2.3. Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости (1013301)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

3.Понятия сходимости, аппроксимации и устойчивости.Подробноеописаниеэтихпонятийсовсеминеобходимымиматематическими доказательствами содержится, например, в книге ГодуноваС.К., Рябенького В.С. [2].3.1. Сходимость, порядок точностиБудем говорить, что решение дискретной φ ( h) задачи (2.7) сходится крешению дифференциальной задачи (2.1) , еслиφh − φ [h] → 0 при h → 0 ,(3.1)где φh - множество значений искомой функции в сеточных узлах, т.е.φh = (φ ( x1 ) ,φ ( x2 ) ,φ ( x3 ) ,...,φ ( xN ) )(3.2)Напомним, что через φ ( h) обозначается набор решений алгебраическихуравнений, полученных в результате дискретизации – формула (2.6).Нормана сеточных узлах может быть задана разными способами,например, как максимальное значение модуля:φh − φ [h] = max φ ( xn ) − φn ,n(3.3)или как1/ 2φh − φ[h]21=  φ ( xn ) − φn N(3.4)Кроме определения (3.1) можно ввести еще и порядок точности: есливыполнено неравенствоφh − φ [h] < ch k ,(3.5)где c > 0, k > 0 некоторые постоянные, не зависящие от h , то говорят, чтодискретная схема имеет k − ый порядок точности.3.2.

Невязка, аппроксимацияПодставим φh , т.е. множество значений искомой функции в сеточныхузлах, в уравнение (2.7), которое является дискретным аналогом исходногодифференциального уравнения. При этом возникнет так называемая невязка,определяемая какLhφh = f ( ) + δ f (hh)(3.6)В качестве примера определим невязку для уравненияd 2φdφ+ a ( x)=02dxdxИспользуемформулы(2.10)и(3.7)(2.11)длядискретизацииэтогодифференциального уравнения, т.е.Lhφ ( ) =hf( h)φn +1 − 2φn + φn −1h2+ a ( xn )φn +1 − φn −12h=0(3.8)=0Используем для точных решений искомой функции формулу Тейлора:111 ( IV )φ (ξ1 ) h 42624111φ ( xn +1 ) = φ ( xn ) + φ ′ ( xn ) h + φ ′′ ( xn ) h 2 + φ ′′′ ( xn ) h3 + φ ( IV ) (ξ 2 ) h 42624φ ( xn −1 ) = φ ( xn ) − φ ′ ( xn ) h + φ ′′ ( xn ) h 2 − φ ′′′ ( xn ) h3 +(3.9)где ξ1 и ξ2 -некоторые промежуточные точки отрезка [ xn −1 , xn +1 ] .Определяем Lhφh , т.е.

подставляем в (3.8) вместо φn искомую функциюφ ( xn ) , вместо φn −1 - φ ( xn −1 ) , вместо φn +1 - φ ( xn +1 ) , т.е.1 ( IV )1φ (ξ 2 ) h 2 + a ( xn ) φ ′′′ (ξ ) h 2 =241211hIV= f ( ) + φ ( ) (ξ 2 ) h 2 + a ( xn ) φ ′′′ (ξ ) h 22412Lhφh = φ ′′ ( xn ) + a ( xn ) φ ′ ( xn ) +Отсюда невязка равна:(3.10)δ f ( h) =1 ( IV )1φ (ξ 2 ) h 2 + a ( xn ) φ ′′′ (ξ ) h 22412(3.11)Если искомая функция имеет ограниченные производные, то можнозаписать, чтоδ f ( h ) ≤ Ch 2(3.12)где C - некоторая постоянная, зависящая от φ , но не зависящая от h .Определение.Будемговорить,чтодискретнаясхемаLhφ ( h) = f ( h )аппроксимирует задачу Lφ = f на решение φ , если для невязки справедливо:δ f ( h ) → 0 при h → 0(3.13)Если, сверх того, имеет место неравенствоδ f ( h ) ≤ Ch k(3.14)где C > 0, k > 0 некоторые постоянные, не зависящие от h , то говорят, чтоимеет место аппроксимация порядка h k или порядка k относительновеличины h .3.3.

УстойчивостьДостаточно ли аппроксимации для сходимости?Можно показать [2], что одной аппроксимации недостаточно для того,чтобы решение дискретной задачи сходилось к решению дифференциальнойзадачи. Для сходимость необходимо еще и условие устойчивости.Определение. Будем называть дискретную схему Lhφ ( h) = f ( h ) устойчивой,если существуют числа h0 > 0 и δ > 0 такие, что при любом h < h0 и любомε ( h) , таком, чтоε (h) < δдискретная задачаLh z ( ) = f ( ) + ε ( ) ,hhhполученная из исходной дискретной схемы добавлением к правой частивозмущения ε ( h) , имеет одно и только одно решение z ( h ) , причем это решениеотклоняется от решения φ ( h) невозмущенной задачи на сеточную функциюhhz ( ) − φ ( ) , удовлетворяющую условиюz( ) − φ (hh)≤ C1 ε (h)(3.15)где C1 - некоторая постоянная, не зависящая от h .Равенство (3.15) означает, что малое возмущение ε ( h) правой частивызывает малое возмущение решения ( z ( h) − φ ( h) ) .В случае линейного оператора Lh сформулированное определениеравносильно следующему.Дискретная задача Lhφ ( h) = f ( h ) устойчива, если существует h0 > 0 такое,что при любом f ( h ) она однозначно разрешима, причемφ ( h ) ≤ C1 f ( h )(3.16)где C1 - некоторая постоянная, не зависящая от h и f ( h ) .Сформулируем важную теорему, характеризующую зависимость междуаппроксимацией, устойчивостью и сходимостью.Теорема.

Пусть дискретная схема Lhφ ( h) = f ( h) аппроксимирует задачуLφ = f на решении и с порядком точности hk и устойчива. Тогда решение φ (h)задачи Lhφ ( h) = f ( h) сходится к φh , причем имеет место оценкаφh − φ [h] < CC1h k ,где C , C1 - числа, входящие в оценки (3.14) и (3.16).(3.17).

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги