4.3. Уравнение для турбулентной кинетической энергии. Двухпараметрические модели турбул (1013329)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3. Уравнениедлятурбулентнойкинетическойэнергии.Двухпараметрические модели турбулентности.Одним из важнейших параметров, характеризующих турбулентноедвижение, является турбулентная кинетическая энергия1K = ui′′22Процесс получения дифференциального уравнения переноса этогопараметра называется взятием момента от уравнения количества движения3.1. Вывод уравнения.Очевидно, что∂∂∂  ρ u ′′u ′′  ∂∂ρui′′ui′′ =  ρ ui′′ui′′  =  ρ i i  =  ρ ui′′ui′′  = 2 ( ρ K ) ,∂t∂t ρ  ∂t ∂t ∂t  ∂ ∂∂  ∂ ρ u j ui′′ui′′ = ρ u j ui′′ui′′  + ρ u j′′ui′′ui′′  = ρ u j + u j′′ ui′′ui′′  =∂x j∂x j  ∂x j  ∂x j )()((3.1))(∂∂ ρ u j K ) +=2( ρ u j′′ui′′ui′′ ∂x j∂x j (3.2)То есть,∂ ∂ ∂∂∂ρui′′ui′′ +ρu j ui′′ui′′ = 2  ( ρ K ) +ρ u j K )  +( ρ u j′′ui′′ui′′ ∂t∂x j∂x j ∂t ∂x j )()((3.3)С другой стороны: ∂ρ∂∂∂∂ ′′ ′′ρui′′ui′′ +ρu j ui′′ui′′ = ui′′ui′′  +ρu j ) + ρui ui(∂t∂x j∂t ∂t ∂x j)(()()(3.4) ∂u ′′∂∂u ′′ + ρu jui′′ui′′ = 2 ρ ui′′  i + u j i  ,∂x j∂x j  ∂t∂ui′′∂u ′′ ∂u∂u ∂u∂u ∂u∂u ∂u∂u∂u+ u j i = i + u j i − i − u j i = i + u j i − i − uj i − u j′′ i , (3.5)∂t∂x j∂t∂x j ∂t∂x j ∂t∂x j ∂t∂x j∂x j(откуда) ∂u∂∂∂u ∂u∂u∂u ρ ui′′ui′′ +ρ u j ui′′ui′′ = 2 ρ ui′′  i + u j i − i − uj i − u j′′ i  =∂t∂x j∂x j ∂t∂x j∂x j  ∂t())( ∂u ∂u∂u ∂u ∂u= 2ui′′  ρ i + ρ u j i  − 2 ρ ui′′  i + uj i  − 2 ρ ui′′u j′′ i =∂x j ∂x j ∂x j ∂t ∂t(3.6) ∂u∂u ∂u= 2ui′′  ρ i + ρ u j i  − 2 ρ ui′′u j′′ i∂x j∂x j  ∂tПриравнивая (3.3) и (3.6), получаем:∂ 1 ∂ ∂ρ u j K )  +( (ρK ) + ρ u j′′ui′′ui′′ ∂x j ∂t 2 ∂x j  ∂u∂u ∂u= ui′′  ρ i + ρ u j i  − ρ ui′′u j′′ i∂x j ∂x j ∂t(3.7)Уравнение количества движения (2.3) записано в консервативной форме.Чтобы получить неконсервативную форму вычтем из уравнения (2.3)уравнение неразрывности (2.1), умноженное на ui :∂∂∂ρ∂( ρui ) + ( ρu j ui + δ ji p − τ ij ) − ui − ui ( ρ u j ) = 0,∂t∂x j∂t∂x jρ∂ui∂u∂+ ρu j i +(δ ji p − τ ij ) = 0∂t∂x j ∂x jоткудаρ∂ui∂u∂p ∂τ ij+ ρu j i = −δ ji+∂t∂x j∂x j ∂x j(3.8)Подставляем это выражение в (3.7):∂∂∂1( ρ K ) + ( ρ u j K ) = − ρ u j′′ ui′′∂t∂x j∂x j2( )2− u j′′∂τ∂p∂u+ ui′′ ij − ρ ui′′u j′′ i∂x j∂x j∂x j(3.9)Второй член в правой части расписываем как:u j′′А третий как:∂p∂p∂p′∂p∂  − p′ ∂u j′′′′′= u j′′+ u j′′= u j′′+puj ∂x j∂x j∂x j∂x j ∂x j ∂x j(3.10)ui′′∂τ ij∂x j=∂ ∂ui′′∂ ∂ui′′ ∂ui′′=− τ ijτ ij ui′′  − τ ijτ ij ui′′  − τ ij′′∂x j ∂x j ∂x j ∂x j∂x j(3.11)Подставляем эти выражения в (3.9):∂∂∂ 1 ′′ 2′′′′′′( ρ K ) + ( ρ u j K ) = − ρ u j ui −p′uj + τij ui∂t∂x j∂x j 2 IIIII)(( )(I )( )∂u j′′ ∂ui′′∂u∂u ′′∂p− ρ ui′′u j′′ i − τ ij′′ i −u j′′+ p′− τ ij∂x j∂x j∂x j∂x j∂x j( IV )(V )(VI )(VII )(3.12)(VIII )Физический смысл членов, входящих в правую часть уравнения (3.12),следующий:( I ) - турбулентный диффузионный перенос, обусловленный пульсациямискорости;( II ) - турбулентный диффузионный перенос, обусловленный пульсациямидавления;( III ) - молекулярный диффузионный перенос;( IV ) - генерация турбулентной энергии, обусловленная взаимодействиемнапряжений Рейнольдса и градиента средней скорости;(V ) - вязкая диссипация турбулентной энергии в тепло;(VI ) - работа сил давления;(VII ) - дополнительная диссипация, обусловленная взаимодействиемпульсаций давления с дивергенций пульсаций скорости;(VIII ) - дополнительный член, учитывающий вязкое трение.3.2.Несжимаемая жидкость.

Уравнение для скорости диссипации.Уравнение для турбулентной кинетической энергии наиболее хорошоизучено для несжимаемой жидкости, т.е. для случая, когда ρ = const . Обычнопри этом полагается постоянным коэффициент динамической вязкости:µ = const .Средние по Рейнольдсу и по Фавру при этом совпадаютT = T(3.13)Совпадают и соответствующие пульсации(3.14)T ′′ = T ′Очевидно, что в несжимаемой жидкости справедливо:ui′′ = −ρ ′ui′=0ρ(3.15)Легко показать, что дивергенция пульсаций скорости равна нулю.Действительно, из (2.1) и (2.2) следует:∂u j∂x j= 0;∂u j∂x j(3.16)=0Отсюда∂u j′∂x j=(∂ uj − uj∂x j) = ∂uj∂x j−∂u j∂x j(3.17)=0Таким образом, в несжимаемой жидкости три последних члена уравнения(3.12) - (VI ) , (VII ) , (VIII ) тождественно равны нулю.Дляпредставлениядиссипативногочлена(V )уравнения(3.12)рассмотрим несколько промежуточных формул.Прежде всего) ∂u ′ ∂u ′  ∂u ∂ u  ∂ui ∂u j +− µ  i + j  = µ  i + j  = 2 µ Sij′ , ∂x ∂x j ∂xi  ∂x j∂xi  j ∂xi 1 ∂uгде Sij′ =  i +∂u j′  - тензор пульсаций скоростей деформаций.∂xi (τ ij′′ = τ ij′ = τ ij − τ ij = µ ′2  ∂x j(3.18)Вследствие симметрии тензора τ ij′ с помощью перестановки индексовможно получить:τ ij′∂u j′∂u j′∂ui′= τ ji′= τ ij′∂x j∂xi∂xi(3.19)Отсюда получаем:2∂u ′ 1  ∂u ′∂u ′  1  ∂u ′ ∂u ′  1  ∂u ′ ∂u ′ τ ij′ i = τ ij′ j + τ ij′ i  = τ ij′  j + i  = µ  i + j  = 2 µ Sij′∂x j 2 ∂xi∂x j  2  ∂xi∂x j  2  ∂x j∂xi ( )2(3.20)После осреднения:2∂u ′ 1  ∂u ′ ∂u ′ 1  ∂u ′ ∂u ′ ∂u ′ ∂u j′∂u ′ ∂u j′  τ ij′ i = µ  i + j  = µ  i i + j+2 i∂x j 2  ∂x j∂xi 2  ∂x j ∂x j∂xi ∂xi∂x j ∂xi  =µ(3.21)∂ui′ ∂ui′∂u ′ ∂u j′+µ i∂x j ∂x j∂x j ∂xiДокажем, что: ∂u ′   ∂u ′ 2′′∂u∂ui∂ ∂  ′ ′∂ jj j=+ ui u j   − 2  ui′∂x j ∂xi ∂xi  ∂x j ∂xi∂x j   ∂x j  (3.22)Доказательство: ∂  ∂ui∂u j∂  ∂ui u j )  =+ ui u j(∂xi  ∂x j∂x j ∂xi  ∂x j= uj∂  ∂ui  ∂ui ∂u j∂  ∂u j+ ui+∂x j  ∂xi  ∂x j ∂xi ∂xi  ∂x j∂  ∂u j= ui∂xi  ∂x j∂  ∂ui = u j∂xi  ∂x j ∂u ∂u j∂  ∂u j+ + i ui ∂x j ∂xi ∂xi  ∂x j =∂  ∂u j  ∂ui ∂u j∂  ∂u j+ ui = ui +∂xi  ∂x j  ∂x j ∂xi ∂xi  ∂x j = ∂u ∂u j ∂ui ∂u j∂  ∂u ju++ − i i ∂x∂x∂x∂x∂x∂xijjiij∂  ∂u j = 2  ui∂xi  ∂x j ∂u ∂u j  ∂ui − + i∂x∂xji ∂xi (3.23)2При однородной турбулентности первые два члена в правой частиформулы (3.22) обращаются в нуль.Для несжимаемой жидкости третий член в правой части формулы (3.22)также равен нулю.Таким образом, в случае однородной турбулентности получаем:µ∂ui′ ∂u j′=0∂x j ∂xi(3.24)В работе [3] показано, что и для неоднородной турбулентности прибольших значениях чисел Рейнольдса ассимптотически справедливо этовыражение.Таким образом, член, характеризующий вязкую диссипацию в уравнении(3.12), при больших числах Re может быть записан как:ρε ≡ τ ij′Здесь черезε∂ui′∂u ′ ∂ui′=µ i∂x j∂x j ∂x j(3.25)обозначена так называемая скорость диссипациитурбулентной кинетической энергии.

Ее физический смысл – скорость, скоторой турбулентная кинетическая энергия K превращается в тепловследствие вязкого трения. Размерность ε -  м 2 / с 3  .Длянесжимаемойжидкостиуравнениепереносатурбулентнойкинетической энергии имеет вид:∂∂∂ρu j K =(ρK ) +∂t∂x j∂x j() µT ∂K +µ + Ρ K − ρε , σ K ∂x j (3.26)где∂uΡ K = − ρ ui′u j′ i - генерация K∂x j(3.27)Здесь использовались допущения о градиентном характере турбулентнойи молекулярной диффузии турбулентной кинетической энергии:− ρ u j′ K − p′u j′ =∂Kτ ijui′ = µ∂x jµT ∂K,σ K ∂x j(3.28)Уравнение переноса ε можно строго получить, используя ту же методику,что и для вывода уравнения переноса K , только вместо ui′′ui′′ в формулах (3.1)-(3.6) необходимо использовать ν∂ui′ ∂ui′. Здесь ν = µ / ρ∂x j ∂x j- коэффициенткинематической вязкости.В результате получается уравнение, содержащее большое количестводостаточно сложных корреляций пульсаций, для которых при большихзначениях чисел Рейнольдса получаются некоторые асимптотическиезависимости.Автор не будет утомлять читателей этими выкладками, а переадресуетинтересующихся к книге [4].Дело в том, что в результате получается уравнение по структуре подобноеуравнению переноса K : µT ∂ε  ε+µ + ( Cε 1Ρ K − Cε 2 ρε ) , σ ε ∂x j  K∂∂∂ρ u jε =( ρε ) +∂t∂x j∂x j()(3.29)где σ ε , Cε 1 , Cε 2 - числовые константы.Представляется очень удачным представление, предложенное в [5].Смысл этого представления состоит в том, что можно использоватьнеобязательно уравнения именно для K и ε , а для любой их степеннойфункции:Z = C Z K mε n(3.30)Уравнение переноса этой функции и имеет вид:∂∂∂ρu jZ =( ρZ ) +∂t∂x j∂x j() µT ∂Z  Z+µ + ( CZ 1Ρ K − CZ 2 ρε ) , ∂x j  K σ Z(3.31)где σ Z , CZ 1, CZ 2 - числовые коэффициенты.3.3.

Двухпараметрические модели турбулентности для несжимаемойжидкости. Kε-модель, Kω - модель Уилкокса, модель SST Ментера.В этом разделе приводятся некоторые наиболее часто используемыемодели турбулентности для несжимаемой жидкости.Как уже говорилось, в системе уравнений Рейнольдса, описывающихосредненноетечениежидкостипритурбулентномрежиметечения,появляются дополнительные неизвестные параметры, имеющие физическийсмысл тензора турбулентных напряжений трения.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги