4.4. Уравнения переноса напряжений Рейнольдса (1013332)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4. Уравнения переноса напряжений РейнольдсаВ предыдущих разделах моделирование турбулентности было основанона использования гипотезы Буссинеска, по которой напряжения Рейнольдсапропорциональны коэффициенту турбулентной вязкости и градиентускорости (точнее, тензору скоростей деформации).Альтернативнымподходомявляетсянепосредственноеполучениедифференциальных уравнений переноса напряжений Рейнольдса.А 70-80-ые годы 20-го столетия на этот метод возлагались большиенадежды. Казалось, что как только вычислительные мощности позволятэффективно решать 6 дополнительных уравнений переноса напряженийРейнольдса, сразу будут сняты все основные проблемы моделированиятурбулентности.

Однако, практика показала, что использование полноготензоранапряженийсущественныхРейнольдсапреимуществповбольшинствесравнениюсслучаевнедаетдвухпараметрическимимоделями.Кроме того, численное решение получившейся системы уравненийвесьма затруднительно из-за плохой сходимости.Тем не менее, исследование уравнений переноса напряжений Рейнольдса,анализ характера зависимостей членов, входящих в эти уравнения, позволяет,не решая эти уравнения, использовать их как руководство для построенияболее простых двухпараметрических моделей, для проверки и уточнениягипотез, которые в них использовались.4.1.

Вывод основного уравненияУравненияпереноса напряжений Рейнольдса выводятся аналогичновыводу уравнения переноса турбулентной кинетической энергии KОчевидно, что∂∂∂∂ ρ ui′′u j′′ +ρ uk ui′′u j′′ =  ρ ui′′u j′′  + ρ uk + uk ′′ ui′′u j′′  =∂t∂xk∂t  ∂xk  ∂ ∂∂ =  ρ ui′′u j′′  + ρ uk ui′′ui′′  + ρ uk ′′ui′′u j′′ ∂t  ∂xk  ∂xk )()()((4.1)С другой стороны:∂∂∂ ′′ ′′∂∂ρ∂′′′′′′′′′′′′′′′′ρ ui u j +ρ uk ui u j = ρui u j + ρ u kui u j + ui u j+( ρ uk )  = ∂t ∂xk∂t∂xk∂t∂xk=0 ∂u ′′ ∂u ′′∂u j′′ ∂u ′′ j′′ + ρ u j′′  i + uk i = ρ ui+ uk∂xk ∂xk  ∂t ∂t)()()(()∂ui′′∂u ′′ ∂u∂u ∂u∂u∂u+ uk i = i + uk i − i − uk i − uk ′′ i∂t∂xk∂t∂xk ∂t∂xk∂xk∂uj∂uj′′+ uk=+ uk−− uk− uk∂t∂xk∂t∂xk∂t∂xk∂xk∂u j′′∂u j′′∂u j∂u j∂ujТ.е.∂∂ρ ui′′u j′′ +ρ uk ui′′u j′′ =∂t∂xk())(∂u ∂u ∂u ∂u∂u ∂u= ui′′  ρ j + ρ uk j  + u j′′  ρ i + ρ uk i  − ρ ui′′uk ′′ j − ρ u j′′uk ′′ i∂xk ∂xk ∂xk∂xk ∂t ∂t(4.2)Приравниваем (4.1) и (4.2) и получаем:∂  ∂  ρ u u ∂  ρ u ′′u ′′u ′′  = ρ ui′′u j′′  + k i′′ui′′  + k i j ∂t  ∂xk  ∂xk ∂u ∂u ∂u ∂u∂u ∂u= ui′′  ρ j + ρ uk j  + u j′′  ρ i + ρ uk i  − ρ ui′′uk ′′ j − ρ u j′′uk ′′ i∂xk ∂xk ∂xk∂xk ∂t ∂t(4.3)Т.к.ρ∂ui∂u∂p ∂τ ik+ ρ uk i = −δ ki+,∂t∂xk∂xk ∂xk∂p ∂τ jkρ+ ρ uk= −δ kj+∂t∂xk∂xk ∂xk∂u j∂u j(4.4)то∂  ∂  ρ u u ∂  ρ u ′′u ′′u ′′  = ρ ui′′u j′′  + k i′′ui′′  + k i j ∂t  ∂xk  ∂xk (4.5) ∂p ∂τ jk ∂uj ∂p ∂τ ik ∂ui′′′′′′′′′′= ui′′  −++u−+−uu−uuρρj i kjk∂xk∂xk ∂x j ∂xk  ∂xi ∂xk С учетом того, что ∂p ∂τ jk ∂τ jk∂p∂p∂p′∂++ ui′′= −ui′′− ui′′+ui′′  − = −ui′′∂x j∂xk∂x j∂x j ∂xk ∂x j ∂xk = −ui′′ u ′′τ  − τ ∂ui′′ = i jk  jk∂xk,∂p∂ ∂ui′′∂  ′′ ∂ui′′∂u ′′−+− τ jk ′ i p′ui′′  + p′ ui τ jk  − τ jk∂x j ∂x j ∂x j ∂xk ∂xk∂xk ∂p ∂τ ik ∂p∂  + p′ ∂u j′′ + ∂  u ′′τ  − τ ∂u j′′ − τ ′ ∂u j′′ ,′′′′′u j′′  −+=−u−pu j ik  ikjjik∂xi ∂xi ∂xi ∂xk ∂xk∂xk ∂xi ∂xk получаем окончательно:∂  ∂  ρ u u ∂ − ρ u ′′u ′′u ′′ + u ′′τ + u ′′τ ρ ui′′u j′′  + k i′′ui′′  =kijijkj ik ∂t  ∂xk  ∂xk  (I )∂u∂u  ∂p∂p −  ρ ui′′uk ′′ j + ρ u j′′uk ′′ i  −  ui′′+ u j′′  ∂x jxxx∂∂∂kki ( III )( II ) ∂   ∂ui′′∂u j′′ ∂p′u ′′ +p′u j′′   + p′−+ p′ ∂x  i  ∂x   ∂x∂xi jij ( IV )(V )∂u ′′   ∂u ′′∂u ′′∂u ′′− τ jk ′ i + τ ik ′ j  − τ ik j + τ jk i ∂xk∂xk  ∂xk∂xk  (VI )(VII )Физический смысл членов справа:( I ) - турбулентная и молекулярная диффузия;( II ) - генерация напряжений Рейнольдса;(4.6)( III ) - работа сил давления; этот член возникает только в сжимаемыхтечениях, вероятно, им можно пренебречь;( IV ) - этот член обычно включают в диффузию;(V ) - корреляция пульсаций давления со скоростями деформаций;(V ) - вязкая диссипация.Членом (VII ) , как и в уравнении переноса K , можно пренебречь.Таким образом, источник в уравнении переноса напряжений Рейнольдсавыглядит какSij = Ρ ij − ρε ij + Κ ij ,(4.7)∂uj∂u Ρij = −  ρ ui′′uk ′′+ ρ u j′′uk ′′ i  ,∂xk∂xk ,′′′′′′′′∂∂uu∂∂uuρε ij = τ jk ′ i + τ ik ′ j  , Κ ij =  p′ i + p′ j  ∂x j∂xk∂xk ∂xi (4.8)гдеЧленΡ ij ,учитывающийгенерацию, нетребует дополнительныхсоотношений, т.к.

в него не входят никакие новые параметры. А вот дляостальных членов требуется ввести некоторые гипотезы.1) Диссипативный член ρε ijПри больших числах Рейнольдса мелкомасштабные диссипативныетурбулентныедвиженияможносчитатьизотропными(локальнаяизотропность), так что этот член можно записать следующим образом [4]:23ε ij = εδ ij(4.9)Для пристеночной турбулентности этот тензор считается анизотропным:ε ij =ui′′u j′′Kε2) Корреляция пульсаций давления со скоростями деформаций Κ ij(4.10)Длянесжимаемойжидкостиэтавеличинамоделируетсясиспользованием уравнения Пуассона.Длясжимаемойжидкостиудобно,преждевсего,ввестибездивергентный тензорΠ ij = p′∂u j′′ 2∂ui′′∂u ′′2+ p′− δ ij p′ k = Κ ij − δ ij p′d ′′,∂x j∂xi 3∂xk3Напомним, что корреляция Κ = p′(4.11)∂uk ′′= p′d ′′ входит уравнение переноса∂xkтурбулентной кинетической энергии (3.12).Как указано в работе [4], в величину Π ij вносят вклад отдельныепроцессы: взаимодействие только пульсаций скорости – определяется Π ij (1) ,взаимодействие пульсаций скорости и средних деформаций - Π ij ( 2) :Π ij = Π ij ( ) + Π ij (1Первая2)часть имеет смысл тенденции(4.12)к изотропности идлянесжимаемой жидкости моделируется через диссипацию [4]:Π ij(1) u′′ ′′ 2 i uj= −C1 ρε− δ ij  K3 (4.13)где C1 - числовая константа.Вторая часть (так называемая «быстрая часть») для несжимаемойжидкости моделируется следующим образом [4]:2Π ij ( 2 ) = −C2  Ρij − Ρ K δ ij 3(4.14)где C2 - числовая константа.

Хотя возможны и гораздо более сложныеформулы для быстрой части. Вопросу определения этой величины длясжимаемых течений будет посвящен следующий параграф.4.2.Модель турбулентности для сжимаемых высокоскоростныхтечений, основанная на представлении корреляции "давление - скоростидеформаций"Модели турбулентности, разработанные для несжимаемой жидкости,плохо описывают сверхзвуковыесжимаемые течения. Известно, чтосжимаемость оказывает стабилизирующее воздействие на турбулентность,уменьшая с ростом числа Маха интенсивность турбулентного смешения.В современных задачах авиационной и ракетно-космической техникиэтот эффект играет важнейшуюроль. Например, в сверхзвуковыхпрямоточных двигателях из-за влияния сжимаемости замедляется смешениегорючего с окислителем, что влияет на процесс горения.

Сжимаемостьизменяет характер перехода ламинарного режима течения в турбулентный наповерхности спускаемого аппарата при входе в атмосферу.Как уже указывалось в предыдущих параграфах, вработахСаркара[9,11], Земана [10], автора[12,17,18] и других исследователей предполагается,что эффект замедления турбулентного смешения с ростом скорости связан споявлениемвуравнениитурбулентнойкинетическойэнергиидополнительной сжимаемой диссипации, которая зависит от турбулентногочисла Маха и происходит на мелкомасштабном уровне.Однако последние исследования (например, Гиримаджи [19]) показали,что основное воздействие сжимаемости на турбулентность осуществляетсяуже на уровне крупных масштабов и связано с тем, что пульсации давлениявоздействуют на турбулентность совершенно иначе, чем в несжимаемойжидкости.В данной работе предложена модель турбулентности, основанная намоделировании корреляции "давление - скорости деформаций" в зависимостиот скорости потока и на гипотезе о том, что основную роль в механизметурбулентного переноса играют пульсации скорости, направленные понормали к линиям тока.Считаем, что для "медленной" части Π ij (1) , которая имеет физическийсмыслтенденциикизотропностиисвязанасмелкомасштабнойтурбулентностью, справедлива та же формула, что и для несжимаемойжидкости (формула (4.13)):Π ij(1) u′′ ′′ 2 i uj= −C1ρε− δ ij  K3 (4.15)где C1 = 1.8 - числовая константа [4].«Быстрая» часть Π ij ( 2) связана с крупномасштабной турбулентностью.Поэтому в данной работе сделано предположение, что именно через нееосуществляется влияние пульсаций давления на развитие турбулентности.Результаты прямого численного моделирования (DNS), полученныеГиримаджи Ш.С.

[19], показывают, что дляΠ ij (2)можно использоватьформулуΠ (ij ) = CΠ1Π ij( ) − CΠ 2 Pij ,2P(4.16)и что характер влияния пульсаций давления в зависимости от скоростипотока можно разбить на 3 области:1) При малых скоростях потока пульсации давления ведут себя так же,как и в несжимаемой жидкости, и «быстрая» часть Π ij рассчитывается черезуравнение Пуассона (обозначена как Π (ijP ) ). В этой области CΠ1 = 1, CΠ 2 = 0 .2) При дальнейшем росте скорости величина Π ij ( 2) становится меньше,чем рассчитываемая через уравнение Пуассона, кроме того, на нее оказываетподавляющее воздействие тензор скоростей деформаций через генерацию.Именно этот эффект и приводит к стабилизирующему воздействию натурбулентность.

В этой области CΠ1 → 0, CΠ 2 → 1 .3) Наконец при очень больших скоростях «быстрая» часть становитсяпренебрежимо малой по сравнению с генерацией. Пантано и Саркар [20]показали, что это связано с тем, что при больших значениях числа Махаскорость распространения воздействия пульсаций давления (скорость звука)слишком мала, чтобы влиять на турбулентность. В этой областиCΠ1 = 0, CΠ 2 = 0 .Вкачествеосновногокритериявданнойработеиспользуетсятурбулентное число Маха M T = 2 K / a , а для функциональных зависимостейCΠ1 , CΠ 2 предлагается следующая аппроксимация кубическими параболами:1, M T ≤ α1M − α1CΠ1 ( M T ) = 1 − 3 x 2 + 2 x 3 , x = T, α1 < M T < β1β1 − α10, M T ≥ β10, M T ≤ α 2CΠ 2,max ( 3x 2 + 2 x3 ) , x = M T − α 2 , α 2 < M T ≤ β 2β2 − α 2CΠ 2 ( M T ) = M T − β223C, β2 < M T < γ 2Π 2,max (1 − 3 x + 2 x ) , x =γ 2 − β20, M T ≥ γ 2(4.17)где α1 = α1 = 0.1; β1 = 0.27; β 2 = 0.315; γ 2 = 10; CΠ 2,max = 0.65Для моделирования Π (ijP ) используется формула (4.14):2Π ij ( P ) = −C2  Ρ ij − Ρδ ij  ,3(4.18)где C2 = 0.6 - числовая константа [4].Подставляя полученные соотношения в формулу (4.7), получаемвыражение для источника в уравнении переноса напряжений Рейнольдса22ρεδ ij + Π ij + δ ij p′d ′′ =33 u′′ ′′ 2 22i ujP= Ρij − ρεδ ij − C1 ρε − δ ij  + CΠ1Π ij( ) − CΠ 2 Pij + δ ij p′d ′′ =, (4.19) K33 3 u′′ ′′ 2p′d ′′  2 i uj= (1 − CΠ1C2 − CΠ 2 ) Pij + C2CΠ1Ρδ ij − C1+ 1 − C1 +δ ij  ρερε3K3 Sij = Ρij − ρε ij + Κ ij = Ρ ij −Уравнение переноса турбулентной кинетической энергии K получаетсясворачиванием уравнения (4.6) по индексам:∂∂∂ µ( ρ K ) + ( ρ uk K ) =  µ + T∂t∂xk∂xk σK ∂K  + Ρ (1 − CΠ 2 ) + p′d ′′ − ρε , ∂xk (4.20)12где Ρ = Pii = ρ ui′′uk ′′∂ui- генерация турбулентной кинетической энергии,∂xkp′d ′′ ≈ 0 .Здесь используется градиентное представление диффузионного потока K.Делаем предположение, что уравнение переноса скорости диссипации εимеет стандартную форму, за исключением того, что в ней такжеучитывается подавляющее воздействие сжимаемости на генерацию:∂∂∂ µ( ρε ) + ( ρ uk ε ) =  µ + T∂t∂xk∂xk σε ∂ε  ε + Cε 1Ρ (1 − CΠ 2 ) − Cε 2 ρε  ∂xk  K(4.21)Таким образом, получена замкнутая система уравнений, позволяющихопределять напряжения Рейнольдса в высокоскоростных потоках, решаясоответствующие уравнения в частных производных.В эту систему входит 6 уравнений для компонент тензора напряженийРейнольдса и уравнение для скорости диссипации (4.21).

Решение этойсистемы представляет довольную большую математическую сложность,однако, ее можно существенно упростить. Практика показывает, что оченьблизкиерезультатыполучаются,есливместорешениясистемыдифференциальных уравнений в частных производных для напряженийиспользовать так называемые алгебраические модели для напряжений.Для построения такой модели делаем допущение, что конвекцияидиффузия в уравнениях переноса компонент тензора напряжений Рейнольдсаui′′u j′′ находятся в балансе. В этом случае из уравнения (4.6) получаютсяследующие формулы для недиагональных компонент тензора:i ≠ j:ui′′u j′′K=(1 − CΠ1C2 − CΠ 2 )PijC1ρε,(4.22)Кроме того, используем тот факт, что, как было показано в начале главы,при турбулентном смешении потоков основную роль играют пульсациискорости Vn′′ , направленные по нормали к линиям тока.Рассмотрим сначала двумерное течение - тонкий сдвиговой слой, вкотором качестве координаты с индексом «1» используется направлениевдоль основного движения потока, а индексом «2» обозначаем координату,направленную перпендикулярно основному движению.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги