3.3. Искусственная вязкость (1013313)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3. Искусственная вязкостьДля того, чтобы разобраться с механизмом возникновения искусственнойсхемнойвязкости,рассмотримдвумернуюзадачуконвективногораспространения тепла при малых скоростях газового потока. Переносомтепла за счет теплопроводности пренебрегаем, а поле скоростей считаемзаданным.Уравнение энергии при этих условиях имеет вид∂∂∂( ρT ) + ( ρ uT ) + ( ρ vT ) = 0∂t∂x∂y(3.1)Для получения дискретного аналога этого уравнения используем методконтрольного объема. Для этого расположим узлы сетки, как на рисунке 1.

Ипроинтегрируем уравнение (3.1) по заштрихованному объему. Контрольныйобъем имеет форму параллелепипеда размером ∆x × ∆y × 1 .Рис.1. Контрольный объем (заштрихованная область) для двумерной задачиВ результате интегрирования получаем:∂( ρT ) dV + ∫∫ ( ρuT )i +1/ 2 − ( ρuT )i −1/ 2  ∆y + ∫∫ ( ρ vT ) j +1/ 2 − ( ρ vT ) j −1/ 2  ∆x = 0∂t ∫∫∫Индексы i, j нумеруют ячейку по осямx(3.2)и y соответственно. Величина( ρT ) задается в центре ячейки, а конвективные потоки ( ρ uT ) , ( ρ vT ) – насоответствующих границах ячейки, поэтому они имеют не целочисленныеиндексы.Считаем, что каждый поток постоянен по всей грани. В этом случаеуравнение (3.2) принимает вид( ρuT )i +1/ 2 − ( ρuT )i −1/ 2 ( ρ vT ) j +1/ 2 − ( ρ vT ) j −1/ 2∂+=0( ρ T )i , j +∂t∆x∆y(3.3)В соответствии с требованиями из предыдущего раздела будемпредставлять конвективные члены в неявной форме – на ( n + 1) -ом шаге повремени.

Встает вопрос о представлении потоков на гранях контрольногообъема, т.е. выражении этих потоков через значения в узловых точках. Напервый взгляд кажется, что оптимальным является представление в видесреднего между соседними узлами. Например,1( ρ uT )i + ( ρ uT )i +1  ,21= ( ρ vT ) j −1 + ( ρ vT ) j 2( ρ uT )i +1/ 2 =( ρ vT ) j −1/ 2(3.4)Однако в последующих разделах мы увидим, что это далеко не всегдалучший выбор.Поэтому используем так называемые параметры вверх по потоку. Еслипродольная скорость u ≥ 0 , то поток движется слева направо, и мы полагаем,что( ρ uT )i +1/ 2 = ( ρ uT )i ,( ρ uT )i −1/ 2 = ( ρ uT )i −1Аналогично при поперечной скорости v ≥ 0 поток направлен вверх, и(3.5)( ρ vT ) j +1/ 2 = ( ρ vT ) j ,( ρ vT ) j −1/ 2 = ( ρ vT ) j −1(3.6)В результате уравнение (3.3) представляется в видеΦ in,+j1 − Φ in, j∆tn +1+n +1n +1n +1( uΦ )i , j − ( uΦ )i −1, j ( vΦ )i , j − ( vΦ )i , j −1∆x+∆y=0,(3.7)где Φ = ρTПри решении задачи методом установления при приближении кравновесию Φ in,+j1 ≅ Φin, j , и уравнение (3.7) преобразуется к видуai , j Φ in,+j1 = bi , j Φ in−+1,1 j + ci , j Φ in,+j1−1(3.8)гдеai , j =1 n +1 1 n +11 n +11 n +1ui , j +vi , j , bi , j =ui −1, j , ci , j =vi , j −1∆x∆y∆x∆y(3.9)Рассмотрим случай смешения двух потоков, движущихся параллельно сравной скоростью (см.

рис.2), но с различными температурами в начальномсечении.Если бы теплопроводность λ не равнялась нулю (случай a), то междуэтими потоками образовывался бы слой смешения, в котором функцияΦ = ρT постепенно изменяется от большего значения к меньшему; ширинаэтого слоя в поперечном направлении увеличивается вниз по потоку.В рассматриваемом нами случае теплопроводность отсутствует: λ = 0 ,поэтому слой смешения не образуется, и будет иметь место скачок функцииΦ = ρT в поперечном направлении (случай b).Рис.2. Распределение функции Φ = ρT при наличии (а) и отсутствии (б)теплопроводности: 1 — горячий поток; 2 — холодный потокПостроим сетку так, чтобы ось x была направлена параллельно потоку.

Вэтом случае поперечная составляющая скорости равна нулю. Исходя изформул (3.9) и (3.8), получаем, чтоai , j = bi , j , ci , j = 0(3.10)Φ in,+j1 = Φ in−+1,1 j(3.11)иВ результате данные значения будут устанавливаться во всех точкахвдоль каждой горизонтальной линии. Следовательно, скачкообразныйхарактер профиля Φ и, соответственно, температуры, имеющий место вначальном сечении, будет сохранен. Не происходит размытия профиля и,следовательно, в этом случае искусственная вязкость не появляется.Ситуация значительно изменяется, когда та же задача решается на сетке,узловые линии которой составляют 45° с направлением потока.

Для удобстваиспользуем равномерную сетку с ∆х=∆у. Скорости потока в направленияхосей х и y равны. Исходя из формул (3.9) и (3.8), получаем, чтоai , j = bi , j + ci , j , bi , j = ci , jи(3.12)Φ in,+j1 = 0.5 ( Φ in−+1,1 j + Φ in,+j1−1 )(3.13)Рис.3. Случай потока, направленного под углом 45° к сеточным линиям:1 — горячий поток; 2 — холодный потокДля сетки, показанной на рис.

3, разрыв начального профиля Φобеспечивается равенством всех значений Φ = 100 вдоль левой и Φ = 0 вдольнижней границ. Результат решения во внутренних точках записан околокаждой узловой точки. Если схемная искусственная вязкость отсутствует, тосверху от диагонали, направленной из нижнего левого угла, должныполучиться значения 100 и значения 0 вниз от диагонали. Фактическоерешение дает неточный профиль Φ , подобный тому, какой изображен на рис.2, а.Исходя из этого примера, можно сделать следующие замечания по поводуискусственной вязкости [1].1. Искусственная вязкость имеет место, когда поток наклонен поотношению к линиям сетки и существует ненулевой градиент зависимойпеременной в направлении по нормали к потоку.2.

Приближенное выражение для коэффициента искусственной вязкостидвухмерном случае дано в [1]:Γa =ρU ∆x∆y sin ( 2θ )4 ( ∆y sin 3 θ + ∆x cos3 θ )(3.14)где U — модуль вектора скорости; θ — угол наклона (от 0 до 90º)вектора скорости к направлению оси х. Из этого уравнения видно, чтоискусственная вязкость не появляется, если результирующий потокнаправлен вдоль одной из сеточных линий; кроме того, искусственнаявязкость является максимальной, когда направление потока составляет угол45° с линиями сетки.3.

Вклад искусственной вязкости можно уменьшить, используя меньшиешаги ∆х и ∆y и располагая сетку (если это возможно) так, чтобы сеточныелинии более или менее совпадали с направлением потока.4. Поскольку реальная вязкость имеет место во многих задачах, тодостаточно сделать искусственную вязкость малой по сравнению с реальной.5. Основной причиной возникновения искусственной вязкости являетсяпрактика обращения с потоком через каждую грань контрольного объема какс локально-одномерным. Схемы, которые обеспечили бы меньший вкладискусственной вязкости, должны учитывать многомерную природу потока.Для этого также необходимо включать большее число соседних точек вдискретныйаналог.Внашемслучаеэтоточки( i − 1, j − 1) , ( i − 1, j + 1) , ( i + 1, j − 1) , ( i + 1, j + 1) .В заключение отметим, что искусственная вязкость носит не тольконегативный характер.

Как будет показано далее, ее добавление в численнуюсхему позволяет улучшить сходимость решения и погасить нежелательныенефизичные осцилляции решения в районах скачков уплотнения. Однако этодобавление должно быть контролируемо и носить узколокальный характер..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги