282 1  a 2 a    1  sin 2(t   )  sin 4(t   ) ,(30) 2 28a(0)  y0 ,  (0)  0.Система (30) совпадает с (9), если положитьx  (a,  )T ,X ( x, t )  X 1 ( x, t ).Обозначим также   (a ,  )T .Первое приближение:   A1 ( ) , A1 ( )  X 1 ( ),2 a  a 2  aaTX 1 ( )   1  , 0  (a ,  )    1  , 0  2 4  4   2 TTусредненная система имеет вид: a 2 aa   X (a )   1  , a (0)  y ,024  0,  (0)  0.(31)(32)Полагая x1=ξ , получим:atПри2 y0ty  (4  y )e2020,   0.(33)решение выходит на стационарный режим:y (t )  2 cos t.На фазовой плоскости( y, y ) автоколебаниям соответствуетпредельный цикл – замкнутая траектория, на которуюнакладываются все фазовые траектории из некоторойокрестности.

Множество, к которому сходятся фазовыекривые, называется аттрактором..yВ рассматриваемом случаеаттрактором являетсяокружность радиуса 2.0yТочки покоя уравнения (31)a  0 и a  2.XПервый корень неустойчивый:(0)  0 , аaвторой - устойчивый: X(2)  0.aУравнение (21) принимает вид:3 aa cos 2(t   )  cos 4(t   )8u1  2  X ( , t )  X ( )2 a 2 a1t 1  sin 2(t   )  sin 4(t   )(34) 2 28Второе приближение: x2    u1 ( , t ).Усредненная система: (23),(25), (26) => a 2 aa   1  ,2424 1a7a.   2    8 8256 (35)(36)Уравнений (35) совпадает с (31) => при t→∞ a  2.

При этом,2    ,16следовательно,2   t  0 .16Второе приближение имеет вид:a3aa  a    sin 4(t   )  sin 2(t   ) , 324a1a      cos 4(t   )  (1 ) cos 2(t   ) , 32442где a и  определяются из (35), (36).2(37)2Для стационарного решения получаем (a  2,    t  0 ) :16aCT  2  sin 2( t  0 )  sin 4( t  0 ),24(38)2CT  (0  t )  cos 2( t  0 )  cos 4( t  0 ),1648где   1  2 16.Подставляя (38) в формулу y (t )  aCT  cos(t  CT )и удерживая члены порядка ε, получаем второеприближенное стационарное колебательное решениеуравнения Ван дер Поля:(39)y (t )  2 cos( t  0 )  sin 3( t  0 ).4На фазовой плоскости траектория второго приближенияотклоняется от окружности на величину порядка ε ..

Характеристики

Список файлов лекций