2.2. Дискретизация исходного уравнения (1013299)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

2.Дискретизация исходного уравнения.Для простоты в этом разделе предположено, что переменная Φ являетсяфункцией только одной независимой переменной x . Однако разработанныездесь идеи будут применимы также в случае зависимости более чем от однойнезависимой переменной.Пусть у нас есть некоторой отрезок D на оси x , и на этом отрезкепоставлена некоторая дифференциальная краевая задача. Это значит, чтозадано дифференциальное уравнение, которому должно удовлетворятьрешение Φ на отрезке D и дополнительное условие для Φ на одном или наобоих концах отрезка.

Дифференциальную краевую задачу можно записать ввиде символического равенстваLφ = f ,(2.1)где L - заданный дифференциальный оператор, f - заданная праваячасть. Например, для задачиdφx+= cos ( x ) , 0 ≤ x ≤ 1,dx 1 + φ 2(2.2)φ (0) = 3достаточно положить:x dφ dx + 1 + φ 2 , 0 ≤ x ≤ 1,Lφ ≡ φ ( 0 )(2.3)cos ( x ) , 0 ≤ x ≤ 1,f ≡3Для вычисления φ численным методом надо прежде всего выбрать наотрезкеDконечное число точек, совокупность которых называетсясеточными узламии обозначается через Dh . Вводится шаг сетки h .Например, если в качестве D используется отрезок [ 0,1] , и число узлов сеткиравно N , то можно положить, что шаг равенh=1N −1(2.4)Узлы сетки в этом случае это совокупность точек:x1 = 0, x2 = h, x3 = 2h, …, xN = ( N − 1) h = 1(2.5)Таким образом, в качестве основных неизвестных в численном методерассматриваются значения зависимой переменной в конечном числе точекрасчетнойобласти.Методвключаетвсебяполучениесистемыалгебраических уравнений для этих неизвестных и алгоритм решения этихуравнений.

Будем обозначать набор решений этих алгебраических уравненийчерез φ ( h) . Обозначим через φn решение в точке xn , т.е.φ ( h) = (φ1 ,φ2 ,φ3 ,...,φN )(2.6)Рассматривая значения в узловых точках, мы заменили непрерывнуюинформацию,содержащуюсявточномрешениидифференциальногоуравнения, дискретными значениями. Таким образом, мы дискретизировалираспределение Ф, и этот класс численных методов назовем методамидискретизации. Возможные дискретные аналоги данного дифференциальногоуравнения являются неединственными, хотя предполагается, что в пределеочень большого числа узловых точек все типы дискретных аналогов даютодно и то же решение.Дискретный аналог задачи (2.1) можно символически записать в виде:Lhφ ( h) = f ( h )Дискретизациюзаданногодифференциального(2.7)уравненияосуществить множеством способов.

Рассмотрим некоторые из них.можно2.1. Использование рядов Тейлора.Разложение в ряд Тэйлора около узловой точки n , расположеннойпосередине между точками ( n − 1) и ( n + 1) дает:1  ∂ 2φ  2 ∂φ h+ h − ...2  ∂x 2  n ∂x  nφn −1 = φn − (2.8)1  ∂ 2φ  ∂φ φn +1 = φn +   h +  2  h 2 − ...2  ∂x n ∂x nЕсли во втором из этих уравнения отбросить всечлены, начиная стретьего, то получим: ∂φ  φn +1 − φn  ≈h ∂x n(2.9)Если отбросить все члены рядов (2.8) начиная с четвертого и сложить их,получим: ∂ 2φ  φn +1 − 2φn + φn −1 2 ≈h2 ∂x n(2.10)Если же в этом случае вычесть первое из уравнений (2.8) из второго, тополучится еще одна формула для аппроксимации первой производной: ∂φ  φn +1 − φn −1  ≈2h ∂x  n(2.11)Таким образом, дискретный аналог задачи (2.3) можно представить в видеLhφ(h)xn φn + 1 − φn+, 1 ≤ n ≤ N − 1,1 + φn 2≡ hφ 1cos ( xn ) , 1 ≤ n ≤ N − 1,hf( ) ≡32.2.

Метод контрольного объема.(2.12)Основная идея метода контрольного объема легко понятна и поддаетсяпрямой физической интерпретации. Расчетную область разбивают нанекоторое число непересекающихся контрольных объемов таким образом,что каждая узловая точка содержится в одном контрольном объеме.Дифференциальное уравнение интегрируют по каждому контрольномуобъему.

Для вычисления интегралов используют кусочные профили, которыеописывают изменение Ф между узловыми точками. В результате находятдискретный аналог дифференциального уравнения, в который входятзначения Ф в нескольких узловых точках.Полученный подобным образом дискретный аналог выражает законсохранения Ф для конечного контрольного объема точно так же, какдифференциальное уравнение выражает закон сохранения для бесконечномалогоконтрольногообъема.Однимизважныхсвойствметодаконтрольного объема является то, что в нем заложено точное интегральноесохранение таких величин, как масса, количество движения и энергия налюбой группе контрольных объемов и, следовательно, на всей расчетнойобласти.

Это свойство проявляется при любом числе узловых точек, а нетолько в предельном случае очень большого их числа. Таким образом, дажерешение на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным балансам.Рассмотримстационарнуюодномернуюзадачутеплопроводности,описываемую уравнениемd  dTλdx  dx+S =0(2.13)где λ — коэффициент теплопроводности; T — температура; S —скорость выделения теплоты в единице объема.Подготовка. Для получения дискретного аналога будет использованопоказанное на рис. 1 расположение узловых точек.Рис. 1. Шаблон узловых точек для одномерной задачиИспользуем при этом обозначения С.Патанкара [1].

В центре нашеговнимания оказывается точка P , окруженная точками E и W ( E — восточнаясторона, т. е. направление вдоль оси x , W —западная сторона, т. е.направление, обратное направлению оси x ). Штрихом показаны границыконтрольного объема; сейчас нас не интересует их точное расположение. Этиграницы обозначены буквами e и w .Для рассматриваемой одномерной задачи предположим, что размерыконтрольного объема в направлениях y и z равны единице. Таким образом,объем показанного контрольного объема равен h ×1×1.

Интегрируя (2.13) поконтрольному объему, получаемe dT   dT λ −λ + ∫ Sdx = 0 dx e  dx  w w(2.14)Если интерполировать температуру T между узлами линейной функцией,то из (2.14) получим:λeВажнымвопросомTE − TPT −T− λw P W + Sh = 0hhявляетсяаппроксимация(2.15)источника.Частоисточниковый член является функцией самой зависимой переменной T , итогда желательно учесть эту зависимость при построении дискретногоаналога. Однако формально можем учитывать только линейную зависимость,так как решение дискретных уравнений будет осуществляться, как увидимпозже, с помощью методов решения систем линейных алгебраическихуравнений.

Запишем среднее значение S в видеS = SC + S PTP(2.16)где SC представляет собой постоянную составляющую S , a S P —коэффициент (очевидно, что S P не есть значение S в точке Р).В результате получаем:aPTP = aETE + aW TW + b(2.17)гдеaP =aE =λehλeh+λwh− S P h = aE + aW − S P h,, aW =λwh(2.18), b = SC h2.3. Основные правила, вытекающие из физического смысла методаконтрольного объемаСтоит учесть некоторые правила, которые следуют из физическогосмысла метода контрольного объема [1].1) Выражение потока через границу, общую для двух прилегающихконтрольных объемов, при записи дискретных аналогов уравнения для этихобъемов должно быть одним и тем же.2) В большинстве из интересующих нас задач влияние значениязависимой переменной в точках, соседних с некоторой узловой, на значениев этой узловой точке обусловлено процессами конвекции и диффузии.Следовательно, увеличение значения в одной узловой точке должно, припрочих равных условиях, привести к увеличению (а не уменьшению)значения в соседней узловой точке.

Тогда, как видно из уравнения (2.17), изувеличения TP при увеличении TE следует, что коэффициенты aP и aEдолжны иметь одинаковый знак. Другими словами, в общем случае,описываемом уравнением (2.17), знаки коэффициентов перед значениямизависимой переменной в соседних точках aE и aW и коэффициента перед еезначением в центральной точке aP должны быть одинаковыми.3) В формуле (2.16) коэффициент S P должен быть либо отрицательным,либо равным нулю.Действительно, если бы S P был положительным, физический процесс могбы стать неустойчивым. Положительность S P свидетельствует о ростеисточникового члена при увеличении TP , а это, в свою очередь, можетпривести, если нет эффективного механизма отвода теплоты, к возрастаниюTP и т.д.

С вычислительной точки зрения во избежание неустойчивостей ифизически нереальных решений целесообразно сохранять S P отрицательным.4) Уравнение (2.17) выведено для одномерного случая. В общем случаеудобно представить это уравнение в видеaPTP = ∑ anbTnb + b(2.19)где индекс nb обозначает соседние точки, и суммирование производитсяпо всем соседним точкам.Для случаев, когда дифференциальное уравнение удовлетворяется такжепри добавлении к зависимой переменной постоянной величины, необходимо,чтобыaP = ∑ anb(2.20).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги