1.4. Основные уравнения динамики вязкой жидкости (1013294)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

4. Основные уравнения динамики вязкой жидкости.4.1.Уравнение неразрывности.Одним из основных законов ньютоновской механики является законсохранения массы m любого индивидуального объема, состоящего из одних итех же частиц среды. Масса такого объема определяется по формуле:m = ∫∫∫ ρ dV(4.1)Vгде ρ - плотность.Закон сохранения массы для индивидуального объема сплошной средыможно, очевидно, теперь записать в видеdρ dV = 0dt ∫∫∫V(4.2)Применим формулу (3.72) из предыдущего раздела к (4.2):d ∂ρρ dV = ∫∫∫  + ∇i ( ρ v i )  dV = 0∫∫∫dt V∂tV (4.3)В силу произвольности выбора объема V из (4.3) следует:∂ρ+ ∇i ( ρ vi ) = 0∂ti∂ρ ∂ ( ρ v )++ ρ v j Γ iji = 0∂t∂η i(4.4)Это и есть уравнение неразрывности.4.2.Уравнение количества движения.Теоретическая механика рассматривает в основном сосредоточенные, иликонцентрированные силы, т. е. конечные силами, действующие в точке.

Вмеханике сплошной среды мы встречаемся в основном с распределеннымисилами, т. е. действующими в каждой части объема Vэлементе поверхностиΣили на каждомсплошной среды, причем при стремлениибесконечно малого элемента объема или поверхности к нулю вектордействующих на него сил также стремится к нулю.Эти распределенные силы можно разделить на две категории: объемные иповерхностные.Обозначим через F главный вектор массовых сил, действующих наэлемент массы ∆m .

Тогда плотность F массовой силы в данной точке есть:F∆m → 0 ∆m(4.5)F = limЧисло различных видов массовых сил невелико. Это — сила тяжестиF = g и вообще гравитационные силы, подчиняющиеся закону всемирноготяготения Ньютона; электромагнитные силы; силы инерции, которыеприходится вводить при изучении движения в неинерциальных системахкоординат.В механике сплошной среды основную роль играют не массовые, аповерхностные, т.е. распределенные по поверхности сплошной среды, силы.Так, например, если взять воду, налитую в сосуд, то на поверхности Sсоприкосновения воды со стенками сосуда будет, очевидно, наблюдатьсясиловое взаимодействие.

Взяв элемент dσ поверхности S, можно ввестиэлементарную поверхностную силу dP = pdσ , где p = lim∆σ → 0∆P∆σ- плотностьповерхностных сил, действующих на площадку dσ .Выделим в сплошной среде некоторый произвольный объем V и разобьемего сечением S на две части V1 и V2 (см.рис.8).Рис.8. Силы внутренних напряжений.Если мы будем рассматривать движение одной из частей V, например V1,то при этом действие на нее второй части, т.

е. V2, необходимо заменитьраспределенными по S поверхностными силами. Сечение S можно проводитьпо-разному, и, очевидно, распределенные поверхностные силы будут наразных S различными.Возьмем некоторую точку М внутри тела и рассмотрим в этой точкеразличные площадки dσ . Ориентацию этих площадок будем определятьнормалью n к ним, а полную силу, действующую со стороны части среды вобъеме V2 нa часть среды в объеме V1 на площадке dσ с нормалью n,обозначим через dP = pn dσ , где pn - конечный вектор.

Вектор pn можнорассматриватькакповерхностнуюплотностьсилывзаимодействияразделенных частей вдоль площадки dσ . В общем случае pn может зависетьот ориентации площадкиdσи других ее геометрических свойств.Направление нормали n будем выбирать всегда так, чтобы она была внешнейпо отношению к той части среды, на которую действует вводимая сила pn dσ .Такого рода поверхностные силы можно вводить в любой точкесплошной среды, они называются силами внутренних напряжений.В каждой точке М сплошной среды существует бесконечно многовекторовpn ,соответствующихбесконечномунаборуплощадок,проходящих через эту точку.

Однако между ними имеется универсальная, независящая от частных свойств движущейся среды, связь.Основным динамическим уравнением движения материальной точкиявляется второй закон Ньютона:mdv=Fdt(4.6)Так как масса m точки постоянна, имеем:d ( mv )dt(4.7)=FПроизведение массы на скорость mv называется количеством движенияточки.Можно обобщить это уравнение на случай движения конечного объема Vсплошной среды, ограниченного поверхностью Σ :d( ρ v ) dV = ∫ ρ FdV + ∫ pn dσdt V∫VΣ(I )( II )( III )(4.8),где Q = ∫ ρ vdV - количество движения сплошной среды, занимающей объемVV ; член ( II ) - сумма внешних массовых сил, действующих на среду в объемеV , член ( III ) - сумма внешних поверхностных сил, действующих на среду вобъеме V .Уравнение (4.8) означает, что производная по времени количествадвижения объема Vсплошной среды равняется сумме всех внешнихдействующих на него массовых и поверхностных сил.

Выделяемыймысленно объем V является произвольным субстациональным подвижнымдеформируемым объемом, состоящим по определению из одних и тех жечастиц среды.С учетом того, что масса M выбранного объема не меняется, получаем:dddvdvρ vdV = ∫ vdm = ∫ dm = ∫ ρ dV∫dt Vdt MdtdtMV(4.9)Таким образом, уравнение количества движение можно представить ввиде:dv∫ ρ dt dV = ∫ ρ FdV + ∫ p dσnVV(4.10)ΣОстановимся теперь на выводе зависимости напряжений pn от ориентациисоответствующих площадок, взятых в данной точке, в случае непрерывныхдвижений сплошной среды.Рис.9 К свойству внутренних напряжений.Возьмем произвольную точку M сплошной среды и проведем из неенаправления, параллельные осям декартовой системы координат (рис.9).Отложим на них произвольные бесконечно малые отрезки dx = MA , dy = MC иdz = MB и рассмотрим объем V в виде построенного таким путем бесконечномалого тетраэдра MABC .

Его грани МВС , МАВ, MAC перпендикулярны ксоответствующим осям координат, а грань ABC ориентирована произвольно.Ее ориентация определяется единичным вектором нормалиn = cos ( nx ) i + cos ( ny ) j + cos ( nz ) k = ni g i(4.11)Напряжения на площадках с нормалями i , j, k , n обозначим соответственночерез p1 , p2 , p3 , pn .Если стягивать этот тетраэдр в точку, то можно показать, что из уравненияколичествадвиженияследует,чтомеждунапряжениямидолжновыполняться следующее соотношение:pn = p1 cos ( nx ) + p 2 cos ( ny ) + p3 cos ( nz ) = pi ni(4.12)Из теоремы Остроградского-Гаусса в форме (3.70) следует, что суммувнешних поверхностных сил∫ p dσ ,nдействующих на объем V сплошнойΣсреды, ограниченный поверхностью Σ , можно преобразовать в интеграл,взятый по объему: ∂p1 ∂p 2 ∂p3 123p=p+p+p=dσcosnxcosnycosnzdσ()()()∫Σ n∫Σ ∫  ∂x + ∂y + ∂z  dVV(4.13)В формуле (4.12) векторы p1 , p 2 , p3 можно разложить по ковариантномубазису.

Например, p1 = p11g1 + p 21g 2 + p31g3 . Проекции нормали есть не что иное,как скалярное произведение gi in . Таким образом, из (4.12) следует:pn = pi ni = p ki g k ni = p ki g k ( g i in )(4.14)Это равенство дает линейное (с коэффициентами p ij ) преобразование откомпонент вектора n к компонентам вектора pn . Оно было получено сиспользованиемследовательно,ортогональнойp ijдекартовойсистемыкоординат,и,были определены в произвольных ортогональныхдекартовых системах координат. Равенство (4.14) является соотношениеммежду векторами pn и n и поэтому может быть написано в любойкриволинейной системе координат. Отсюда следует, что не только вортогональных декартовых осях, но и в произвольных криволинейныхсистемах координат с помощью равенства (4.14) можно ввести величины p ij ,которые следует рассматривать как контравариантные компоненты тензораP = p ki g k gi(4.15)Этот тензор называется тензором внутренних напряжений.

При этом влюбой системе координат будет выполняться равенствоpn = P in = pi ni(4.16)где pn - напряжение на произвольной площадке с нормалью n, аni -ковариантные компоненты n.В уравнение количества движения (4.10) входит член∫ p dσ .nС учетомΣ(4.16) и теоремы Гаусса – Остроградского получаем:∫ p dσ = ∫ p n dσ = ∫ ∇ p dViniiΣΣi(4.17)VПодставляем полученное выражение в (4.10) и, в силу произвольностивыбора объема V, получаем уравнение количества движения в виде:ρdv= ρ F + ∇ i pidt(4.18)где∇ i pi = ∂p ki∂p ij ikiji kkj i +pΓ=∇pg= i + p Γ ji + p Γ ji  g kjiiki∂ζ ∂ζ(4.19)Напоминаем, что векторы pi мы разложили по базисуpi = p ki g k(4.20)Полная (субстанциональная) производная представляется в виде:k ∂v kdv ∂v∂v ∂v ki  ∂vj k =+ vi=g+v+vΓg=+ vi∇i v k  g k ikji  kidt ∂t∂ζ∂t ∂ζ ∂t(4.21)Тогда в проекции на ковариантный базис уравнение количества движенияпредставляется в виде:ρ∂v k+ ρ vi ∇ i v k = ρ F k + ∇ i p ki∂t(4.22)Если домножить уравнение неразрывности (4.4) на v kvk∂ρ+ v k ∇i ( ρ v i ) = 0∂t(4.23)и сложить его с (4.22), получим:∂ρ v k ) + ∇i ( ρ v i v k ) = ρ F k + ∇i p ki(∂t(4.24)∂ρ v k ) + ∇i ( ρ v i v k − p ki ) = ρ F k(∂t(4.25)илиТакая форма уравнения количества движения называется консервативной.Без использования символа ∇ те же операции приводят к:∂ ( ρ vk )∂t+∂ ( ρ vi v k )∂ζ i ∂p ki+ ρ v i v j Γ kji + ρ v j v k Γiji = ρ F k +  i + p ji Γ kji + p kj Γiji  ∂ζ(4.26)Можно показать, что тензор напряжений симметричен, т.е.

p ki = pik . Этообстоятельство дает возможность записать уравнение количества движения(4.18) в виде:∂( ρ v ) + ∇i( ρ vv − P ) = ρ F∂t(4.27)где, как мы помним, P - тензор внутренних напряжения, а vv = v ⊗ v диадное произведение векторов скорости.4.3.Понятие идеального газа.Понятие идеального газа, казалось бы, достаточно тривиально. Однако, невсе так уж просто. Дело в том, что существует некоторое расхождение вопределении этого понятия у различных авторов.Седов Л.И.

в книге «Механика сплошной среды» определяет идеальныйгаз как «среду, в которой вектор напряжения pn на любой площадке снормалью n ортогонален площадке». В результате получаются следующиеформулы для ковариантных иконтравариантных компонент тензоранапряжений:p ki = − pg ki ,(4.28)pki = − pg ki(4.29)где p - давление.Нетрудно видеть, что в этом случае тензор внутренних напряжений независит от вязкого трения.С другой стороны, известно выражение, впервые полученное Максвеллом,по которому вязкость идеального газа определяется по формуле:13µ = ρ vL(4.30)где ρ - плотность газа, v - средняя скорость теплового движения молекул,L - средняя длина свободного пробега молекул.Из этого выражения видно, что коэффициент вязкости не зависит отдавления, так как произведение ρ L не зависит от давления.Определение Седовапротиворечит и понятиям, введенным в ANSYSCFX, где рабочее тело «AIR as IDEAL GAS (Воздух как идеальный газ)»обладает вязкостью.Поэтому в дальнейшем нам удобнее использовать несколько отличное отСедова Л.И.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов книги