2.1. Обобщенное дифференциальное уравнение (1013297)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1.Обобщенное дифференциальное уравнение.Основныеуравнения,описывающиединамикувязкойжидкости,подчиняются некому обобщенному закону сохранения.Уравнение энергии в декартовой системе координат имеет вид (см.глава1):∂∂dp ∂q∂u( ρ h ) + ( ρu j h ) = − j + τ ij i∂t∂x jdt ∂x j∂x j(1.1)С учетом представления плотности теплового потока в виде закона Фурьеqi = −λ∂T,∂xi(1.2)используя понятия дивергенции и градиента, а также того, чтоgrad h = C p grad T ,(1.3)уравнение энергии можно представить как λ∂( ρ h ) + div ( ρ vh ) = div  grad h  + Sh∂t CP(1.4)где S h - член, учитывающий работу сил внутренних напряженийSh =dp∂u+ τ ij idt∂x j(1.5)Аналогично поступаем с уравнением количества движения в проекции,например, на продольную ось x = x1 . Проекция скорости на эту осьобозначается как u = u1 .Это уравнение имеет вид∂∂∂p ∂( ρu ) + ( ρ uiu ) = − + (τ i1 ) + ρ F1 ,∂t∂xi∂x ∂xiа компоненты тензора вязких напряжений определяются как(1.6) ∂uiτ i1 = µ  ∂x1+ ∂u ∂u1  2 ∂ui  2 − δ i1µ div v = µ + µ − δ i1µ div v∂xi  3 ∂x  3 ∂xi (1.7)Подставляя последнее выражение в (1.6), получаем:∂∂   ∂u   ∂  ∂u( ρ u ) + div ( ρ vu ) =  µ    +  µ  i∂t∂xi   ∂xi   ∂xi   ∂x∂p 2 − δ i1µ div v  + ρ F1 −∂x 3(1.8)или∂( ρ u ) + div ( ρ vu ) = div ( µ grad u ) + Su∂tгдеSu -(1.9)член, учитывающий градиент давления, объемные силы идополнительные вязкие силыSu =∂   ∂ui  2∂pµ − δ i1µ div v  + ρ F1 −∂xi   ∂x  3∂x(1.10)Таким образом, все уравнения динамики вязкой жидкости можнозаписать в обобщенном виде∂( ρΦ ) + div ( ρ vΦ ) = div ( Γ grad Φ ) + S∂t(1.11)где Γ - коэффициент, учитывающий переносные свойства (вязкость,теплопроводность, диффузии); S - источниковый член.

Конкретный вид Γ иS зависит от смысла переменной ΦУравнениеΦΓSУравнение100uµФормула (1.10)неразрывностиУравнениеколичествадвижениявпроекции на ось xУравнениеλhФормула (1.5)CPэнергииВ обобщенное дифференциальное уравнение входят четыре члена:нестационарный, конвективный, диффузионный и источниковый.Такая форма записи основных уравнений называется консервативной.Если уравнение неразрывности∂ρ+ div ( ρ v ) = 0∂t(1.12)домножить на Φ и вычесть результат из уравнения (1.11), то получитсяобобщенное уравнение в неконсервативной формеρ∂Φ+ ρ v igrad Φ = div ( Γ grad Φ ) + S∂t(1.13)Задача, в которой физические величины зависят только от однойпространственной координаты, называется одномерной.

Зависимость от двухпространственных координат приводит к двумерной задаче, а от трех — ктрехмерной. Если задача не включает в себя зависимость от времени, онаназываетсястационарной.Впротивномслучаеонаназываетсянестационарной.В двумерном случае уравнение (1.13) имеет видρ∂Φ∂Φ∂Φ ∂  ∂Φ  ∂  ∂Φ + ρu+ ρv= Γ+S + Γ∂t∂x∂y ∂x  ∂x  ∂y  ∂y (1.14)Анализируя это уравнение, можно получить несколько предельныхслучаев.1) Если конвективные и диффузионные члены равны нулю, получаетсяобыкновенное дифференциальное уравнениеdΦ S=dtρ(1.15)2) Если конвективные и источниковые члены равны нулю, получаетсяуравнение параболического типаρ∂Φ ∂  ∂Φ  ∂  ∂Φ = Γ + Γ∂t ∂x  ∂x  ∂y  ∂y (1.16)3) Если диффузионные и источниковые члены равны нулю, получаетсяуравнение гиперболического типа∂Φ∂Φ∂Φ+u+v=0∂t∂x∂y(1.17)4) В стационарном случае, при отсутствии конвективных и источниковыхчленов, обобщенное уравнение является эллиптическим∂  ∂Φ  ∂  ∂Φ =0Γ + Γ∂x  ∂x  ∂y  ∂y 5) Встационарномслучаеприиспользовании(1.18)приближенийпограничного слоя уравнение (1.14) принимает видρu∂Φ∂Φ ∂  ∂Φ + ρv= Γ∂x∂y ∂y  ∂y (1.19)В такой форме это уравнение также приводится к параболическому типус точки зрения продольной координаты.В каждом из этих пяти случаев применяются разные численные методырешения.

Отличаются и граничные условия.В различных областях реальных течений в различные моменты времениопределяющую роль могут играть разные члены обобщенного уравнения(1.11). Еще в большей степени это утверждение относится ко всей системеуравнений динамики вязкого газа.Поэтому выбор метода численной интерпретации лучше использовать недля всего уравнения в целом, а для отдельных его частей.С этой точки зрения удобно использовать предложенную С.Патанкаром[1] трактовку свойств координат, как пространственных, так и временной.Двухсторонней координатой называется координата, для которойпротекание процессов в рассматриваемойслева,такисправапокоординатнойточке зависит от условий каклинииотэтойточки.Впротивоположном случае координата называется односторонней.Рассмотрим одномерную стационарную теплопроводность в плоскойстенке. На температуру в каждой точке стенки могут влиять изменениятемпературы, как на левой стороне стенки, так и на правой стороне.Обычно пространственные координаты являются двухсторонними, время- всегда односторонняя координата.

В течение нестационарного охлаждениятвердого тела на значение температуры в данный момент времени можетоказать влияние только то, что происходило перед этим моментом.Математическиеиспользуемыедлятерминыпараболическийклассификациииэллиптический,дифференциальныхуравнений,соответствуют нашим вычислительным концепциям односторонней идвухстороннейкоординат.Первыйтерминозначаетодностороннееповедение, второй — двухстороннее.Имело бы больше смысла определять задачи как параболические илиэллиптические по данной координате. Таким образом, нестационарная задачатеплопроводности, которую обычно называют параболической, на самомделе параболична по времени и эллиптична по пространственнымкоординатам. Стационарная задача теплопроводности эллиптична по всемкоординатам. Двумерный пограничный слой параболичен по направленнойвдоль течения координате и эллиптичен по поперечной координате.Гиперболические задачи имеют в некотором роде одностороннееповедение,однако,невдолькоординатныхспециальных линий, называемых характеристиками.направлений,авдоль.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги