1.5. Основные уравнения динамики вязкой жидкости в различных системах координат (1013296)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

5. Основные уравнения динамики вязкой жидкости вразличных системах координат.5.1.Декартова система координатКак уже указывалось, в декартовой системе координат нет различиямежду ковариантными и контравариантными компонентами вектора итензора, а метрический тензор записывается в виде единичной матрицы.В этом случае основные уравнения динамики вязкой жидкости имеютследующий вид.Уравнение неразрывности∂ρ ∂+( ρui ) = 0∂t ∂xi(5.1)Уравнение количества движения∂∂ρu j ) +(( ρuiu j + δij p − τ ji ) = ρ Fj ,∂t∂xij = 1, 2,3(5.2)Уравнение энергии∂(ρE)∂t+∂∂xip ρ ui  E +  − u jτ ji + qi  = ρ Fj u jρ(5.3)Напомним, что в этих уравнениях:ρ - плотность; ui - компоненты вектора скорости; p - давление;E -полная внутренняя энергия; F - плотность массовой силы.В случае линейной вязкой жидкости эти уравнения дополняютсявыражениями для компонент тензора вязких напряжений τ ij и вектораплотности теплового потока qi : ∂ui ∂u j  2∂u+− δ µ m, ∂x j ∂xi  3 ij ∂xm(5.4)∂T∂xi(5.5)τ ij = µ qi = −λгде µ- коэффициент динамической вязкости, λ- коэффициенттеплопроводности.Удельная внутренняя энергия e связана с полной - E соотношением:e=E−uiui2(5.6)Для идеального газа справедливо:p = ρ RT = ( γ − 1) CV T ρ = ( γ − 1) eρЗдесь:T-температура,γ-показатель адиабаты,(5.7)CV- удельнаятеплоемкость при постоянном объеме.Полная энтальпия H и удельная энтальпия вводятся по формулам:H =E+pρ,ui 2h=H −2(5.8)(5.9)Иногда удобнее использовать уравнение энергии в форме энтальпии.

Онополучается из уравнения (5.3) с учетом (5.8) и (5.9), а также уравненияколичества движения (5.2):∂∂dp ∂q∂u( ρ h ) + ( ρ u j h ) = − j + τ ij i∂t∂x jdt ∂x j∂x j5.2.(5.10)Цилиндрическая система координатВ цилиндрической системе точка M задается координатами ( r ,θ , z ) :ζ 1 = r, ζ 2 = θ , ζ 3 = z(5.11)Рис.10. Цилиндрическая система координат.Компоненты метрического тензора равныg11 = 1, g 22 = r 2 , g33 = 1g 11 = 1, g 22 =1 33, g =1r2(5.12)Ненулевые символы Кристоффеля второго рода:12Γ 221 = Γ12= , Γ122 = −rr(5.13)1) Уравнение неразрывностиФизические компоненты скорости равны ui = u i = v i gii , т.е.:ur = v1 , uθ = v 2 r , u z = v 3(5.14)uθ, v3 = u zr(5.15)Отсюдаv1 = ur , v 2 =Дивергенция скорости определяется формулой (3.58)div v ≡ ∇i vi =∂ur ur 1 ∂uθ ∂uz+ ++∂rr r ∂θ∂z(5.16)Таким образом, уравнение неразрывности имеет вид:∂ρ ∂1 ∂∂ρu+ ( ρ ur ) +( ρuθ ) + ( ρuz ) + r = 0∂t ∂rr ∂θ∂zr(5.17)2) Уравнение количества движенияТензор вязких напряжений задается формулой (4.47):2τ ki = µ ( g kj ∇ j vi + g ij ∇ j v k ) − div ( v ) g ki 3(5.18)Ковариантные производные вектора равны∇iv k =∂v k+ v j Γ kji∂ζ i(5.19)С учетом определения физических компонент вектора (5.15) получаем:2  ∂u1∂u ∂u τ 11 = µ  2 r −  ur + θ  − z  ,∂θ  ∂z 3  ∂r r τ 22 = µ1r2 4 1 ∂uθ 2 ∂ur 4 12 ∂u z  3 r ∂η 2 − 3 ∂r + 3 r ur − 3 ∂z  ,2  ∂u1∂u ∂u τ 33 = µ  − r −  ur + θ  + 2 z  ,3  ∂r r ∂θ ∂z 1  ∂u1  ∂uτ 12 = τ 21 = µ  θ +  r − uθ   ,r  ∂r r  ∂θ ∂uz ∂ur+∂z ∂rτ 13 = τ 31 = µ 1  1 ∂u,∂u zτ 23 = τ 32 = µ + θr  r ∂θ∂z Введем физические компоненты тензора вязких напряжений:(5.20)(5.21)(5.22)(5.23)(5.24)(5.25)2  ∂u1∂u ∂u τ rr = τ 11 g11 = τ 11 = µ  2 r −  ur + θ  − z 3  ∂r r ∂θ  ∂z  ∂u 2  ∂ur 2  ∂uθ+  2 + ur  − z 3  ∂r r  ∂η ∂z τ θθ = τ 22 g 22 = τ 22 r 2 = µ  −2  ∂u1∂u ∂u τ zz = τ 33 g 33 = τ 33 = µ  − r −  ur + θ  + 2 z 3  ∂r r ∂θ ∂z  ∂uθ 1  ∂ur+ − uθ   ∂r r  ∂θτ rθ = τ θ r = τ 12 g11 g 22 = τ 12 r = µ (5.26)(5.27)(5.28)(5.29) ∂u z ∂ur +∂z  ∂r(5.30) 1 ∂u z ∂uθ +∂z  r ∂θ(5.31)τ rz = τ zr = τ 13 g11 g33 = τ 13 = µ τ θ z = τ zθ = τ 23 g 22 g33 = τ 23r = µ Таким образом:1rτ 11 = τ rr , τ 12 = τ rθ , τ 13 = τ rz ,1rτ 21 = τ rθ , τ 22 =11τ , τ 23 = τ θ z ,2 θθrr(5.32)1rτ 31 = τ zr , τ 32 = τ zθ , τ 33 = τ zzКовариантные производные тензора равны:∂τ ikk∇ iτ =+ τ mk Γ imi + τ im Γ mii∂ηik(5.33)Рассмотрим уравнения для каждого значения индекса k .k = 1 : уравнение количества движения для компоненты скорости urКомпоненты ∇iτ ik :∇iτ i1 = ∇1τ 11 + ∇ 2τ 21 + ∇3τ 31 =∂τ 11 ∂τ 21∂τ 3111 122++−r+=ττ∂η 1 ∂η 2r∂η 3∂τ∂  1  ∂τ zr 1= rr ++ (τ rr − τ θθ ) τ rθ  +∂r ∂θ  r  ∂zrКомпоненты ∇i ( ρ vi v k ) :(5.34)∇i ( ρ vi v1 ) =∂1 ∂∂1( ρ u r ur ) +( ρuθ ur ) + ( ρuzur ) + ( ρur ur − ρuθ uθ )∂rr ∂θ∂zr(5.35)Градиент давления:g i1∇i p = g 11∇1 p =∂p∂r(5.36)Таким образом, уравнение количества для компоненты ur имеет вид:∂∂1 ∂∂( ρ ur ) + ( ρur ur + p − τ rr ) +( ρ uθ ur − τ rθ ) + ( ρ uzur − τ zr )∂t∂rr ∂θ∂z1+ ( ρ ur ur − ρ uθ uθ − τ rr + τ θθ ) = ρ Frr(5.37)k = 2 : уравнение для uθКомпоненты ∇iτ ik :∂τ 12 ∂τ 22 ∂τ 32 1∇iτ = ∇1τ + ∇ 2τ + ∇3τ =+++ ( 2τ 12 + τ 21 ) =∂r∂θ∂zr∂ 1  ∂  11 11  ∂ 1=  τ rθ  +τ zθ +  2 τ rθ + τ rθ  = 2 τ θθ  +∂r  r  ∂θ  rr rr  ∂z r1 ∂1 ∂τ θθ ∂τ zθ 2 =  τ rθ +++ τ rθ r  ∂rr ∂θ∂zr i2122232(5.38)Компоненты ∇i ( ρ vi v k ) :1 ∂1 ∂∂1∇i ( vi v 2 ) =  ( ur uθ ) +( uθ uθ ) + ( uzuθ ) + 2ur uθ r  ∂rr ∂θ∂zr(5.39)Градиент давления:g i 2∇i p = g 22∇ 2 p =1 ∂pr 2 ∂θ(5.40)Уравнение для компоненты uθ :∂∂1 ∂∂( ρ uθ ) + ( ρ ur uθ − τ rθ ) +( ρuθ uθ + p − τ θθ ) + ( ρ uzuθ − τ zθ )∂t∂rr ∂θ∂z2+ ( ρ ur uθ − τ rθ ) = ρ Fθr(5.41)k = 3 : уравнение для u zКомпоненты ∇iτ ik :∇iτ i 3 = ∇1τ 13 + ∇ 2τ 23 + ∇3τ 33 =∂τ rz 1  ∂τ θ z ∂τ+ + τ rz  + zz∂rr  ∂θ ∂z(5.42)Компоненты ∇i ( ρ vi v k ) :∇i ( ρ v i v 3 ) =∂1 ∂∂1( ρ ur u z ) +( ρ uθ uz ) + ( ρuzuz ) + ρ ur uz∂rr ∂θ∂zr(5.43)Градиент давления:g i 3∇i p = g 33∇3 p =∂p∂z(5.44)Уравнение для компоненты u z :∂∂1 ∂∂( ρ uz ) + ( ρur uz − τ rz ) +( ρ uθ uz − τ θ z ) + ( ρ uzuz + p − τ zz )∂t∂rr ∂θ∂z1+ ( ρ ur uz − τ rz ) = ρ Fzr(5.45)3) Уравнение энергииКомпоненты вектора vkτ ki обозначим:Ai = vkτ ki(5.46)Конкретные значения равныA1 = v1τ 11 + v2τ 21 + v3τ 31 = urτ rr + uθτ rθ + u zτ zr1( urτ rθ + uθτ θθ + uzτ zθ )r= urτ rz + uθτ θ z + u zτ zzA2 = v1τ 12 + v2τ 22 + v3τ 32 =A3 = v1τ 13 + v2τ 23 + v3τ 33Общий вид уравнения энергии:∂(ρE)∂tp+ ∇i  ρ vi H + q i − vkτ ki  = ρ F k vk ,где H =  E +  - полная энтальпияρ(5.47)Введем вектор f , контравариантные компоненты которого равны:f i = ρ vi H + q i − vkτ ki(5.48)Дивергенция этого вектора равна∇i f i =∂f r 1 ∂fθ ∂f z f r+++ ,∂r r ∂θ ∂z r(5.49)гдеf r = ρ ur H + qr − urτ rr − uθτ rθ − u zτ zr ,fθ = ρ uθ H + qθ − urτ rθ − uθτ θθ − u zτ zθ ,(5.50)f z = ρ u z H + qz − urτ rz − uθτ θ z − u zτ zzТаким образом, уравнение энергии примет вид:∂(ρE)∂t+∂f r 1 ∂fθ ∂f z f r+++ = ρ ( Fr ur + Fθ uθ + Fz u z ) ,∂r r ∂θ ∂zr(5.51)Компоненты плотности теплового потока равны:qr = q1 = −λ g 11∇1T = −λ∂T∂rqθ = q 2 r = ( −λ g 22∇ 2T ) r = −λqz = q 3 = −λ g 33∇3T = −λ1 ∂Tr ∂θ(5.52)∂T∂zОкончательно запишем основные уравнения в цилиндрической системекоординат:∂ρ ∂1 ∂∂ρu+ ( ρ ur ) +( ρ uθ ) + ( ρ uz ) + r = 0 ,∂t ∂rr ∂θ∂zr(5.53)∂∂1 ∂∂( ρ ur ) + ( ρur ur + p − τ rr ) +( ρ uθ ur − τ rθ ) + ( ρ uzur − τ zr )∂t∂rr ∂θ∂z,1+ ( ρ ur ur − ρ uθ uθ − τ rr + τ θθ ) = ρ Frr(5.54)∂∂1 ∂∂( ρ uθ ) + ( ρ ur uθ − τ rθ ) +( ρuθ uθ + p − τ θθ ) + ( ρ uzuθ − τ zθ )∂t∂rr ∂θ∂z,2+ ( ρ ur uθ − τ rθ ) = ρ Fθr(5.55)∂∂1 ∂∂( ρ uz ) + ( ρur uz − τ rz ) +( ρ uθ uz − τ θ z ) + ( ρ uzuz + p − τ zz )∂t∂rr ∂θ∂z,1+ ( ρ ur uz − τ rz ) = ρ Fzr∂(ρE)∂t+∂f r 1 ∂fθ ∂f z f r+++ = ρ ( Fr ur + Fθ uθ + Fz u z )∂r r ∂θ ∂zr(5.56)(5.57)Компоненты вектора f задаются формулами (5.50), компоненты тензоравязких напряжений – формулами (5.26)-(5.31), а компоненты вектораплотности теплового потока – формулами (5.52).Кроме того, для идеального газа используется формула (5.7)Упражнение.

Вывести основные уравнения динамики вязкого газа всферической системе координат..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги