3.5. Расщепление потоков (1013317)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5. Расщепление потоковДля того, чтобы лучше понять разностное представление членов,учитывающих конвективный перенос, рассмотрим упрощенную задачу:1) вязкие члены не учитываются2) течение является одномерным по пространственной координатеВ этом случае основное уравнение (1.1) примет вид∂U ∂FC+=0∂t∂x(5.1)Напомним, что здесь под U,F здесь подразумеваются векторныевеличины, заданные формулами (1.10) и (1.11). При этом в FC входят толькоконвективные члены, а члены, содержащие вязкие напряжения и тепловойпоток, не учитываются.5.1.Модельное уравнениеРассмотрим скалярный аналог этого уравнения∂u ∂f+=0∂t ∂x(5.2)где u, f - обычные функции, причем f = f ( u ) . Таким образом∂u∂u∂f+c= 0, c =∂t∂x∂u(5.3)В главе 2 было показано, что для такого типа уравнений устойчивымимогут быть только следующие разностные схемыδ uiui − ui −1= 0, c > 0∆t∆xu −uδ ui+ c i +1 i = 0, c < 0∆t∆x+c(Более строго будет сказать, что при значениях c > 0(5.4)использованиеразности вперед для аппроксимации производной по x приводит к заведомонеустойчивой разностной схеме, и, наоборот, при c < 0 неустойчивой будетсхема с использование разности назад.)Эти условия имеют глубокий физический смысл.

Дело в том, чтопараметр c, входящий в уравнение (5.3), имеет смысл скорости. Если c > 0 , тоскорость потока направлена слева направо, т.е. точка ( i + 1) находится нижепо потоку, чем точка ( i ) . Исходя из этого, можно предположить, чтопараметры в точке( i + 1) вряд ли влияют на изменения параметров в точке( i ) . Использование второй формулы из (5.4) (разность вперед), такимобразом, в этом случае противоречит физическому смыслу задачи.Аналогичные рассуждения показывают, что при c < 0 (поток движетсясправа налево) первая формула из (5.4) противоречит физическому смыслу.Разностные аппроксимации пространственных производных, в которыхвходят только параметры узлов, находящихся выше по потоку, илипараметры самой рассматриваемой точки, называются разностями противпотока, а схемы, их использующие, называются схемами с разностямипротив потока (течения).В книге [1] представлена наглядная физическая иллюстрация схемыпротив потока.

Схема основывается на модели бак-труба. Как показано нарис. 4., контрольные объемы можно представить как серию отдельных баковс перемешивающейся в них жидкостью, которые соединяются с помощьюкоротеньких трубок. Течение через трубки представляет собой конвекцию.Так как жидкость в баках перемешивается, то каждый бак имеет однородноетемпературное поле. Предположим, что жидкость, текущая в каждойсоединительной трубке, имеет температуру, равную температуре в баке состороны против потока. Обычно жидкость в трубке ничего не должна знать обаке, по направлению к которому она течет, но должна нести полнуюинформацию о баке, из которого она поступает. Это является сутью схемыпротив потока.Рис. 4. Модель бак-трубаИсходя из изложенных соображений, разностный аналог уравнения (5.2)должен иметь следующий вид:δ ui∆t+cui +1/ 2 − cui −1/ 2=0∆x(5.5)гдеcui +1/ 2 = c+ui + c−ui +1 ,(5.6)cui −1/ 2 = c+ui −1 + c−uic+ = max ( c,0 )(5.7)c− = min ( c,0 )В этом случае при любом знаке c получается схема с разностями противпотока.

Действительно, подставив (5.6) в (5.5), получимδ ui∆t5.2.+c+ ( ui − ui −1 )∆x+c− ( ui +1 − ui )∆x(5.8)=0Одномерное уравнение динамики жидкостиПопробуемраспространитьполученныйрезультатнавекторноеуравнение (5.1).Матрица Якоби A =∂FC∂Uможет быть диагонализирована с помощьюпреобразований подобия−1A = ( SA ) Λ ASA ,гдеS A - матрица перехода,( SA )−1(5.9)- обратная ей матрица, Λ A -диагональная матрица, состоящая из собственных значений матрицы A.Конкретный вид всех этих матриц, а также необходимые сведения излинейной алгебры, будут приведены в следующем параграфе.Из (5.1) получаем с учетом (5.9)∂U ∂FC+= 0,∂t∂x∂U∂U+A= 0,∂t∂x(5.10)∂U∂U−1+ ( SA ) Λ A SA=0∂t∂x(5.11)При переходе от n-го к ( n + 1) -му шагу по времени матрицы S A и ( S A )−1выражаются через значения параметров на n-м шаге в рассматриваемом узле,и могут считаться постоянными на этом переходе в этом узле.

Поэтомудомножая (5.11) на S A , получаем∂ ( S AU )∂ ( S AU )+ ΛA=0∂t∂x(5.12)∂U∂U+ ΛA= 0,∂t∂x(5.13)=S UUA(5.14)илигдеПосколькуΛAявляетсядиагональнойматрицейсэлементами( λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , λ5 ) , то векторное дифференциальное уравнение можно разбить на5 отдельных независимых обычных уравнений:∂ul∂u+ λl l = 0, l = 1, 2,3,4,5∂t∂x(5.15)Каждое из этих уравнений по форме и по сути совпадает с модельнымуравнением (5.3), и поэтому для его решения используется такое разностноеуравнение, как и (5.8):δ ui∆t+λ+ ( ui − ui −1 )∆x+λ− ( ui +1 − ui )∆x= 0,(5.16)гдеλ+ = max ( λ ,0 )λ− = min ( λ ,0 )(5.17)Здесь индекс l , нумерующий уравнения для простоты записи опущен.Составим диагональные матрицыΛ A+ λ1+ 0= 0 0 00000000λ3+00λ4 +000λ2+0  λ1−0  00  , Λ A− =  00  0λ5+  00000000λ3−00λ4−000λ2 −0 0 0 0 λ5− (5.18)которые содержат только положительные и отрицательные элементыматрицы Λ A соответственно.Используя это обозначение, все пять разностных уравнений (5.16) можносвести к единой векторной формеiδU∆t+ Λ A+(Ui i −1−U∆x) + Λ (Ui +1A−i−U∆x) =0(5.19)Подставляем в это выражение U = S AU и домножаем его на ( S A )−1δ Ui∆t−1+ ( S A ) Λ A+ S A(U i − U i −1 ) +∆x( SA )−1Λ A− S A(U i +1 − U i ) = 0(5.20)∆xВводим обозначения−1A+ = ( S A ) Λ A+ S A ;−1A− = ( S A ) Λ A− S A(5.21)И получаем следующую разносную аппроксимацию уравнения (5.1)δ Ui∆t+( A+U i + A−U i +1 ) − ( A+U i−1 + A−U i ) = 0(5.22)∆xВ предыдущем параграфе была выведена формула для аппроксимацииосновнойсистемыуравненийвконтрольномобъеме(4.8).Длярассматриваемого случае эта формула имеет вид( FC )i +1/ 2, j ,k − ( FC )i −1/2, j ,k ∂U =0 +∆x ∂t i , j , k(5.23)Сравнивая это выражение с (5.22), получаем, что для обеспечениянеобходимого условия устойчивости конвективные потоки на граняхконтрольного объема следует аппроксимировать формулами( FC )i +1/2, j ,k = A+U i , j ,k + A−U i +1, j ,k( FC )i −1/ 2, j ,k = A+U i −1, j ,k + A−U i , j ,k(5.24)Полученный результат можно интерпретировать схемой, изображеннойна Рис.5.На грань ( i + 1 / 2, j, k ) в момент времени t = t n приходит слева из точки( i, j, k ) часть конвективного потока, определяемая формулойA+U i , j , k ,а справаиз точки ( i + 1, j , k ) приходит часть потока, определяемая формулой A−U i +1, j ,k .Если, например, все собственные значения матрицы A - ( λ1 , λ2 , λ3 , λ4 , λ5 )являются положительными, то матрица Λ A− и, соответственно, матрица A−состоят только из нулевых элементов.

В этом случае влияние на параметрыграни ( i + 1 / 2, j, k ) оказывают только узлы, находящиеся левее этой грани.Рис.5. Направления распространения влияния параметров течения на грань( i + 1 / 2, j, k ) .Полученную важную формулу (5.24) можно записать в более общем виде.Для грани ( i + 1 / 2, j, k ) это( FC )i +1/ 2, j ,k= A+U L + A−U R ,(5.25)где U L - некоторое значение вектора U левее этой грани, а U R - значениевектора U правее этой грани.Существует несколько способов определения параметров, входящих вформулу (5.25).Для правых U R и левых U L используются следующие аппроксимации.1) Формула (5.24) имеет первый порядок аппроксимации. В этом случаеU L = Ui(5.26)U R = U i+12) Аппроксимация второго порядка против потока1( 3U i − U i −1 ) ,21U R = ( 3U i +1 − U i + 2 )2UL =(5.27)3) Аппроксимация третьего порядка против потока1( 3U i +1 + 6U i − U i −1 ) ,81U R = ( 3U i + 6U i +1 − U i + 2 )8UL =(5.28)(Индексы j, k в этих формулах для простоты записи опущены, ноподразумеваются.)Матрицы A+ , A− тоже можно рассчитывать по-разному.1) Расщепление Стеджера-Уорминга [2]A+ = A+ (U L ) ,A− = A− (U R )Считается, что такое представление(5.29)обладает повышенной схемнойвязкостью и плохо описывает течение в пограничном слое.Поэтому чаще используется другое представление.2) Модифицированное расщепление Стеджера-Уорминга [3]A+ = A+ (U LR ) ,A− = A− ( U LR )(5.30)гдеU LR =UL + UR2(5.31)Считается, что такое расщепление потока менее диссипативно, но врайонах сильных скачков уплотнения может стать непригодным.3) Расщепление Ройе [3]:( FC )i +1/2 =( FC ) L + ( FC ) R2−1 ˆAi +1/2 (U R − U L )2(5.32)гдеU + URAˆ i +1/ 2 = A (U LR ) , U LR = L2(5.33)В заключение этого раздела отметим, что в конечно-объемном уравнении(4.8) конвективные потоки G и H на гранях контрольного объемамоделируются абсолютно так же, как поток F.

Только используются в этомслучае матрицы Якоби B =5.3.Матрицы∂GC∂Hи C = C соответственно.∂U∂Uперехода,собственныезначения,собственныевекторыНапомним некоторые определения из линейной алгебры, которые имеютотношение к рассматриваемой проблеме.Пусть L - линейное пространство над полем K, A : L → L- линейноепреобразование.Собственным вектором линейного преобразования A называется такойненулевой вектор x ∈ L , что для некоторого λ ∈ K :Ax = λ x(5.34)Собственным значением линейного преобразования A называется такоечисло λ ∈ K , для которого существует собственный вектор, то есть уравнениеAx = λ x имеет ненулевое решение x ∈ L .Упрощённо говоря, собственный вектор - любой ненулевой вектор x,который отображается оператором в коллинеарный λx, а соответствующийскаляр λ называется собственным значением оператора.Для определения собственных чисел достаточно решить относительно λуравнениеdet ( A − λ I ) = 0 ,(5.35)где det ( A − λ I ) - определитель матрицы ( A − λ I ) , A - матрица линейногопреобразования, I – единичная матрица.Для получения представления (5.9) A = ( S A )−1 Λ A S A необходимо провестиследующие операции.1) Определение матрицы A =∂FC∂U2) Определение ее собственных значений3) Определение соответствующих собственных векторов4) Построение матрицы ( S A )−1 , каждый столбец которой состоит изкомпонент собственных векторов5) Получение матрицы S A обращением матрицы ( S A )−11) Матрицу A =∂FC∂Uможно рассматривать как матрицу некотороголинейного преобразования.Формально для ее определения необходимо выразить все элементывектора FC через элементы вектора U.

Это не очень удобно. Проще ввестинекий вспомогательный векторρ u  V = v   we И представить матрицу∂FCкак производную сложной функции∂U∂FC ∂FC ∂V=∂U∂V ∂UНапомним, что(5.36)(5.37) ρuρ  2 ρu  ρu + p  U =  ρ v  , FC =  ρ vu ρwρwu  ρ E  ρ uE + up (5.38)Выражаем компоненты вектора V через компоненты вектора U: ρ  U1u  U / U   2 1V = v  = U 3 / U1  wU/U   4 1e  1222 U /U −U + U3 + U 4 ) 5 1 2U12 ( 2(5.39)и легко получаем матрицу Якоби1−u / ρ∂V −v / ρ=∂U −w / ρ − E + u 2 + v 2 + w2 / ρ)(Здесь учитывается, что e = E −01/ ρ00001/ ρ0−u / ρ−v / ρ0 0 00 1/ ρ0 − w / ρ 1/ ρ 00(5.40)1 2pu + v 2 + w2 ) , H = E +(ρ2Аналогично поступаем с вектором FC: ρu V1V2 2 2 ρ u + p  V1V2 + p , = V1V3V2FC =  ρ vu  ρ wu V1V4V2 ρ uE + up  V V E + V p 2   1 2u2 u + p,1vu∂FC =wu∂V   uE + ρ uE ,1  +up,1ρ2 ρ u + p,2ρv0p,3ρu(5.41)0p,40ρwρu0 ρ E + ρ uE,2   ρ uE,3   ρ uE,4  + p + up,2    +up,3   +up,4 Здесь используются обозначения производных0  ρ uE,5   +up,50p,50(5.42)p, m =Из формулы E = e +∂p∂E, E, m =∂Vm∂Vm(5.43)1 21u + v 2 + w2 ) = V5 + (V2 2 + V32 + V4 2 ) следует, что(22E,1 = 0,E,2 = u , E,3 = v,E,4 = w,(5.44)E,5 = 1Подставляем эти формулы в (5.42):u u2 + p,1∂FC vu=∂V wuu E + p,1 ) (ρ0p,30p,4ρu0ρu2 ρ u + p,2ρvρw( ρ E + ρu20+ p + up,2 ) u ( ρ v + p,3 ) u ( ρ w + p,4 ) (5.45)00u ( ρ + p,5 ) 0p,5Заметим, что во всех этих формулах пока не учитывается формазависимости давления pот компонент вектора V.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги