3.7. Разностная форма уравнений Навье-Стокса и способы решения системы (1013321)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

7. Разностная форма уравнений Навье-Стокса и способы решениясистемы7.1.Разностное уравнениеРазностная форма системы уравнений Навье-Стокса получается изосновного уравнения (4.8)δ U in, +j ,1k∆t+Fi +1/ 2, j ,k − Fi −1/ 2, j ,k∆x+Gi , j +1/ 2,k − Gi , j −1/ 2,k∆y+H i , j ,k +1/2 − H i , j ,k −1/ 2∆z=0(7.1)путем подстановки полученных в предыдущих параграфах представленийпотоков на гранях контрольного объема.Конвективные потоки (формулы (5.70) и аналогичные ей формулы):( FC )i +1/ 2, j ,k = ( FC )i +1/ 2, j ,k + α ( A+ )i+1/2, j ,k δ U in, +j ,1k + ( A− )i +1/ 2, j ,k δ U in++1,1j ,k  ,nnnnn+ α ( A+ )i −1/ 2, j , k δ U in−+1,1 j ,k + ( A− )i −1/2, j ,k δ U in, +j ,1k  ,n( FC )i −1/ 2, j ,k = ( FC )i −1/2, j ,k( GC )i , j +1/2,k = ( GC )i, j +1/2,k + α ( B+ )i, j +1/ 2,k δ U in, +j ,1k + ( B− )i, j +1/ 2,k δ U in, +j +11,k  ,nnnnn+ α ( B+ )i , j −1/ 2,k δ U in, +j −11,k + ( B− )i , j −1/ 2,k δ U in, +j ,1k  ,n( GC )i , j −1/ 2,k = ( GC )i , j −1/ 2,k( H C )i, j ,k +1/ 2 = ( H C )i, j ,k +1/ 2 + α ( C+ )i, j ,k +1/ 2 δ U in, +j ,1k + ( C− )i, j ,k +1/ 2 δ U in, +j ,1k +1  ,n( H C )i, j ,k −1/2(7.2)n(7.3)nnn= ( H C )i , j ,k −1/2 + α ( C + )i , j ,k −1/ 2 δ U in, +j ,1k −1 + ( C − )i , j ,k −1/ 2 δ U in, +j ,1k n(7.4)Вязкие потоки (формулы (6.17), (6.18) и т.п.):n( FV )i +1/2, j ,k = ( FV )i +1/2, j ,k + α Lni +1/2, j ,kn( FV )i −1/2, j ,k = ( FV )i −1/ 2, j ,k + α Lni −1/ 2, j , k1δ U in++1,1 j , k − δ U in, +j ,1k ) ,(∆x1(δ U in, +j ,1k − δ U in−+1,1j ,k ) ,∆x(7.5)1δ U in, +j +11,k − δ U in, +j ,1k ) ,(∆y1δ U in, +j ,1k − δ U in, +j −11,k ) ,(∆y(7.6)1δ U in, +j ,1k +1 − δ U in, +j ,1k ) ,(∆z1δ U in, +j ,1k − δ U in, +j ,1k −1 )(∆z(7.7)n( GV )i, j +1/2,k = ( GV )i, j +1/ 2,k + α N in, j +1/ 2,kn( GV )i, j −1/ 2,k = ( GV )i , j −1/2,k + α Nni , j −1/2, kn( HV )i , j ,k +1/ 2 = ( HV )i , j ,k +1/2 + α K in, j ,k +1/2n( HV )i , j ,k −1/2 = ( HV )i , j ,k −1/ 2 + α Kni , j , k −1/ 2В результате подстановки получаем основное разностное уравнение:Ai , j ,k δ U in, +j ,1k + Di , j ,k δ U in++1,1 j ,k + Ei , j ,k δ U in−+1,1 j ,k + Bi , j ,k δ U in, +j +11,k + Ci , j ,k δ U in, +j −11, k+ Fi , j ,k δ U in, +j ,1k +1 + G i , j ,k δ U in, +j ,1k −1 = ∆U in, j , k(7.8)где∆t ∆t nnnnFC )i +1/ 2, j , k − ( FC )i −1/ 2, j ,k  −GC )i , j +1/ 2, k − ( GC )i , j −1/ 2,k (( ∆y ∆x ∆t∆t nnnn− ( H C )i , j ,k +1/ 2 − ( H C )i , j ,k −1/ 2  −( FV )i+1/ 2, j ,k − ( FV )i−1/ 2, j ,k ∆z∆x∆t ∆t nnnn−GV )i , j +1/2,k − ( GV )i , j −1/ 2, k  −HV )i , j ,k +1/ 2 − ( HV )i , j , k −1/2  ,(( ∆z ∆y ∆U in, j ,k = −Ai , j ,k = I +α∆t (∆x α∆tnnA+ )i +1/2, j ,k − ( A− )i −1/ 2, j , k  − 2 ( Lni +1/ 2, j ,k + Lni −1/2, j ,k ) ∆xα∆tnn( B+ )i , j +1/2,k − ( B− )i , j −1/ 2,k  − 2 ( N in, j +1/ 2,k + N in, j −1/ 2,k )∆y∆yα∆t α∆tnn+C + )i , j ,k +1/ 2 − ( C − )i , j ,k −1/ 2  − 2 ( K in, j , k +1/ 2 + K in, j ,k −1/2 ) ,( ∆z∆z +(7.9)α∆t Di , j , k = +Ei , j ,k = −Bi , j , k = +Ci , j ,k = −Fi , j ,k =G i , j ,kα∆t∆xα∆t∆xα∆t∆yα∆t∆yα∆tn( A− )i +1/ 2, j ,k +n( A+ )i −1/2, j ,k +n( B− )i, j +1/ 2,k +n( B+ )i, j −1/ 2,k +n( C − )i, j ,k +1/ 2 +α∆t∆x 2α∆t∆x 2α∆t∆y2α∆t∆y 2α∆t2(7.10)Lni +1/ 2, j ,k ,(7.11)Lni −1/ 2, j ,k ,(7.12)N in, j +1/ 2,k ,(7.13)N in, j −1/ 2,k ,(7.14)K in, j ,k +1/2 ,∆z∆zα∆tα∆tn=−( C + )i, j ,k −1/2 + 2 K in, j ,k −1/2∆z∆z(7.15)(7.16)Здесь:∆U in, j ,k - приращения вектора U при переходе от n - го шага по времени к( n + 1) -му шагу, вычисленное явным методом;A i , j , k , Di , j , k , Ei , j , k , B i , j , k , Ci , j , k , Fi , j , k G i , j , k- блочные матрицы коэффициентов,каждый из них является матрицей размера ( 5 × 5 ) ;Матрицы A+ , A− , B+ , B− , C + , C − вычисляются по формулам (5.21),(5.75) и имподобной.Матрицы L, N , K вычисляются по формулам (6.15) при использованиипредположения о «тонком слое», либо по формуле (6.25) при использованиипредположения о «малости дивергенции скорости».Разностное уравнение (7.8) имеет точно такую же форму, какрассмотренные в главе 2 уравнения.

Оно содержит 7 неизвестных векторовδU .Вся система линейных алгебраических уравнений описываетсясемидиагональной матрицей блочных коэффициентов.Для его решения можно использовать методы, описанные в главе 2:итерационный метод Гаусса-Зейделя с переменой направлений, методприближенной факторизации, модифицированный метод приближеннойфакторизации Маккормака и т.п.Только надо иметь в виду, что коэффициенты в системе линейныхуравнений теперь являются не числами, а матрицами размера ( 5 × 5 ) .Поэтому при решении системы уравнений с трехдиагональной матрицейследует использовать не скалярную, а векторную прогонку.7.2.Векторная прогонкаМетод векторной прогонки аналогичен методу скалярной прогонки.Единственное существенное отличие состоит в том, что вместо деления начисло используется умножение на обращенную матрицу.Пустьврезультатефакторизацииуравнения(7.8)возникланеобходимость решения системы уравнений с блочной трехдиагональнойматрицейam Φm = bm Φm +1 + cm Φm−1 + d mгде m = 1, 2,..., N − 1, N .(7.17)Здесь неизвестная величина Φ и коэффициент d являются векторами,размер которых равен 5.

Коэффициенты am , bm , cm являются матрицами ( 5 × 5 ) .Для m = 1, m = N коэффициенты(7.18)c1 = 0, bN = 0где 0 - матрица, состоящая из нулевых элементов.Остальные коэффициенты в этих точках определяются из граничныхусловийЗаписанные условия (7.17), (7.18) означают, чтоΦ1известна взависимости от Φ2 . Уравнение для m = 2 представляет собой соотношениемежду Φ1 , Φ2 , Φ3 . Но поскольку Φ1 может быть выражена через Φ2 , этосоотношение приводится к соотношению между Φ2 и Φ3 . Другими словами,Φ2 можно выразить через Φ3 .

Процесс подстановки можно продолжать дотех пор, пока значение ΦN не будет выражено через ΦN +1 . Но поскольку ΦN +1не существует, мы в действительности на данном этапе получим численноезначение ΦN . Это позволит нам начать процесс обратной подстановки, вкотором ΦN −1 получится из ΦN , ΦN − 2 — из ΦN −1 , ..., Φ2 — из Φ3 и Φ1 — из Φ2 .Предположим, что при прямой подстановке имеем зависимостьΦm = Pm Φm +1 + Qm(7.19)Φm −1 = Pm −1Φm + Qm −1(7.20)после того, как полученоПодставляя (7.20) в (7.17), получаем следующее соотношение:−1Φm = ( am − cm Pm−1 ) bm Φm+1 + ( am − cm Pm−1 )( cmQm−1 + d m )Сравниваем это выражение с (7.19) и получаем(7.21)формулы дляпрогоночных коэффициентов Pm , Qm :−1Pm = ( am − cm Pm −1 ) bm ,Qm = ( am − cm Pm −1 )−1( cmQm−1 + d m )(7.22)Эти рекуррентные соотношения определяют Pm , Qm через Pm−1 , Qm−1 .Заметим, что в начале рекуррентного процесса уравнение (7.17) для m = 1 поформе почти совпадает с (7.19).

Таким образом, P1 , Q1 определяются вследующем виде:P1 = a1−1b1 , Q1 = a1−1d1(7.23)На другом конце последовательности Pm , Qm имеем bN = 0 . Это дает PN = 0 ,и из (7.19) получаем(7.24)QN = ΦNС этого момента осуществляется обратная подстановка с помощьюуравнения (7.19).Краткое описание алгоритма1. Рассчитываем P1 , Q1 из уравнения (7.23).2. Используя рекуррентные соотношения (7.22), получаем Pm , Qm дляm = 2,3,..., N3. Полагаем QN = ΦN4. Используя уравнение (7.19) дляΦN −1 , ΦN − 2 ,..., Φ3 , Φ2 , Φ1 .m = N − 1, N − 2,...,3,2,1 ,получаем.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги