3.4. Конечно-объемная аппроксимация основного уравнения (1013315)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4. Конечно-объемная аппроксимация основного уравненияЕсли представить, что параметры F , G, H , входящие в основное уравнение(1.1), являются компонентами некоторого вектора F в системе координат( x, y, z ) , то это уравнение можно записать в виде∂U+ div F = 0∂t(4.1)Проинтегрируем это выражение по некоторому неподвижному объему V∂UdV + ∫∫∫ div FdV = 0∫∫∫∂t VV(4.2)Здесь учитывается, что т.к. объем неподвижен, то∫∫∫V∂U∂dV = ∫∫∫ UdV∂t∂t V(4.3)Используя теорему Гаусса-Остроградского, получаем, что для любогоконтрольного объема V с поверхностью S: ∂UdV+F∫∫S indS = 0 ,∂t ∫∫∫Vгде n(4.4)- единичный вектор, направленный наружу по нормали кповерхности к рассматриваемому объему;ndS- векторный элементповерхности с нормалью n ; F - вектор вязких и невязких потоковконсервативной величины U , проходящих через поверхность объема.Рассмотрим в качестве объема V контрольный объем, имеющий формупараллелепипеда со сторонами параллельными осям x,y,z соответственно(V = ∆x × ∆y × ∆z ) .

Двумерный вариант этого контрольного на плоскости 0xyпоказан на рис.1 (заштрихованный участок).Интегрирование (4.4) по такому объему с учетом того, что F = ( F , G , H )дает следующее:∂UdV + ∫∫ ( Fi +1/ 2 − Fi −1/ 2 ) dydz + ∫∫ ( G j +1/ 2 − G j −1/ 2 ) dxdz∂t ∫∫∫V∆y ∆z∆x ∆z+ ∫∫ ( H k +1/ 2 − H k −1/ 2 ) dxdy = 0(4.5)∆x ∆yИндексы i,j,k нумеруют ячейки контрольных объемов по осям x,y,zсоответственно. Индекс i + 1/ 2 в функции Fi +1/ 2 означает, что эта функцияберется на грани, разделяющей ячейки ( i, j, k ) и ( i + 1, j , k ) . Аналогично, индексi − 1/ 2 относится к грани, разделяющей ячейки( i − 1, j, k ) и ( i, j, k ) , индексj − 1/ 2 относится к грани, разделяющей ячейки ( i, j − 1, k ) и ( i, j , k ) и т.д.Основное допущение состоит в том, что каждый поток постоянен по всейграни, т.е., например, для потока вдоль оси∫∫ ( Fi +1/ 2xсправедливо:− Fi −1/ 2 ) dydz = ( Fi +1/ 2 − Fi −1/ 2 ) ∆y∆z(4.6)∆y ∆zКроме того, полагаем, что∫∫∫ UdV ≅ UV = U i , j , k ∆x∆y∆z ,i, j ,k(4.7)Vгде U i , j , k - значение U в центре ячейки ( i, j, k ) .Тогда уравнение (4.5) принимает видFi +1/ 2, j , k − Fi −1/ 2, j , k Gi , j +1/ 2, k − Gi , j −1/ 2, k H i , j , k +1/ 2 − H i , j , k −1/ 2 ∂U +++=0∆x∆y∆z ∂t i , j , k(4.8)Это уравнение является основой для методов численного решенияуравнений Навье-Стокса.Обозначим через δ U n +1 приращения вектора U при переходе отn-гошага по времени к ( n + 1) -му шагуδ U n +1 = U n +1 − U n(4.9)На каждом шаге по времени стоит задача определения U n+1 по известнымзначениям U n .Потоки F,G,H являются функциями U :F = F (U ) , G = G ( U ) ,H = H (U )(4.10)Нетрудно показать, что для этих векторных функций справедливы те жеформулы дифференциального исчисления, что и для обычных функций.

Вчастности, можно выразить потоки на ( n + 1) -ом шаге через потоки на n-омшаге с помощью разложения в ряд Тейлора относительно приращения δ Un +1:nFn +1Gn +1 ∂F n +1= F + δU , ∂U nn ∂G n +1=G + δU , ∂U n(4.11)nHЗдесь∂F ∂G ∂H,,∂U ∂U ∂Un +1 ∂H n +1= H + δU∂Un- матрицы Якоби функций, входящих в векторыF,G,H, в пространстве функций, входящих в U. Например, ∂F1 ∂U 1 ∂F2∂F = ∂U1∂U   ∂F5 ∂U 1∂F1 ∂U 5 ∂F2 ∂U 5  ∂F5 ∂U 5 ∂F1∂U 2∂F2∂U 2∂F5∂U 2(4.12)Члены, содержащие производные выше первой, в формулах (4.11)отброшены.Выразимпотоки,входящиевуравнение(4.8),каклинейнуюкомбинацию значений на n -м и ( n + 1) -м шагах по времениnF = (1 − α ) F + α Fnn +1 ∂F n +1= F +α  δU , ∂U nnG = (1 − α ) G + α Gnn +1 ∂G n +1= G +α  δU , ∂U n(4.13)nH = (1 − α ) H + α Hnn +1 ∂H n +1= H +α  δU∂UnЗдесь α - параметр, характеризующий порядок точности представленияпроизводной по времени.

Если α = 0.5 , порядок равен 2, и схема подобнасхеме Кранка-Николсона; при α = 1 получается чисто неявная схема;значение α > 1 дает завышенную релаксацию, но это может улучшатьсходимость метода.Подстановка формул (4.9), (4.13) в уравнение (4.8) позволяет получитьконечно-объемную аппроксимацию основного уравнения (1.1):δ U in, +j ,1k∆t++nα  ∂F δU∆x  ∂U i +1/2, j ,knα  ∂G δU∆y  ∂U i , j +1/2,kn +1i , j +1/ 2, kn +1i +1/2, j , kn ∂F 1−δ U in−+1/2,j ,k  ∂U i −1/2, j ,kn ∂G −δ U in, +j −11/2,k  ∂U i , j −1/2, knnα  ∂H  ∂H n +1+δ U in, +j ,1k −1/2 δ U i , j ,k +1/ 2 − ∆z  ∂U i , j ,k +1/2 ∂U i , j ,k −1/2(4.14) Fi +n1/2, j ,k − Fi −n1/2, j ,k Gin, j +1/2,k − Gin, j −1/ 2,k H in, j ,k +1/ 2 − H in, j ,k −1/2 = −++∆x∆y∆zДля того, чтобы получить из (4.14) замкнутую систему линейныхалгебраических уравнений необходимо выразить неизвестную функцию U награнях контрольного объема через значения U в узловых точках.К сожалению, эта операция является отнюдь не тривиальной и требуетсущественных усложнений и без того громоздкого разностного уравнения(4.14)..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги