2.5. Явные и неявные схемы (1013305)
Текст из файла
5. Явные и неявные схемы.5.1. Явная, Кранка-Николсона и полностью неявная схемы.Ограничения на шаг по времени, связанныес устойчивостью(см.формулы (4.31), (4.34) и т.п.), могут быть очень неудобны и приводить кбольшим затратам времени на численное решение задач.Введем понятие числа Куранта (иногда используется название: числоКуранта-Фридрихса-Леви):CFL =u ∆t∆x(5.1)По условию (4.34) для обеспечения устойчивости необходимо:CFL ≤ 1(5.2)Эти ограничения можно снять (частично или полностью), если перейти отявных разностных схем, которые рассматривались ранее, к неявным схемам.Неявные схемы используют уравнения, которые выражают данные на( n + 1) -ом шаге по времени на через несколько соседних точек сетки. Длянахождения результата решается система линейных уравнений.Рассмотримследующуюразностнуюсхему длярешениязадачитеплопроводности (4.25)Φ nm+1 − Φ nmΦ n +1 − 2Φ mn +1 + Φ mn +−11− ν m +1=0,∆t∆x 2(5.3)ν =Γ/ρ(5.4)где коэффициентдля простоты полагается постоянным (на анализ устойчивости, исходя изпринципа «замороженных» коэффициентов, это не влияет).Подставим решение в форме (4.18) - Φ nm = λ n eiα m в задачу (5.3) и найдемспектр λ (α ) :1λ=1−ν∆t∆x 2(eiα=−2+e− iα)14ν∆t 2 α1+sin∆x 22(5.5)Очевидно, что λ (α ) ≤ 1 при любом положительном значении ν , т.е.необходимое условие устойчивости выполняется при любом шаге повремени.Можно сформулировать следующее правило: неявные схемы чащебывают устойчивыми по сравнению с явными.
Но при этом усложняетсяпроцесс решения системы линейных алгебраических уравнений, которыеполучаются после дискретизации исходных уравнений.Кроме чисто явных и чисто неявных схем, бывают смешанные схемы.Например, для уравнения теплопроводности этоΦ nm+1 − Φ nmν− 2 f ( Φ nm++11 − 2Φ nm+1 + Φ nm+−11 ) + (1 − f ) ( Φ mn +1 − 2Φ mn + Φ mn −1 ) = 0 ,∆t∆x(5.6)где параметр f принимает значения от 0 до 1. При f = 0 получается чистоявная схема, при f = 1 - полностью неявная, при f = 0.5 получается такназываемая схема Кранка-Николсона.Легко показать, что при f ≥ 0.5 схема удовлетворяет необходимомуусловию устойчивость при любых соотношениях шагов по времени и попространственной координате.Такие схемы называются безусловно устойчивыми.Различные значения f можно интерпретировать как характеристикуизменения Φ m при переходе во времени от момента t n к t n +1 , показанного нарис.
4. Явная схема по существу предполагает, что старое значение Φ nmсуществует в пределах всего временного шага, за исключением точкиt n +1 = t n + ∆t . Неявная схема предполагает, что в моментtnΦmрезкоуменьшается от Φ nm до Φ nm+1 , а затем остается равной Φ nm+1 на всем временномшаге и функция в пределах временного шага характеризуется новымзначением Φ nm+1 .
Схема Кранка-Николсона предполагает линейное изменениеΦ m . На первый взгляд линейное изменение должно быть более разумным,чем две другие альтернативы.Рис.4. Изменение искомой функции Φ m температуры во времени дляявной схемы (1), схемы Кранка-Николсона (2) и полностью неявной схемы(3).Тем не менее, чисто неявная схема является предпочтительной. Причиныдве.1) В случае схемы Кранка-Николсона могут иметь место колеблющиесярешения.
Устойчивость в математическом смысле просто гарантирует, чтоэти колебания будут, в конечном счете, затухать, но это не обеспечиваетфизически правдоподобного решения. Несколько примеров подобныхрешений, полученных с помощью схемы Кранка-Николсона, можно найти в[1].2) Точные решения рассматриваемой задачи имеют экспоненциальныйхарактер, поэтому линейная интерполяция хуже отражает истинный характеризменения функции.УпражнениеДоказать, что схема Кранка-Николсона действительно может даватьнефизичные результаты, поскольку для нее не всегда выполняютсятребования, описанные в разделе 2.3.5.2. Метод прогонкиКак уже говорилось, в случае использовании неявной схемы получаетсясистема уравнений относительно неизвестных на ( n + 1) -ом шаге по временизначений функции Φ .
Например, уравнение (5.3) преобразуется к видуν∆t n +1 ν∆t n +1 ν∆t n +1n1 + 2 2 Φ m = 2 Φ m +1 + 2 Φ m −1 + Φ m ,∆x ∆x∆xm = 1, 2,..., N(5.7)Для решения этой системы используется так называемый методпрогонки.Методпрогонкииспользуетсядлярешениясистемылинейныхалгебраических уравнений, в которой каждая m -ая строка представлена ввидеamΦ m = bm Φ m +1 + cmΦ m −1 + d m(5.8)где m = 1, 2,..., N − 1, N .Для случая (5.7) коэффициенты равныν∆t am = 1 + 2 2 ,∆x ν∆tν∆tbm = 2 , cm = 2 , d m = Φ nm∆x∆x(5.9)Для m = 1, m = N коэффициентыc1 = 0, bN = 0(5.10)Матрица такой системы называется трехдиагональной.
В английскойлитературе метод называется алгоритмом Томаса или TDMA (Tri-diagonalMatrix Algorithm- трехдиагональный матрицы алгоритмом).Если на границах области заданы значения искомой функции, то:a1 = 1, b1 = c1 = 0, d1 = Φ1 ,(5.11)aN = 1, bN = cN = 0, d N = Φ N(5.12)Записанные условия (5.8), (5.10) означают, что Φ1 известна в зависимостиот Φ 2 . Уравнение для m = 2 представляет собой соотношение междуΦ1 , Φ 2 , Φ 3 . Но поскольку Φ1 может быть выражена через Φ 2 , это соотношениеприводится к соотношению между Φ 2 и Φ 3 .
Другими словами, Φ 2 можновыразить через Φ 3 . Процесс подстановки можно продолжать до тех пор, показначение Φ N не будет выражено через Φ N +1 . Но поскольку Φ N +1 несуществует, мы в действительности на данном этапе получим численноезначение Φ N . Это позволит нам начать процесс обратной подстановки, вкотором Φ N −1 получится из Φ N , Φ N − 2 — из Φ N −1 , ..., Φ 2 — из Φ 3 и Φ1 — из Φ 2 .Это и составляет существо алгоритма трехдиагональной матрицы.Предположим, что при прямой подстановке имеем зависимостьΦ m = Pm Φ m +1 + Qm(5.13)Φ m −1 = Pm −1Φ m + Qm −1(5.14)после того, как полученоПодставляя (5.14) в (5.8), получаем следующее соотношение:Φm =bmc Q + dmΦ m +1 + m m −1( am − cm Pm −1 )( am − cm Pm −1 )Сравниваем это выражение с (5.13) и получаем(5.15)формулы дляпрогоночных коэффициентов Pm , Qm :Pm =bmc Q + dm, Qm = m m −1( am − cm Pm −1 )( am − cm Pm −1 )Эти рекуррентные соотношения определяют Pm , Qm(5.16)через Pm −1, Qm −1 .Заметим, что в начале рекуррентного процесса уравнение (5.8) для m = 1 поформе почти совпадает с (5.13).
Таким образом, P1 , Q1 определяются вследующем виде:P1 =b1d, Q1 = 1a1a1(5.17)На другом конце последовательности Pm , Qm имеем bN = 0 . Это дает PN = 0 ,и из (5.13)получаем(5.18)QN = Φ NС этого момента осуществляется обратная подстановка с помощьюуравнения (5.13).Краткое описание алгоритма1. Рассчитываем P1 , Q1 из уравнения (5.17).2.
Используя рекуррентные соотношения (5.16), получаем Pm , Qm дляm = 2,3,..., N3. Полагаем QN = Φ N4. Используя уравнение (5.13) дляm = N − 1, N − 2,...,3, 2,1 ,получаемтрехдиагональностиматрицы,Φ N −1 , Φ N − 2 ,..., Φ 3 , Φ 2 , Φ1 .Алгоритм,использующийсвойствоявляется мощным и удобным методом решения алгебраических уравнений,которые можно представить в виде (5.8). В отличие от общих матричныхметодов метод прогонки требует машинной памяти и машинного времени,пропорциональных N , а не N 2 или N 3 ..
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
